楊文金

概率與統(tǒng)計(jì)圖表結(jié)合

概率與與統(tǒng)計(jì)圖表相結(jié)合是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn). 我們應(yīng)掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、頻率分布密度曲線的幾何意義.

[50 100 150 200 250][0.006

0.005

0.004

0.003

0.002][日銷售量/個(gè)][頻率

組距][O]例1 ?（2014年高考遼寧卷）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.

（1）求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;

（2）用[X]表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量[X]的分布列，期望[E（X）]及方差[D（X）].

解析 ?（1）設(shè)[A1]表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，[A2]表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，[B]表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另1天銷售量低于50個(gè)”. 因此

[P（A1）]=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

[P（A2）]=0.003×50=0.15，

[P（B）]=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）[X]可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為

[P（X=0）]=C[03]·（1-0.6）3=0.064，

[P（X=1）]=C[13]·0.6（1-0.6）2=0.288，

[P（X=2）]=C[23]·0.62（1-0.6）=0.432，

[P（X=3）]=C[33]·0.63=0.216.

[X]的分布列為

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.064＼&0.288＼&0.432＼&0.216＼&]

因?yàn)閇X～B]（3，0.6），所以期望[E（X）]=3×0.6=1.8，方差[D（X）]=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

點(diǎn)撥 ?本題主要考查頻率分布直方圖與二項(xiàng)分布，要求我們讀懂頻率分布直方圖，會(huì)利用二項(xiàng)分布求概率.

概率與統(tǒng)計(jì)的數(shù)字特征相結(jié)合

本內(nèi)容主要要求我們掌握統(tǒng)計(jì)的常見(jiàn)的數(shù)字特征的算法，比如中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

例2 ?（2014年高考湖北卷）計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水年入流量[X]（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率.

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量[X]限制，并有如下關(guān)系：

[年入流量X＼&40120＼&發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)＼&1＼&2＼&3＼&]

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

解析 ?（1）依題意，[p1=P（40120）=550]=0.1.

由二項(xiàng)分布得，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3p3=]0.94+4×0.93×0.1=0.9477.

（2）記水電站年總利潤(rùn)為[Y]（單位：萬(wàn)元）.

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)[Y]=5000，[E（Y）]=5000×1=5000.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40<[X]<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)[Y]=5000-800=4200，因此P（Y=4200）=P（40

[[Y]＼&4200＼&10000＼&[P]＼&0.2＼&0.8＼&]

所以，[E（Y）]=4200×0.2+10000×0.8=8840.

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)40120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×3=15000，因此P（Y=15000）=P（X>120）=p3=0.1. 由此得Y的分布列如下：

[Y＼&3400＼&9200＼&15000＼&P＼&0.2＼&0.7＼&0.1＼&]

所以，[E（Y）]=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.

綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

點(diǎn)撥 ?在計(jì)算二項(xiàng)分布的概率分布列時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）分清楚在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，總共進(jìn)行了多少次重復(fù)試驗(yàn)，即先確定[n]的值，然后確定在一次試驗(yàn)中某事件[A]發(fā)生的概率是多少，即確定[p]的值，最后再確定某事件[A]發(fā)生了多少次，即確定[k]的值;（2）準(zhǔn)確算出每一種情況下，某事件[A]發(fā)生的概率;（3）算出的結(jié)果要驗(yàn)證是否符合離散型概率分布列的兩個(gè)基本性質(zhì).

古典概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸方程相結(jié)合

本內(nèi)容主要是考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸方程的求法和步驟. 應(yīng)特別注意回歸方程求解過(guò)程中公式的靈活應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn)求解過(guò)程中的解題步驟.

例3 ?（2014年高考全國(guó)Ⅱ卷）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入[y]（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

[年份＼&2007＼&2008＼&2009＼&2010＼&2011＼&2012＼&2013＼&年份代號(hào)t＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&人均純收入y＼&2.9＼&3.3＼&3.6＼&4.4＼&4.8＼&5.2＼&5.9＼&]

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程;

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：[b=i=1n（ti-t）（yi-y）i=1n（ti-t）2]，[a=y-bt.]

解析 ?（1）由題意知[t=17]（1+2+3+4+5+6+7）=4，[y=17]（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，所以[b=4.2+2+0.7+0+0.5+1.8+4.89+4+1+0+1+4+9=0.5]

所以[a=y-bt=4.3-0.5×4=2.3]，

故線性回歸萬(wàn)程為[y=0.5t+2.3].

（2）由（1）中的線性回歸萬(wàn)程可知，[b>0]，所以在2007 至2013年該地區(qū)衣村居民家庭人均純收人在逐年增加，平均每年增加0.5千元.

令[t=9]得[y=0.5×9+2.3=6.8]，故預(yù)測(cè)該地區(qū)在2015年農(nóng)村居民家庭人均純收人為6.8千元 .

點(diǎn)撥 ?本小題主要考查線性回歸方程的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬中檔題目，考查同學(xué)們分析問(wèn)題與解訣問(wèn)題的能力.

古典概率與抽樣方法結(jié)合

本內(nèi)容主要是考查統(tǒng)計(jì)中的幾種抽樣方法.特別注意辨別系統(tǒng)抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的適用范圍和操作步驟.

例4 ?（2014年高考湖南卷）對(duì)一個(gè)容量為[N]的總體抽取容量為[n]的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為[p1，p2，p3]，則（ ? ）

A. [p1=p2

C. [p1=p3解析 ?簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都必須滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，即[p1=p2=p3].

答案 ?D