喻文思
帶電粒子在勻強磁場中運動受洛倫茲力做勻速圓周運動,老師在課堂上分析很多,也做過很多這方面習(xí)題,但高考常??迹覀冞€是還很難下筆。帶電粒子受洛倫茲力做勻速圓周運動,根據(jù)這一特點該問題的解決方法一般為:一定圓心,二畫軌跡,三用幾何關(guān)系求半徑,四根據(jù)圓心角和周期關(guān)系確定運動時間。其中圓心的確定最為關(guān)鍵,一般方法為:①已知入射方向和出射方向時,過入射點和出射點做垂直于速度方向的直線,兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心。②已知入射點位置及入射時速度方向和出射點的位置時,可以通過入射點做入射方向的垂線,連接入射點和出射點,做其中垂線,這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心。
一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法
1.圓心的確定
因為洛倫茲力F指向圓心,根據(jù)F⊥v,畫出粒子運動軌跡中任意兩點(一般是射入和射出磁場兩點),先作出切線找出v的方向再確定F的方向,沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線,兩延長線的交點即為圓心,或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上,作出圓心位置,如圖1所示。
2.半徑的確定和計算
利用平面幾何關(guān)系,求出該圓的可能半徑(或圓心角),并注意以下兩個重要的幾何特點:
①粒子速度的偏向角φ等于轉(zhuǎn)過的圓心角α,并等于AB弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍,如圖2所示,即φ=α=2θ。
②相對的弦切角θ相等,與相鄰的弦切角θ′互補,即θ+θ′=180°。
3.粒子在磁場中運動時間的確定
若要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間,則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角,利用圓心角α與弦切角的關(guān)系,或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓心角α的大小,并由表達式 ,確定通過該段圓弧所用的時間,其中T即為該粒子做圓周運動的周期,轉(zhuǎn)過的圓心角越大,所用時間t越長,注意t與運動軌跡的長短無關(guān)。
4.帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析
①穿過矩形磁場區(qū):如圖3所示,一定要先畫好輔助線(半徑、速度及延長線)。
a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ=L/R求出;(θ、L和R見圖標(biāo))
b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-(R-y)2解出;(y見所圖標(biāo))
c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由 得出。
②穿過圓形磁場區(qū):如圖4所示,畫好輔助線(半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線)。
a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由 求出;(θ、r和R見圖標(biāo))
b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由 得出。
二、帶電粒子在磁場中運動的臨界問題和帶電粒子在多磁場中運動問題
例1:(2011年湖南卷25.)(19分)如圖,在區(qū)域I(0≤x≤d)和區(qū)域II(d≤x≤2d)內(nèi)分別存在勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小分別為B和2B,方向相反,且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q(q>0)的粒子a于某時刻從y軸上的P點射入?yún)^(qū)域I,其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時,速度方向與x軸正方向的夾角為30°;因此,另一質(zhì)量和電荷量a相同的粒子b也從p點沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I,其速度大小是a的1/3。不計重力和兩粒子之間的相互作用力。求
(1)粒子a射入?yún)^(qū)域I時速度的大小;
(2)當(dāng)a離開區(qū)域II時,a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。
解:(1)設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運動的圓心為C(在y軸上),半徑為Ra1,粒子速率為va,運動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點為 ,如圖,由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得①由幾何關(guān)系得 ②? ? ③
式中, ,由①②③式得 ? ?④
(2)設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運動的圓心為Oa,半徑為 ,射出點為 (圖中未畫出軌跡), 。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 ? ?⑤
由①⑤式得 ? ?⑥
、 和 三點共線,且由 ⑥式知 點必位于 ? ?⑦ 的平面上。由對稱性知, 點與 點縱坐標(biāo)相同,即 ? ⑧ ?式中,h是C點的y坐標(biāo)。
設(shè)b在I中運動的軌道半徑為 ,由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 ? ?⑨
設(shè)a到達 點時,b位于 點,轉(zhuǎn)過的角度為 。如果b沒有飛出I,則
⑩
式中,t是a在區(qū)域II中運動的時間,而
由⑤⑨⑩○11○12○13式得
由①③⑨○14式可見,b沒有飛出。 點的y坐標(biāo)為
由①③⑧⑨ ?式及題給條件得,a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為
總結(jié):帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的原因有:粒子運動范圍的空間臨界問題;磁場所占據(jù)范圍的空間臨界問題,運動電荷相遇的時空臨界問題等。審題時應(yīng)注意恰好,最大、最多、至少等關(guān)鍵字
三、帶電粒子在有界磁場中及電場中運動類型的分析
例2:(2012年湖南卷25.)(18分)
如圖,一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面(紙面)。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面的勻強磁場,一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子沿圖中直線在圓上的a點射入柱形區(qū)域,在圓上的b點離開該區(qū)域,離開時速度方向與直線垂直。圓心O到直線的距離為。現(xiàn)將磁場換為平等于紙面且垂直于直線的勻強電場,同一粒子以同樣速度沿直線在a點射入柱形區(qū)域,也在b點離開該區(qū)域。若磁感應(yīng)強度大小為B,不計重力,求電場強度的大小。
解:粒子在磁場中做圓周運動。設(shè)圓周的半徑為r,由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得 ①
式中v為粒子在a點的速度。
過b點和O點作直線的垂線,分別與直線交于c和d點。由幾何關(guān)系知,線段 和過a、b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑(未畫出)圍成一正方形。因此 ②
設(shè) 有幾何關(guān)系得 ③ ? ?④
聯(lián)立②③④式得
再考慮粒子在電場中的運動。設(shè)電場強度的大小為E,粒子在電場中做類平拋運動。設(shè)其加速度大小為a,由牛頓第二定律和帶電粒子在電場中的受力公式得qE=ma ⑥
粒子在電場方向和直線方向所走的距離均為r,有運動學(xué)公式得
⑦ ? r=vt ?⑧
式中t是粒子在電場中運動的時間。聯(lián)立①⑤⑥⑦⑧式得 ⑨
總之找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進入一勻強磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運動,抓住運動中的任兩點處的速度,分別作出各速度的垂線,則二垂線的交點必為圓心;或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心;再利用數(shù)學(xué)知識求出圓周運動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。