劉成剛

[摘 要]天體運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)的難點(diǎn)，隨著我國航天技術(shù)的飛速發(fā)展，天體運(yùn)動(dòng)問題逐漸成為高考命題的熱點(diǎn)，為了有效幫助學(xué)生提高解答此類問題的能力，本文從以下兩方面結(jié)合例題作些分析說明。

[關(guān)鍵詞]天體運(yùn)動(dòng) 周期 頻率

[中圖分類號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230042

高中物理中，天體運(yùn)動(dòng)一般視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，天體運(yùn)動(dòng)所需的向心力都是由它們所圍繞的星球?qū)λ鼈兊娜f有引力所提供的。處理天體運(yùn)動(dòng)問題的依據(jù)是萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，下面結(jié)合例題作些分析。

一、周期和頻率的含義及應(yīng)用

1.周期T：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間。

2.頻率f：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)1秒內(nèi)旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。周期和頻率互為倒數(shù)。T=1f。

【例1】 地球自轉(zhuǎn)周期為T0，在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期為T，求衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)？

解析：①先求衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間。

由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星所需的向心力，得：

GMmr2=m（2πT）2r

T=2πr3GM

由恒等變換：GM=R2g

得T=2πr3R2g

②再求衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)一周相當(dāng)多少天。

TT0=2πT0r3R2g

③最后求衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

TT0的倒數(shù)為衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

T0T

=T2πR2g（R+h）3

【例2】 有一種衛(wèi)星叫做極地衛(wèi)星，其軌道平面與地球的赤道平面成90°角，它常應(yīng)用于遙感、探測(cè)。假設(shè)有一個(gè)極地衛(wèi)星繞地球做勻速周運(yùn)動(dòng)。已知：該衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T0/4（T0為地球的自轉(zhuǎn)周期），地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R。則該衛(wèi)星一晝夜能有幾次經(jīng)過赤道上空？

解析：①先求衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)一周需要多少秒。

該衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T0/4（T0為地球的自轉(zhuǎn)周期）。

②再求衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)一周相當(dāng)多少天。

TT0=14天

③最后衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

TT0的倒數(shù)為衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

TT0=4圈

衛(wèi)星每運(yùn)轉(zhuǎn)一圈兩次經(jīng)過赤道上空，故該衛(wèi)星一晝夜能有8次經(jīng)過赤道上空。

二、周期和頻率的拓展應(yīng)用

1.以地球自轉(zhuǎn)周期（T0=24小時(shí)）為單位計(jì)算衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)n。

問題：近地衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)動(dòng)多少圈？

方法一：GMmR2=m（2πT）2R

恒等變換：GM=R2g

（1）衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期：

T=2πR3GM=

2πRg=

2×3.146.4×1069.8=

5024s

（2）衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期：TT0=

502424×3600

天

（3）衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)圈數(shù)n=T0T=24×36005024=17.2圈

方法二：以地球同步衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期（T0=24小時(shí)）為單位計(jì)算近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)n。

（1）同步衛(wèi)星：GMm（R+h）2=

m（2πT1）2（R+h）

T1=2π（R+g）3GM

（2）近地衛(wèi)星：GMmR2=m（2πT2）R

T2=2πR3GM

單位為：秒

（3）近地衛(wèi)星的周期：

T2T1=

R3（R+h）3

單位為：天

（4）近地衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)圈數(shù)：

n=T1T2=

（R+hR）3=

（1+hR）3=

（1+3.6×1076.4×106）=

17.2圈

【例3】 宇宙飛船以周期T繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T0。太陽光可看作平行光，宇航員在A點(diǎn)測(cè)出的張角為α，則一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為多少？

解：①宇宙飛船繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T，單位為秒。

②宇宙飛船繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T/T0，單位為天。

③一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T0T。

【例4】 偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球的半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T0

解法一：極地偵察衛(wèi)星滿足牛頓第二定律方程。

地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星所需的向心力

GMm（R+h）2=

m（2πT1）2（R+h）

地球表面有恒等變換：GM=R2g

聯(lián)立求解有：T1=2π（R+h）3R2g

考察赤道地面上物體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和極地偵察衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面是互相垂直的。

由角速度公式：

ω=ΔθΔt

Δt=Δθω

Δθ1ω1=Δθ2ω2

Δθ2=ω2ω1Δθ1=

T1T2Δθ1

取衛(wèi)星：Δθ1=2π

地球半徑掃過的角度：

Δθ2=T1T2Δθ1=

2πT1T2=

4π2T0

（R+h）3R2g

衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)：

l=R·Δθ=

4π2T0

（R+h）3g

解法二：極地偵察衛(wèi)星滿足牛頓第二定律方程。

地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星所需的向心力

GMm（R+h）2=

m（2πT1）（R+h）

地球表面有恒等變換：GM=R2g

聯(lián)立求解有：T1=2π（R+h）3R2g

考察赤道地面上物體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和極地偵察衛(wèi)星繞地球的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面是互相垂直的。

衛(wèi)星繞地一周，經(jīng)過處于白晝的赤道上空只能拍攝一次照片。

①衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T，單位為秒。

②衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T/T0，單位為天。

③衛(wèi)星每天拍攝照片的次數(shù)為N=T0T

設(shè)衛(wèi)星上的攝像機(jī)一次拍攝到的赤道上圓弧長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則有：2πR=NL

聯(lián)解以上四式得衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)為：

L=4π2T0（R+h）3g

2.以月球繞地球公轉(zhuǎn)周期（T0=27.3天）為單位計(jì)算衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)n

【例5】 已知地球半徑6400km，月地距離r=3.85×108m，地球同步衛(wèi)星距地高度h=3.6×107m，求地球同步衛(wèi)星每個(gè)月轉(zhuǎn)過的圈數(shù)？

解：對(duì)月球：G=Mmr2=m（2πT月）2r

T月=2πr3月GM

對(duì)地球同步衛(wèi)星：

GMm（R+h）2=m（2πT）2（R+h）

地球同步衛(wèi)星的周期：T=2π（R+h）3GM單位：秒

地球同步衛(wèi)星的周期：TT月=（R+hr）3

衛(wèi)星每月轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：

n=T 月T=

r3（R+h）3=

3.85×1086.4×106+3.6×107

=27.3圈

3.以任意衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期T0為單位計(jì)算衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)n

【例6】 如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M（Mm1，Mm2）。在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比ra∶rb=1∶4，則它們的周期之比Ta∶Tb= ；從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a繞c轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。

解：根據(jù)GMmr2=m4π2T2r

，得T=4π2r3GM，所以TaTb=

18

，

①a物繞c物運(yùn)轉(zhuǎn)周期為Ta，單位為秒。

②a物繞c物運(yùn)轉(zhuǎn)周期為Ta/Tb，單位為“b物周期Tb時(shí)間單位”。

③a物每“b物周期Tb時(shí)間單位”繞c物運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為N=TbTa=8

所以，從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a繞c轉(zhuǎn)動(dòng)8圈。

周期和頻率是圓周運(yùn)動(dòng)中描述運(yùn)動(dòng)快慢的兩個(gè)物理量，概念容易理解，要在物理習(xí)題中得心應(yīng)手地應(yīng)用它們，還需要特別關(guān)注。這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查近幾年已成為高考熱點(diǎn)問題。

（責(zé)任編輯 易志毅）