任金蓮，蔣 濤，朱 瑩

(揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225002)

一種改進的有限點集法模擬高階非線性動力學問題

任金蓮，蔣 濤*，朱 瑩

(揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225002)

針對高階非線性動力學問題的求解，提出了一種改進的有限點集法(corrected finite pointsetmethod，CFPM).首先將具有高階導數(shù)的非線性偏微分方程分解為若干一階偏微分方程，并采用有限點集法對其進行離散求解;然后連續(xù)應用低階導數(shù)逐階逼近高階導數(shù);最后對比一維非線性黏性Burgers方程及具有高階導數(shù)的KdV-Burgers方程的數(shù)值解與解析解，并將二維非線性Burgers方程的數(shù)值結果與其他數(shù)值結果進行比較.實例分析表明，CFPM方法能夠準確、可靠地求解非線性動力學問題.

有限點集法;非線性;黏性Burgers方程;KdV-Burgers方程

非線性動力學問題的研究對于許多物理現(xiàn)象的解釋具有重要意義［1-2］.近年來，非線性動力學問題的模擬研究備受關注.Liao［3］采用有限差分法研究了二維Burgers方程;Belytschko等［4］闡述了無網格方法在非線性動力學問題求解方面的應用;Kobert［5］和Tiwari［6］等提出了有限點集方法(finite pointsetmethod，F(xiàn)PM)，并用于求解Poisson方程及非線性Navier-Stokes問題，但對于高階導數(shù)的非線性動力學問題的模擬研究仍處于初級階段.本文基于文獻［7］提出一種改進的有限點集法(corrected finite pointsetmethod，CFPM)以求解高階非線性偏微分方程動力學問題.

1 問題描述

考慮二維黏性Burgers方程［8］

其中υ為黏性系數(shù)，u為速度，u=(u，v).方程(1)的初值條件為u(x，t0)=g0(x)，x=(x，y)∈Ω，邊界條件為 L(u(x，t))=φ(x，t)，x∈?Ω.

一維黏性Burgers方程為

其中 x∈［0，1］.方程(2)的初值條件為 u(x，0)=sin(πx)，邊界條件為 u(0，t)=u(1，t)=0.

一維 KdV-Burgers方程［9］為

2 本文方法

將空間的高階偏導數(shù)分解為多個一階偏導數(shù)，以三階導數(shù)為例，有

然后對一階偏導數(shù)進行離散.

在二維空間坐標下，函數(shù)f（x）在點x i＝（x i，y i）處的Taylor展開式為

其中m為時間層，m＝0，1，2，…；f（0）（x i）為初值，f k為第k個空間分量的一階偏導數(shù)；f kl，f lk為空間分量k，l的二階偏導數(shù)，f kl＝f lk；ei為截斷誤差.當i＝1，2，…，n時，有

即J＝ （Ma（m＋1）－b（m））TW（Ma（m＋1）－b（m）），其中W為相鄰各點處權函數(shù)值構成的對角矩陣，W＝diag（ω1，ω2，…，ωn），ωi為加權系數(shù).進一步根據(jù)多維函數(shù)極值原理可得

對區(qū)域離散點下一時刻值f（m＋1）進行迭代求解，得到其迭代終止條件為

其中ε通常取10－2量級的正值，N為模擬區(qū)域中離散點的總數(shù).

3 主要結果

3.1 一維問題的模擬

首先運用CFPM、SPH（smoothed particle hydrodynamics）和CSPH（corrected smoothed particle hydrodynamics）等3種方法求解一維Burgers方程，其中空間步長h＝1.1Δx，時間步長Δt＝10－4s，這里采用非均勻粒子布置.圖1給出了υ＝10－1，t＝0.05 s時刻下的速度剖面.由圖1可見，CFPM的數(shù)值結果更接近解析解，表明該方法數(shù)值精度更高，穩(wěn)定性好，能夠準確、可靠地求解一維Burgers方程.

圖1 不同方法下的數(shù)值結果Fig.1 Comparison of numerical results by different methods

圖2 不同黏度下一維Burgers方程的數(shù)值結果Fig.2 Numerical results for the 1－D Burgers equation with different viscosity

圖2給出了υ＝10－2和υ＝10－4兩種情況下采用CFPM和EFCG（element free characteristic galerkin）方法得到的數(shù)值模擬結果，這里采用點加密方式以增強模擬的穩(wěn)定性.由圖2可見，CFPM與EFCG的結果吻合，說明CFPM方法能夠穩(wěn)定、準確地捕捉較低黏度時出現(xiàn)的激波現(xiàn)象.

對一維 Kd V－Burgers方程進行模擬，取α＝0.000 9，β＝－0.000 02，計算區(qū)間為（－4，4），相應的數(shù)值模擬結果如圖3所示.由圖3可見，CFPM的結果與解析解吻合，表明CFPM方法能夠準確捕捉孤立波的傳播過程，且可以準確、可靠地求解具有三階導數(shù)的非線性問題.

3.2 二維問題的模擬

假設方程（1）的初邊值條件分別為

圖3 Kd V－Burgers方程的數(shù)值解與解析解Fig.3 The CFPM results for the Kd V－Burgers equation

圖4給出了υ＝10－2時不同時刻下二維Burgers方程沿x＝y(tǒng)方向的u速度和v速度曲線.由圖4可見，u速度在x＝1附近出現(xiàn)激波間斷現(xiàn)象；v速度在x＝0.6與x＝0.8之間出現(xiàn)激波間斷現(xiàn)象.CFPM模擬結果與EFCG結果［10］相吻合，表明CFPM能夠有效地模擬二維Burgers方程.圖5給出了速度u，v的等值線云圖.圖5顯示，u速度和v速度的變化趨勢不同且兩者變化的復雜度均較高.

圖4 二維Burgers方程沿x＝y(tǒng)方向的數(shù)值結果Fig.4 Numerical results for the 2－D Burgers equation along the x＝y(tǒng) direction

圖5 不同時刻下的速度等值線云圖Fig.5 The velocity contour at different times

4 結論

本文針對非線性動力學問題的求解，提出了一種改進的有限點集方法.通過一維和二維非線性問題的模擬實例，驗證了本文方法能夠很好地降低傳統(tǒng)的有限點集法在求解高階導數(shù)偏微分方程時的復雜度，且精度高、穩(wěn)定性好，能夠準確、可靠地模擬非線性動力學問題，并可有效預測二維Burgers方程解中復雜的激波間斷現(xiàn)象.

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［4］BELYTSCHKO T，KRONGAUZ Y K，F(xiàn)LEMING D，et al.Meshless methods：an overview and recent development［J］.Comput Meth Appl Mech Eng，1996，139（4）：3－47.

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A corrected finite pointset method for solving the non－linear dynamics problems

REN Jinlian，JIANG Tao＊，ZHU Ying

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

A corrected finite point－set method（CFPM）is proposed to solve the non－linear dynamics problems in this paper.The improvements in the proposed method are：the high－order partial differentiable equation（PDE）is decomposed into multi－first－order PDE；the obtained first－order PDE is discretized using the finite point－set method（FPM）；the discretization scheme of first－order PDE is continuously used to solve the higher－order PDE.To test the ability and merits of the proposed CFPM，one－dimensional（1D）Burgers equation with analytical solutions，1D Kd V－Burgers equation with three－order derivatives and 2D Burgers equation with initial boundary values condition are solved in turn，and compared with the analytical or other numerical solutions.The numerical results show that the CFPM can accurately and reliably solve the non－linear dynamics problems.

finite pointset method；non－linear；viscous Burgers equation；Kd V－Burgers equation

O 242.1;O 241.7

A

1007-824X(2015)03-0020-04

2014-10-05.* 聯(lián)系人，E-mail:jtrjl_2007@126.com.

國家自然科學基金資助項目(51309200);江蘇省自然科學基金資助項目(BK20130436);中國博士后科學基金面上資助項目(2014M550310).

任金蓮，蔣濤，朱瑩.一種改進的有限點集法模擬高階非線性動力學問題［J］.揚州大學學報(自然科學版)，2015，18(3):20-23，36.

（責任編輯 林 子）