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一、考查橢圓、雙曲線離心率

橢圓、雙曲線的離心率考查有兩種形式：一種是計(jì)算離心率.關(guān)鍵是建立一個(gè)關(guān)于[a]，[b]，[c]的方程，通過這個(gè)方程只要能求出[ca]或[ba]即可，不一定具體求出[a]，[b]，[c]的數(shù)值. 第二種是求離心率的范圍.關(guān)鍵是確立關(guān)于[a]，[b]，[c]的不等式，確定[ca]的范圍.

例1 ?（1）已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右頂點(diǎn)分別是[A，B]，左、右焦點(diǎn)分別是[F1]，[F2].若[|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ? ? ? .

（2）已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，[P]是它們?cè)诘谝幌笙薜墓颤c(diǎn)，且[∠F1PF2=π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ? ）

A. [433] B. [233] ?C. 3 ? D. 2

解析 ?（1）橢圓的頂點(diǎn)為[A（-a，0）]，[B（a，0）]，焦點(diǎn)為[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]，所以[|AF1|=a-c]，[|F1B|=a+c]，[|F1F2|=2c].因?yàn)閇|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比數(shù)列，所以有[4c2=（a-c）（a+c）=a2-c2]，即[5c2=a2]，所以[a=5c]，故離心率[e=ca=55].

（2）法一：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]），雙曲線準(zhǔn)方程為[x2a12-y2b12=1]（[a1>0，b1>0]），由題意知，[a>a1>0]，半焦距為[c]. [P]為第一象限點(diǎn).

由橢圓、雙曲線定義得，

[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2a1]，

故[|PF1|=a+a1]，[|PF2|=a-a1].

因?yàn)閇∠F1PF2=π3]，由余弦定理得，

[4c2=（a+a1）2+（a-a1）2-（a+a1）（a-a1）]，

故[4c2=a2+3a12].所以[4=a2c2+3a12c2，]即[4=1e2+3e12].

由柯西不等式得，

[4×43=（1e2+3e12）（12+（13）2）≥（1e+1e1）2].

所以[1e+1e1]的最大值為[433].答案為A.

法二：由法一知，[4=a2c2+3a12c2]，

令[1e=2cosθ]，[3e1=2sinθ]，

則[1e+1e1=2cosθ+233sinθ][=433sin（θ+β）]，

其中[tanβ=3]，

所以[1e+1e1]的最大值為[433].答案為A.

點(diǎn)撥 ?考查橢圓、雙曲線的定義及性質(zhì)，柯西不等式，三角變換等.近3年湖北卷在選填題中考查圓錐曲線有兩種趨勢(shì)值得同學(xué)們注意：（1）二次曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的綜合考查，（2）和不等式、三角等聯(lián)合考查. 建議同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中，加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練.

二、考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷通常用判別式法.即聯(lián)立曲線方程和直線方程，消去[y]，得到關(guān)于[x]的一元二次方程，其判別式為[Δ]. 若[Δ>0]，則直線與曲線相交;若[Δ=0]，則直線與曲線相切;若[Δ<0]，則直線與曲線相離.對(duì)圓錐曲線的考查，不管是定值和定點(diǎn)問題、最值問題，還是探索性問題都是以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究為基礎(chǔ)出題.

例2 ?已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的離心率為[22]，左右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，拋物線[y2=42x]的焦點(diǎn)[F]恰好是該橢圓[C]的一個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）已知圓[O：x2+y2=23]的切線[l]與橢圓相交于[A，B]兩點(diǎn)，那么以[AB]為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不是，請(qǐng)說明理由.

解析 ?（1）因?yàn)闄E圓離心率是[22]，

所以[ca=22]，即[a=2c].

因?yàn)閽佄锞€[y2=42x]的焦點(diǎn)[F（2，0）]恰好是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，

所以[a=2]，[c=1，b=1].

所以橢圓方程為[x22+y2=1].

（2）①當(dāng)直線[l]的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€[l]與圓[O]相切，

故切線方程為[x=63]或者[x=-63].

當(dāng)切線為[x=63]，聯(lián)立橢圓方程解得交點(diǎn)分別為[（63，63）]，[（63，-63）]，則以[A，B]為直徑的圓的方程為[（x-63）2+y2=23].

同理當(dāng)切線為[x=-63]時(shí)，以[A，B]為直徑的圓的方程為[（x+63）2+y2=23].兩圓的交點(diǎn)為[（0，0）]，

故以[A，B]為直徑的圓恒過定點(diǎn)[（0，0）].

②當(dāng)直線[l]的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為[y=kx+m]，

由[x22+y2=1，y=kx+m]消去[y]得，

[（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0]，

設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

則[x1+x2=-4km2k2+1]，[x1?x2=2m2-22k2+1]，

所以[y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=m2-k22k2+1.]

所以[OA?OB=x1x2+y1y2=3m2-2k2-22k2+1]（※）.

因?yàn)橹本€[l]與圓相切，所以圓心到直線的距離[d=m1+k2=63.]

整理得，[m2=23（1+k2）]（※※），

將（※※）代入（※）式得，[OA?OB=0].

顯然以[AB]為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)[O（0，0）].

綜上可知，以[AB]為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)[O（0，0）].

點(diǎn)撥 ?近3年圓錐曲線綜合性題目的考查多以直線與曲線位置關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，考查橢圓、拋物線方程及性質(zhì);直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題. 通常有以下幾點(diǎn)需要引起注意.（1）直線與圓的位置關(guān)系判斷通常用點(diǎn)線距離法，即圓心到直線的距離[d]與半徑[r]比較.當(dāng)[d>r]，直線與圓相離;當(dāng)[d=r]，直線與圓相切;當(dāng)[d