楊振平 李凈

【摘要】因?yàn)橐恍┬盘?hào)如單邊增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)等，則根本不存在傅里葉變換。另外，再求傅里葉反變換時(shí)，需要求從到區(qū)間的廣義積分。求這個(gè)積分往往是十分困難的，甚至是不可能的，所以需要引入一些特殊函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】傅里葉變換 拉普拉斯變換 復(fù)頻域

一、引言

利用傅里葉變換只能求系統(tǒng)函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)，而不能求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。在需要求零輸入響應(yīng)時(shí)，還得利用其它方法，例如經(jīng)典的方法。由于傅里葉變換在工程上受到一些限制，所以現(xiàn)今在研究線性系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)引入了拉普拉斯變換。

二、傅里葉變換和拉普拉斯變換的意義

傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗的理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中主要振動(dòng)頻率的特點(diǎn)。而拉普拉斯變換是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，這種計(jì)算往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果簡(jiǎn)單的多。

三、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

當(dāng)函數(shù) 不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，可采取給 乘以因子 （ 為任意實(shí)常數(shù)）的辦法，這樣即得到一個(gè)新的時(shí)間函數(shù) 。若能根據(jù)函數(shù) 的具體性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)倪x取 的值，從而使當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ，既滿足條件

則函數(shù) 即滿足絕對(duì)可積的條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢?jiàn)因子 起著使函數(shù) 收斂的作用，故稱 為收斂因子。

設(shè)函數(shù) 滿足狄里赫利條件且絕對(duì)可積（這可通過(guò)恰當(dāng)?shù)倪x取σ的值來(lái)達(dá)到），根據(jù) 可以得到 ，在上式中， 是以 的形式出現(xiàn)的。令 ，s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻率。 的單位為 ， 的單位為 。這樣上式變?yōu)?由于上式中的積分變量為t，故積分結(jié)果必為復(fù)變量s的函數(shù)，故應(yīng)將 改寫(xiě)成 ，即

復(fù)變函數(shù) 稱為時(shí)間函數(shù) 的單邊拉普拉斯變換。 稱為 的像函數(shù)， 稱為 的原函數(shù)。一般記為

符號(hào) 為一算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的時(shí)間函數(shù) 進(jìn)行拉普拉斯變換。利用 （t>0）或 可推導(dǎo)出 反變換的公式，即 對(duì)上式等式兩邊同時(shí)乘以 ，并考慮到 不是 的函數(shù)而可置于積分號(hào)內(nèi)。于是得 由于上式中被積函數(shù)是 ，而積分變量卻是實(shí)變量 ，所以欲進(jìn)行積分，必須進(jìn)行變量代換。因 故 （ 因?yàn)槿我鈱?shí)常數(shù)）故 且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。將以上這些式子帶入 中即得 （t>0）

或?qū)懗?稱為拉普拉斯變換，可以已知的像函數(shù) 求與之對(duì)應(yīng)的原函數(shù) 。一般記為 符號(hào) 為一算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的像函數(shù) 進(jìn)行拉普拉斯變換。式子 與 （t>0）或 構(gòu)成拉普拉斯變換對(duì)，一般記為 或

若 不是因果信號(hào)，則拉普拉斯變換式 的積分下限應(yīng)改寫(xiě)為（ ），即 稱為雙邊拉普拉斯變換。因?yàn)橐话愠Ｓ眯盘?hào)均為因果信號(hào)（即有始信號(hào)），所以我們一般主要討論和應(yīng)用單邊拉普拉斯變換。由上述可知，傅里葉變換是建立了信號(hào)的時(shí)域與頻域之間的關(guān)系，即 而拉普拉斯變換則是建立了信號(hào)的時(shí)域與復(fù)頻域之間的關(guān)系，即

復(fù)頻率平面是以復(fù)頻率 的實(shí)部 和虛部 為相互垂直的坐標(biāo)軸而構(gòu)成的平面，稱為復(fù)頻率平面，簡(jiǎn)稱s平面，如下圖5-1所示。

復(fù)頻率平面（即s平面）上有三個(gè)區(qū)域： 軸以左的區(qū)域?yàn)樽蟀腴_(kāi)平面； 軸以右的區(qū)域?yàn)橛野腴_(kāi)平面； 軸本身也是一個(gè)區(qū)域，它是左半開(kāi)平面與右半開(kāi)平面的分界軸。故將s平面劃分為這樣的三個(gè)區(qū)域，為以后研究提供了很大的方便。

四、結(jié)論

在線性微分方程的已知輸入求輸出時(shí)，若系統(tǒng)穩(wěn)定，且輸入信號(hào)的傅里葉變換存在，在零初始條件下（t<0，x（t），y（t）及各階導(dǎo)數(shù)為零），兩種方法求解結(jié)果相同，傅里葉變換同樣可用于對(duì)瞬時(shí)過(guò)程的求解。

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