蔡洪新

摘 要：本文主要運(yùn)用微積分的思想方法及其相關(guān)基本定理來指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)中一些問題的解決，主要包括中學(xué)代數(shù)與幾何中一些初等數(shù)學(xué)問題。文章主要舉例說明微積分在幾何圖像的面積、切線方程的求解等幾何問題以及初等函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式等代數(shù)問題中的應(yīng)用，為這類初等數(shù)學(xué)的問題提供更簡單、實(shí)用的解決方法。

關(guān)鍵詞：微積分 初等數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類號：O12-4；G652；O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-8882（2014）12-247-03

一、引言

微積分作為高等數(shù)學(xué)主要構(gòu)成部分，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)相互連接的地方之一，所以對于微積分運(yùn)用于初等數(shù)學(xué)的研究有著很重要的意義。有些初等數(shù)學(xué)問題的解決方法通常有很多種，但是都存在一定的缺陷，比如說解題方法比較復(fù)雜，學(xué)生不容易理解或者記憶等。而這類問題用微積分來解決的話不但簡單實(shí)用、容易理解，并且可以凸顯出問題的實(shí)質(zhì)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，微積分是研究初等函數(shù)和幾何問題最有效的工具。因此本文主要通過舉例來說明微積分在初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)單調(diào)性、極值、切線方程求解、不等式等問題上的有效運(yùn)用。

二、微積分在中學(xué)幾何中的運(yùn)用

微積分的兩大部分為微分與積分，而微分在一元函數(shù)的情況下實(shí)際上求微分就是求一個(gè)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。而我們知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是表示函數(shù)曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，其本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。同樣我們也熟悉定積分的實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間中圖線下包圍的面積。那么對于微積分在初等數(shù)學(xué)中幾何運(yùn)用主要就在于這兩個(gè)方面。

（一）用微積分求解切線

圓的切線在初中數(shù)學(xué)里定義是該直線與圓僅有一交點(diǎn)，然而該定義如果運(yùn)用在其他的曲線上來求切線便是錯(cuò)誤的。比如，拋物線 和直線x=0的交點(diǎn)只有一個(gè)，但不是其切線，等等。所以在初中數(shù)學(xué)中切線是沒有普遍的定義的。但微積分卻能夠給出曲線的切線普遍定義。

我們知道函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f（x0）。相應(yīng)地，切線方程為y-y0=f/（x0）（x-x0）。這樣我們便可以用微積分輕而易舉的來求曲線的切線相關(guān)幾何問題。

例：在函數(shù) 的圖象上，其切線的傾斜角小于 的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.3 B.2 C.1 D.0

[解析]：切線的斜率為

又切線的傾斜角小于 ，即

故

解得：

故沒有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)。

如果該題不用微積分求解，而只是畫圖之類，用初等數(shù)學(xué)的知識便無從下手。

同樣，此類有關(guān)切線的問題用微積分求解簡直是輕而易舉之事，但是在初等數(shù)學(xué)里卻沒有相關(guān)的其他求解方法，可見對于曲線的切線問題微積分是多么的重要。

（二）用微積分求解面積、體積

在中學(xué)幾何中，對于一些常見幾何體的面積、體積都會有相對應(yīng)的公式，但是這些公式是怎么推導(dǎo)出來的卻沒有相應(yīng)的解釋。對于曲線圍成的面積或者體積無法進(jìn)行求解，而學(xué)了微積分后我們便可以對這些公式進(jìn)行嚴(yán)格的推導(dǎo)，并且能夠解決面積求解的問題。

從定積分的幾何意義可知：

① 若在 上， 則 表示由曲線 和直線 軸所圍成的曲邊梯形面積。

② 在 且曲邊梯形的曲邊位于x軸的下方，故這時(shí)定積分 表示曲邊梯形面積的負(fù)值；

③ 在 上， 既取得正值又取得負(fù)值時(shí)，函數(shù) 的圖形部分位于 軸上方，部分位于 軸下方，此時(shí)定積分 表示 軸上方圖形面積與 軸下方圖形的面積的差，即各部分面積的代數(shù)和。

由定積分的幾何意義可知，我們可以很容易的通過定積分對圖形的面積進(jìn)行求解，同樣對于體積的求解也非常簡單。比如，由方程 與 以及 所圍成的平面圖形繞 軸與 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 與 。

例1：直線 ， 與曲線 還有 軸共同圍成的圖形面積為（）

A. B. C. D.

解：如圖所示，該區(qū)域面積為 ，則選D.

因?yàn)橛蓛蓷l曲線 所圍成的平面圖形面積為

。當(dāng)然對于更加復(fù)雜的直角坐標(biāo)系下的平面

圖形面積的計(jì)算也能夠輕松的計(jì)算出來，如由方程 與 以及

所圍成的平面圖形面積為 。

例2推導(dǎo)圓面積公式

解：以圓心作為二維坐標(biāo)原點(diǎn)，那么可知圓方程是 ，它的圓面積是

令 ，那么

通過上述可知對于初等數(shù)學(xué)中面積、體積公式的推導(dǎo)可以有微積分嚴(yán)格的推導(dǎo)出來，并且可以對相對比較復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行面積甚至體積的簡易求解。如此，可以提升初等數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，并且還能夠擴(kuò)展中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、微積分在中學(xué)代數(shù)中的運(yùn)用

由導(dǎo)數(shù)的幾何特性我們可以知道在函數(shù)的圖像中可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來處理一些數(shù)學(xué)問題。比如說函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等相關(guān)問題的求解都是可以用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行簡單的求解。當(dāng)然對于微積分在中學(xué)代數(shù)中的運(yùn)用還有數(shù)列求解、不等式的證明等方面，本節(jié)會給出一些主要的例子進(jìn)行說明。

（一）函數(shù)單調(diào)性

單調(diào)性作為函數(shù)最基本特性之一，是中學(xué)函數(shù)需掌握的最基礎(chǔ)的知識.而用其定義來求解函數(shù)的單調(diào)性技巧性很強(qiáng)，并且不易掌握，但用導(dǎo)數(shù)來處理函數(shù)單調(diào)性問題卻簡單又快捷。

（1）設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，如果 ，則 在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果 ，則 在此區(qū)間上為減函數(shù)。

（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)。

由上述定理可知，我們要求解函數(shù)的單調(diào)遞增或者遞減區(qū)間的時(shí)候只需要求其導(dǎo)數(shù)，然后用其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)值便可以很容易的知道該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不需要任何的技巧，也特別易于掌握。

例 設(shè) 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。

解：

若 ， 對 恒成立，此時(shí) 只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾；

若 ， ∴ ， 也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾；

若 ∵ ，此時(shí) 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。

∴ 且單調(diào)減區(qū)間為 和 ，單調(diào)增區(qū)間為

假若該題使用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行求解，需要設(shè)定 ，然后將其代入函數(shù) 中相減來比較大小以判斷函數(shù)的增減性去分類求解a的取值范圍，這樣不斷需要進(jìn)行化簡，還需要復(fù)雜的討論，比較耗時(shí)耗力。而上述求導(dǎo)的方法卻可以輕易的解決，這就是微積分在判定函數(shù)單調(diào)性上的優(yōu)勢。

（二）極值、最值

初等數(shù)學(xué)里，通常使用配方、不等式等來求解極值、最值。這些方法通常有3個(gè)缺點(diǎn)：1）技巧性較高，尤其對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；2）適用面比較窄，僅可以解決一些特殊性數(shù)學(xué)問題；3）容易使得極值與最值混淆，從而遺漏極值。然而用微積分來求解極值、最值，通常有固定步驟可循，并且技巧性也較低，同時(shí)適用面也較廣，其極值與最值也較易區(qū)分。

我們知道曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；這樣我們只需要求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就可以判定函數(shù)的極值了。

例1函數(shù) 已知 時(shí)取得極值，則 =（）

A.2 B.3 C.4 D.5

[解析]：∵ ，又 時(shí)取得極值

∴

則 =5

例2函數(shù) 在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是多少？

[解析]：由 =0，得 ，

當(dāng) 時(shí)， >0，當(dāng) 時(shí)， <0，當(dāng) 時(shí)， >0，

故 的極小值、極大值分別為 ，

而

故函數(shù) 在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17。

通過上述兩個(gè)例題可知，對于函數(shù)極值、最值的求解使用微積分能夠很容易解決，并且不需要什么技巧，容易掌握。

（三）數(shù)列

數(shù)列作為初等數(shù)學(xué)中一個(gè)難點(diǎn)，數(shù)列的求解技巧性太強(qiáng)，可以難倒眾多考生。數(shù)列問題最常見的莫過于求通項(xiàng)公式、求和、極限等。這從某種程度上來說和微積分有相似之處，運(yùn)用微積分在解決某些數(shù)列問題可以達(dá)到一目了然的效果，并且易學(xué)易懂，下面舉例進(jìn)行說明。

例1數(shù)列 中， ， ，

（1）求解數(shù)列 通項(xiàng)公式；

（2）該數(shù)列的前 項(xiàng)的和記為 ，需證明 。

解：（1）由上可得 ， ， ，那么可推斷 ，

通過數(shù)學(xué)歸納法能證明（略）。

（2）可構(gòu)造函數(shù)

由于 ，

當(dāng) 時(shí)， ，則 是單調(diào)遞增性函數(shù)，

則 ，所以 ，

= 。

即 。

說明：因?yàn)閿?shù)列可認(rèn)為是定義域是自然數(shù)的函數(shù)，因此數(shù)列問題也可轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來解決，題中第（2）小題的解法，首先需構(gòu)造函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，從而可得到 ，再把 換成自然數(shù) 相關(guān)形式，這樣便使得問題得到解決，這類問題一般解法就是如此。

像此類數(shù)列問題假若用其它方法進(jìn)行求解簡直是舉步維艱，而用上述導(dǎo)數(shù)方法求解卻顯得尤為簡單，并且步驟可循。導(dǎo)數(shù)作為新教材的新增內(nèi)容，給中學(xué)數(shù)學(xué)增添活力，提供了新的思想，對數(shù)列問題的解決有實(shí)質(zhì)性的意義，通過導(dǎo)數(shù)來研究數(shù)列單調(diào)性及、最值、求和等問題比傳統(tǒng)的方法更加簡單。

例2求

分析：將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間 等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限。

解 將區(qū)間 等分，則每個(gè)小區(qū)間長為 ，然后把 的一個(gè)因子 乘入和式中各項(xiàng)。于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分。即

=

= 。

分析：用定積分來求解該類數(shù)列問題可以達(dá)到簡便、快速的效果，如果用其它的方法來解題，其求解過程復(fù)雜，耗時(shí)較多，并且不易熟練。

通過上述兩個(gè)例題可以說明微積分在初等死數(shù)學(xué)中數(shù)列問題的應(yīng)用上可以取得意想不到的效果。用微積分高等數(shù)學(xué)的思想來解決數(shù)列問題簡易、快速，值得在中學(xué)教學(xué)中進(jìn)行推廣，不但能夠開闊學(xué)生的解題思維，并且可以為以后學(xué)生進(jìn)一步的深造打基礎(chǔ)。

（四）不等式、恒等式

由微積分在數(shù)列問題上的應(yīng)用可知，微積分同樣可以用于不等式，因?yàn)橥瑯涌梢詫⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可以通過函數(shù)的單調(diào)性等特征來解決不等式的數(shù)學(xué)問題。

例1已知f（x）= 在x=1，x= 時(shí)，都能取得極值。

（1）求a、b的值。

（2）若對 ，使得 恒成立，求解c值范圍。

解：（1）由題意得f（x）= 的兩個(gè)根是1和

通過韋達(dá)定理，知：1 = ，

那么 ，

（2）由（1），有 （x）=+，f/（x）=

當(dāng) 時(shí)， ，而當(dāng) 時(shí)， ，又當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， 可取得極大值 ， ，

∴ 當(dāng) ， 最大值是

對 ，均使得 恒成立，∴ ，

可得 或

例2求證：

證明：假設(shè) ，那么

因此 ，令 ，可得

，所以 .

通過上述兩個(gè)例題可知，導(dǎo)數(shù)在不等式、恒等式問題的處理上有其優(yōu)越性，當(dāng)然上述例題只是不等式、恒等式運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的一方面，對于其他類型的不等式、恒等式我們還可以用導(dǎo)數(shù)的定義、極值、最值等特性來進(jìn)行處理，這不僅能夠簡化該類問題求解的過程，還能夠開闊學(xué)生的思維方式。

四、結(jié)論

從上述內(nèi)容可知，運(yùn)用微積分的思想、方法來解決初等數(shù)學(xué)問題顯示出了其解題的優(yōu)越性。微積分不僅能夠簡化問題、加速解題的時(shí)間；還能使得學(xué)生從更深處來看待數(shù)學(xué)問題；同時(shí)還能給學(xué)生的解題思路一些啟發(fā)，開闊學(xué)生的思維，真是可以達(dá)到一舉多得的效果。當(dāng)然微積分在初等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用很廣泛，還有很多用法需要我們進(jìn)一步探索和研究，對于完善微積分在初等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用、提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量、完美接合高等數(shù)學(xué)的研究具有很重要的價(jià)值與意義。

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