梅磊

近幾年的高考中，對(duì)于立體幾何解答題，一般可以選擇用兩種方法求解，即綜合法和向量法。這兩種方法孰優(yōu)孰劣？我們?cè)谙鹿P之前該如何做出合理的選擇呢？現(xiàn)以2013年和2014年高考湖北理科試題為例分析，供大家參考。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想。

第一問(wèn)要求判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，由于直線l是平面BEF與平面ABC的交線，所以考慮從EF∥AC人手，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理容易進(jìn)行判斷與證明，顯然用綜合法比較好。

第二問(wèn)要求證明涉及三個(gè)空間角的一個(gè)等式sinθ= sinαsinβ成立。若選擇利用綜合法證明，則要根據(jù)三種空間角的定義在圖形中找出這三個(gè)空間角及關(guān)聯(lián)這三個(gè)空間角的模型，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型就是三棱錐F-BCD，它也是一個(gè)特殊的四面體，它的四個(gè)而都是直角三角形。若選擇利用向量法證明，有固定的程序：建系、寫(xiě)坐標(biāo)、求法向量、套公式、作答。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中的線面關(guān)系、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想。

第一問(wèn)中給出條件：λ=1，此時(shí)P、Q分別是DD1、BB1的中點(diǎn)，又題目中給出的是正方體模型，所以利用綜合法證明比較容易。

第二問(wèn)要求判斷平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角是否能為直二面角。若利用綜合法，則要找出平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角的平面角，添加的輔助線比較多；若利用向量法，避免了添加輔助線，且計(jì)算量不大。

高考立體幾何解答題難度適中，命題形式比較穩(wěn)定。因此，立體幾何解答題向來(lái)是兵家必爭(zhēng)之地。面對(duì)立體幾何解答題，要想在有限的時(shí)間內(nèi)拿到穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)，審題之后，如何迅速?zèng)Q策采用綜合法還是向量法或兼而用之就成為了關(guān)鍵。

通過(guò)上面兩道例題，我們發(fā)現(xiàn)：用向量法（本質(zhì)是代數(shù)法）來(lái)解決中學(xué)立體幾何問(wèn)題，克服了利用綜合法（本質(zhì)是幾何法）常常需要添加若干輔助線而顯得思路曲折的缺點(diǎn)，以算代證，數(shù)形結(jié)合，因而使解題思路更加清晰、簡(jiǎn)捷，解法順理成章，尤其是求空間角和距離問(wèn)題、證明線面平行與垂直問(wèn)題，以及解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，顯得簡(jiǎn)便、快速。但是我們也應(yīng)注意到：利用向量法盡管易操作但過(guò)程多，一個(gè)坐標(biāo)寫(xiě)錯(cuò)或一個(gè)計(jì)算出錯(cuò)就會(huì)導(dǎo)致“滿盤(pán)皆輸”，而利用綜合法，有時(shí)只需用一個(gè)定理、作一條輔助線就可完成解答?；诖?，可參考以下建議：若不容易建系或非坐標(biāo)向量法也不好用，應(yīng)利用傳統(tǒng)的綜合法解題；若以正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱、正棱錐為背景或具備兩兩垂直（有時(shí)需要通過(guò)線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證出），這時(shí)往往兩種方法均可運(yùn)用，但可不急于利用建系解決，先看看是否較容易證（平行、垂直）、較容易找（線線角、線面角、面面角）、較容易求（距離、體積、面積），如果不方便利用綜合法，再用向量法也不遲。

綜合法和向量法是解決立體幾何問(wèn)題的兩把利器，利用綜合法解題思路巧妙，但計(jì)算簡(jiǎn)單；利用向量法解題思路簡(jiǎn)單，但計(jì)算復(fù)雜，二者各有利弊。面對(duì)具體的問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)具體條件和特點(diǎn)選擇合適的方法。一言以蔽之，綜合法PK向量法：用而優(yōu)則選。

提示：第一問(wèn)是三棱錐的體積的最值問(wèn)題，可利用導(dǎo)數(shù)求解，也可直接利用基本不等式求解。對(duì)于第二問(wèn)，若利用綜合法，需要將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，線面角需要根據(jù)定義作出，推理過(guò)程煩瑣且計(jì)算量大；若利用向量法，因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)直二面角，所以建系很方便，計(jì)算也容易。相比之下，利用向量法明顯簡(jiǎn)潔一些。