蘭華龍

【摘要】本文從學(xué)生的認(rèn)知能力出發(fā)，拓展基本積分公式的作用，采用等價(jià)變形、轉(zhuǎn)化等方法，力求解決換元積分中如何換元問題，以此揭示求解不定積分的解題思想方法.

【關(guān)鍵詞】不定積分;公式拓展;轉(zhuǎn)化;數(shù)學(xué)方法

大多數(shù)學(xué)生在中學(xué)時(shí)就非常熟悉換元法，它是解答相關(guān)問題的常用數(shù)學(xué)方法，換元積分法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).較多的學(xué)生感到不容易掌握換元積分公式的應(yīng)用，原因是把握不好怎樣換元，為此，我在教學(xué)實(shí)踐中做了以下嘗試：

一、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本積分公式的再認(rèn)識(shí)，拓展基本積分公式的應(yīng)用

傳統(tǒng)的教學(xué)方法是先介紹換元積分公式，再運(yùn)用公式求積分

設(shè)∫f（u）du=F（u）+C且u=φ（x）可導(dǎo)，則有

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=∫f（u）du=[F（u）+C]=F（φ（x））+C.

問題是怎樣將∫g（x）dx 化為∫f[φ（x）]φ′（x）dx形式，學(xué)生往往感到困惑. 如果從學(xué)生已經(jīng)熟悉的知識(shí)出發(fā)，進(jìn)一步挖掘基本積分公式的作用，其實(shí)教材中16個(gè)基本積分公式就是16類換元積分公式，對(duì)此學(xué)生的反映是：目標(biāo)明確，易于操作.

例如 介紹公式∫1udu=lnu+C時(shí) 指出這里u=x成立，當(dāng)u是x的函數(shù)，

即u=φ（x）時(shí)∫1φ（x）dφ（x）=lnφ（x）+C也成立

于是有 ∫12x+1d2x+1=ln2x+1+C;

∫1sinxdsinx=lnsinx+C……

二、發(fā)揮等價(jià)變形在換元積分中的作用，解決好如何換元問題

如何將一個(gè)不定積分形式轉(zhuǎn)化為基本積分公式類型是解決換元積分問題的關(guān)鍵.下面以求兩個(gè)例題的不同解法說明.

例1 求∫11+cosxdx.

解法1（應(yīng)用三角函數(shù)公式合項(xiàng)、湊微分）

∫11+cosxdx=∫11+2cos2x2-1dx=∫12cos2x2dx

=12∫sec2x2dx=∫sec2x2dx2=tanx2+C.

解法2（分子分母同乘、拆項(xiàng)、湊微分）

∫11+cosxdx=∫1-cosx1-cos2xdx=∫1-cosxsin2xdx

=∫1sin2xdx-∫cosxsin2xdx=∫csc2xdx-∫1sin2xdsinx

=-cotx+1sinx+C.

解法3（利用萬能公式）

設(shè)t=tanx2，則 sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

于是1+cosx=1+1-t21+t2=21+t2.

所以∫11+cosxdx=∫1+t22·21+t2dt=∫dt =t+C=tanx2+C.

解法4（添項(xiàng)、湊微分）

∫11+cosxdx=∫1-sinx1+cosxdx+∫sinx1+cosxdx

=∫1-sinx1-cosx1-cos2xdx+∫sinx1-cosxdx

=∫1-sinx-cosx+sinxcosxsin2xdx-∫11+cosxd1+cosx

=-cotx-lncscx-cotx+1sinx+lnsinx-ln|1+cosx|+C.

例2 求 ∫1xx2-1dx（x>1）.

解法1（三角代換）設(shè)x=sect，0

∫1xx2-1dx=∫1secttantsecttantdt=∫dt=t+c=arccos1x+C.

解法2（第二換元法） 設(shè)x2-1=t x=t2-1 ，則dx=1t2-1dt.

∫1xx2-1dx=∫1t2+1.t.tt2+1dt=∫dtt2+1=arctant+C =arctanx2-1+C.

解法3（倒數(shù)變換、湊微分）設(shè)x=1t，則dx=-1t2dt.

∫1xx2-1dx=∫11t1t2-1-1t2dt=∫-11-t2dt =-arcsint+c=-arcsin1x+C.

通過教學(xué)示范，讓學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到利用換元積分法求積分，重要的是要善于觀察已給積分的形式，應(yīng)用相關(guān)變形、代換轉(zhuǎn)化為某個(gè)基本積分公式類型求解.