鄭文珍

[摘 要]剛體動(dòng)力學(xué)問題的求解是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)及難點(diǎn)。以原始公式為基礎(chǔ)，采用由整體到局部的分析法，按照一定的邏輯思維順序鏈?zhǔn)椒治?、推演，環(huán)環(huán)相扣，直到待求物理量全部用已知量表示為止，較好地解決教學(xué)難點(diǎn)，并以兩個(gè)典型問題進(jìn)行了示例。

[關(guān)鍵詞]分析法 剛體動(dòng)力學(xué) 應(yīng)用 示例

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2015）09-0121-02

剛體動(dòng)力學(xué)的求解問題，一直是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)[1]，也始終是大學(xué)生最感困惑的難點(diǎn)。如何解決好這一問題，保證對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解與掌握，突破大學(xué)理工科低年級(jí)學(xué)生普遍存在的會(huì)聽不會(huì)做的困擾？筆者在近幾年的大學(xué)物理教學(xué)中積累了一些經(jīng)驗(yàn)，即針對(duì)大學(xué)理工科低年級(jí)學(xué)生這一教學(xué)對(duì)象，以分析法為主，緊緊抓住牛頓運(yùn)動(dòng)定律這條主線，突出轉(zhuǎn)動(dòng)定律在剛體動(dòng)力學(xué)問題中的核心地位，精選內(nèi)容，通過典型實(shí)例剖析學(xué)生在求解這類問題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，正反對(duì)比，舉一反三，收到了好的效果。

所謂分析法，就是從整體到局部的邏輯思維方法，是把一個(gè)大的物理問題化整為零，各個(gè)擊破，逐步引向待求物理量的思考方法。具體地說，就是在認(rèn)真審題、分析題意的基礎(chǔ)上，首先找出能直接回答待求物理量的物理規(guī)律及其公式，我們稱之為原始公式。原始公式一般都是重要而基本的物理公式。正確地找出了原始公式，就有了正確的大前提。觀察原始公式中包含哪些未知量，確定小前提，再列出表達(dá)這些未知量的物理方程。如果這些方程中仍然含有新的物理量，就再列出相應(yīng)的表達(dá)式，這樣按照一定的邏輯思維順序鏈?zhǔn)椒治?、推演，環(huán)環(huán)相扣，直到待求物理量全部用已知量表達(dá)為止。對(duì)原始公式逐步分析、推演的過程，就是邏輯思維過程，是一個(gè)對(duì)物理內(nèi)容再加工的過程，也就是逐步引向待求物理量的解決過程，經(jīng)過這樣的分析處理，復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題往往都能得到正確的解答。下面舉兩個(gè)實(shí)例具體說明。

例1 如圖1，有一質(zhì)量均勻分布的剛性圓柱體，用一水平外力F作用于圓柱體的上半部，使它在水平面上作無滑滾動(dòng)[2]。F距圓心距離為a，問此時(shí)圓柱體所受靜摩擦力方向如何？

講評(píng)：初看此題，似乎極易回答。因而不少學(xué)生未做正確的分析與推理，便想當(dāng)然地得出結(jié)論。常見答案有以下三種：第一種，因外力F水平向右，使整個(gè)圓柱體有向右運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，故圓柱體與地面的接觸點(diǎn)A所受的靜摩擦力水平向左；第二種，因外力F不通過圓柱體質(zhì)心，故F對(duì)質(zhì)心的力矩不為零，這個(gè)力矩使圓柱體沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，故接觸點(diǎn)A相對(duì)于地面有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，因而靜摩擦力水平向右；第三種，因圓柱體作純滾動(dòng)，A點(diǎn)相對(duì)于地面的速度為零，無滑動(dòng)趨勢(shì)，故靜摩擦力為零。

分析：以上三種解答都具有片面性，缺乏整體考慮。實(shí)際上水平外力F的作用效果有兩個(gè)：一是使圓柱體有向右平動(dòng)的趨勢(shì)，二是使圓柱體有以過A點(diǎn)的直線為瞬軸沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)。兩種趨勢(shì)并存，關(guān)鍵是要看哪種趨勢(shì)占優(yōu)勢(shì)，才能確定摩擦力的取向。

再分析：外力F作用于圓柱體不同位置，產(chǎn)生不同的力矩，因而產(chǎn)生的角加速度不同?？赡苁瞧絼?dòng)趨勢(shì)大于轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，也可能是轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)大于平動(dòng)趨勢(shì)，亦或二者相抵消。這只能通過定量計(jì)算才能判別。為此需列出圓柱體的動(dòng)力學(xué)方程求解。由題可確定剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律為原始公式。

解答過程：由于靜摩擦力f的方向不能馬上確定，但由其性質(zhì)可知在此問題下只能是向左、向右或?yàn)榱鉡3]。故先假定f水平向右，若解得f為正，則表明f的方向與所設(shè)方向一致；若為負(fù)，則與之相反。設(shè)向右為x軸正向，圓柱體半徑為R、質(zhì)量為m，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可列出以下兩式：靜摩擦力的方向水平向左。

例2 如圖2示，一半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤置于粗糙的水平桌面上?，F(xiàn)令其以初始角速度ω0自轉(zhuǎn)，設(shè)圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止旋轉(zhuǎn)。

講評(píng)：作為一個(gè)典型的傳統(tǒng)問題[4]，本題常見的解答錯(cuò)誤有兩點(diǎn)：一是對(duì)力矩的求法，不少學(xué)生認(rèn)為摩擦力為μmg，因而桌面對(duì)圓盤的力矩為M=rf=μmgr；二是因圓盤未固定于某一定軸，無法正確確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置。

分析：從整體來看，這是力矩對(duì)時(shí)間的累積，應(yīng)該用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律公式為原始公式。

再分析：剛體在粗糙水平面上旋轉(zhuǎn)，圓盤質(zhì)量均勻分布，因初始角速度ω0不為零，故圓盤在水平桌面上繞過質(zhì)心且垂直于盤面的軸作雖無軸而有軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，仍然是“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，且各個(gè)質(zhì)元對(duì)軸的摩擦力矩因其位置不同而不同。

解答過程：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jα=J，故原始公式為Mdt=Jdω。式中J=mR2為圓盤繞通過質(zhì)心且垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

現(xiàn)在來計(jì)算圓盤所受的摩擦力矩M。設(shè)圓盤密度為ρ，對(duì)任一小質(zhì)元，其質(zhì)量dm可表示為dm=ρrdrdθ，每個(gè)小質(zhì)元所受到的摩擦力矩dM=rμgdm，因而圓盤所受的總摩擦力矩為此即為所求。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 馬文蔚.物理學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006，15.

[3] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005，241.

[4] 程守誅，江之永主編，胡盤新等改編.普通物理學(xué)（第五版）（第一冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1997，191.

[責(zé)任編輯：張 雷]