謝獻忠 龍昊 李丹

（湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湘潭 411201）

引言

輸電線路是屬于懸索結(jié)構(gòu)中的大跨度高柔結(jié)構(gòu)，在承受自重、覆冰等靜荷載，風(fēng)、地震等動荷載下具有明顯的非線性行為［1］.正是由于其特殊性，輸電線路振動是非線性振動領(lǐng)域中非常典型的問題.國內(nèi)外絕大多數(shù)學(xué)者在研究輸電線路振動問題的理論建模時，往往只考慮了單檔輸電線的振動情況［2-3］，本文在以往研究的基礎(chǔ)上，考慮檔與檔之間的耦合振動，建立了更為完善的力學(xué)分析模型，并推導(dǎo)了兩檔輸電導(dǎo)線以及懸垂絕緣子串的非線性振動方程.利用數(shù)值分析軟件計算出系統(tǒng)的位移時程曲線，通過對不同工況下的兩檔輸電導(dǎo)線及垂懸絕緣子串的振動進行比較研究，從而得出了兩檔輸電導(dǎo)線的非線性耦合振動特性和共振特性.

1 兩檔輸電線路非線性耦合振動的力學(xué)模型

輸電線路在荷載作用下會發(fā)生面內(nèi)和面外的振動，為了便于研究，又能體現(xiàn)問題的本質(zhì)，本文只研究輸電線路在面內(nèi)的非線性振動，不考慮面外和扭轉(zhuǎn)方向的振動，并作以下基本假設(shè)：

（1）采用固定鉸支座模擬耐張塔對線的約束作用，輸電導(dǎo)線與懸垂絕緣子串的連接為理想鉸接，不計輸電導(dǎo)線的抗彎剛度、抗扭剛度和剪切剛度.

（2）輸電線重力垂度曲線為拋物線.

（3）考慮幾何非線性，但輸電導(dǎo)線的本構(gòu)關(guān)系滿足胡克定律.

本文建立的力學(xué)分析模型如圖1所示.

圖1 兩檔輸電導(dǎo)線耦合振動力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of coupled two-spans transmission line

不失一般性，取第一檔導(dǎo)線微元體作為研究對象，利用牛頓定律可建立輸電導(dǎo)線的運動方程

式中y1表示輸電線靜平衡時的曲線，u1表示偏離平衡位置的位移，T表示導(dǎo)線切向拉力，m表示輸電線單位長度的質(zhì)量，ü1表示位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)，s表示輸電導(dǎo)線的弧長坐標，θ表示傳輸角度.

考慮重力平衡，式（1）可以表示為

式中N1為初始切向拉力，n1為切向動拉力.同時考慮輸電導(dǎo)線的垂度、幾何非線性和端部位移，n1可以表示為

式中E表示輸電導(dǎo)線的綜合彈性模量，A表示輸電導(dǎo)線的橫截面積，l1表示輸電導(dǎo)線的長度，X表示輸電導(dǎo)線懸掛點擺動的的水平位移且

式中a為懸垂絕緣子串的長度，γ為懸垂絕緣子串的偏轉(zhuǎn)角.

根據(jù)基本假設(shè)（2），輸電導(dǎo)線在靜平衡條件下的垂度曲線可表示為

式中H為輸電導(dǎo)線的水平拉力，m為導(dǎo)線單位長度的質(zhì)量.

假定

在輸電導(dǎo)線的振動中基本模態(tài)占主要地位，故本文只研究k＝1的情況，即

以下用 u1代表u11，將式（4），（5），（7）代入式（3）化簡可得

將（8）式代入到（2）式，并考慮阻尼，可以得出第一檔輸電線路的振動微分方程

其中ε1為輸電導(dǎo)線的阻尼比，ω1為考慮垂度影響下的的輸電導(dǎo)線的振動頻率，α1～α4為振動方程的系數(shù)，且

同理，第二檔輸電導(dǎo)線的動拉力、振動微分方程分別為

方程（16）中的各參數(shù)與方程（9）中的對應(yīng)參數(shù)具有相同的形式，只需將式（10）～（14）中 l、N的下標由1換成2即可.

以圖2所示絕緣子串為研究對象，建立其擺動的動力學(xué)方程.

圖2 懸垂絕緣子串擺動的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of insulator string rotation

在實際工程中，垂懸絕緣子串的擺角γ較小，因此，根據(jù)牛頓定律，懸垂絕緣子串的擺動方程為

式中a為懸垂絕緣子串的長度，J為懸垂絕緣子串的轉(zhuǎn)動慣量，β1，β2分別為左、右兩檔輸電導(dǎo)線在懸掛點處的切線方向與x軸的夾角，且

將式（8），（15），（18），（19）代入方程（17），并考慮阻尼，可得出懸垂絕緣子串的擺動方程

式中ε3為絕緣子串擺動的阻尼比，ω3為絕緣子串的振動頻率，α9～α17為方程系數(shù)，且

方程（9）、（16）、（20）即為兩檔輸電線路與懸垂絕緣子串耦合振動的非線性動力學(xué)方程組.

2 算例

2.1 算例1

輸電導(dǎo)線及懸垂絕緣子串的相關(guān)參數(shù)見表1，兩跨輸電導(dǎo)線跨距分別為l1＝260m，l2＝200m，初始水平拉力H＝25000N，初始條件均相同.根據(jù)傾斜角度以及阻尼比的不同組合，將系統(tǒng)的振動響應(yīng)劃分為表2所示的多種不同工況.

表1 輸電導(dǎo)線及懸垂絕緣子串的相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters oftransmission lines and insulator string

表2 工況劃分表Table 2 Classification of analytical cases

將上述參數(shù)代入非線性方程組，可計算各種工況下輸電導(dǎo)線及絕緣子串振動的位移時程曲線.

圖3 輸電導(dǎo)線1的位移時程曲線（工況1）Fig.3 Displacement－time curves of transmission line 1（case 1）

圖3～圖5為系統(tǒng)在工況1下的位移時程曲線.由圖可知，在第一檔輸電導(dǎo)線初始位移為1.5m，第二檔輸電導(dǎo)線無初始位移的情況下，第二檔輸電導(dǎo)線的振幅與第一檔輸電導(dǎo)線的振幅相差不大，這說明了系統(tǒng)在振動過程中，其能量會通過垂懸絕緣子串在兩檔輸電導(dǎo)線間往復(fù)傳遞，由于有阻尼的存在，系統(tǒng)能量逐步減小，最終在200s左右趨于停止.

圖4 輸電導(dǎo)線2的位移時程曲線（工況1）Fig.4 Displacement-time curves of transmission line 2（case 1）

圖5 懸垂絕緣子串的位移時程曲線（工況1）Fig.5 Rotation-time curves of insulator string（case 1）

圖6 輸電導(dǎo)線1的位移時程曲線（工況2）Fig.6 Displacement-time curves of transmission line 1（case 2）

工況2下系統(tǒng)的位移時程曲線如圖6～圖8所示，與工況1相比，只是將垂懸絕緣子串的阻尼比增大了10倍.

對比工況1與工況2的計算結(jié)果可知：將垂懸絕緣子串的阻尼增大10倍后，兩檔輸電導(dǎo)線及垂懸絕緣子串的振幅及衰減時間變化很小，因此，增大絕緣子串的阻尼對抑制輸電導(dǎo)線振動的效果并不明顯.

圖7 輸電導(dǎo)線2的位移時程曲線（工況2）Fig.7 Displacement-time curves of transmission line 2（case 2）

圖8 懸垂絕緣子串的位移時程曲線（工況2）Fig.8 Rotation-time curves of insulator string（case2）

圖9 輸電導(dǎo)線1的位移時程曲線（工況3）Fig.9 Displacement-time curves of transmission line 1（case 3）

工況3下系統(tǒng)的位移時程曲線如圖9～圖11所示，與工況1相比，只是將第一檔輸電導(dǎo)線的阻尼比增大了10倍.

增大第一檔輸電導(dǎo)線的阻尼，可以顯著減小由第一檔輸電導(dǎo)線通過絕緣子串傳給第二檔輸電導(dǎo)線的能量，而且整個系統(tǒng)的振動也會快速地衰減下來.因此，在輸電導(dǎo)線處增加阻尼能取得很好的減振控制效果.

圖10 輸電導(dǎo)線2的位移時程曲線（工況3）Fig.10 Displacement－time curves of transmission line 2（case 3）

圖11 懸垂絕緣子串的位移時程曲線（工況3）Fig.11 Rotation－time curves of insulator string（case 3）

圖12 輸電導(dǎo)線1的位移時程曲線（工況4）Fig.12 Displacement-time curves of transmission line 1（case 4）

工況4下系統(tǒng)的位移時程曲線如圖12～圖14所示，與工況1相比，只是將輸電導(dǎo)線的傳輸角度由 6°提高到了 12°.

輸電導(dǎo)線的傳輸角度提高到12°時，兩檔輸電導(dǎo)線的振動幅度并沒有明顯的變化.但系統(tǒng)的靜平衡位置發(fā)生了偏移.

圖13 輸電導(dǎo)線2的位移時程曲線（工況4）Fig.13 Displacement-time curves of transmission line 2（case 4）

圖14 懸垂絕緣子串的位移時程曲線（工況4）Fig.14 Rotation-time curves of insulator string（case4）

2.2 算例2

兩檔輸電導(dǎo)線的跨度分別為l1＝400m、l2＝380m，傳輸角度為 6°，初始水平拉力為 H＝30960N，其他參數(shù)見表1，此時，兩檔輸電導(dǎo)線的頻率比接近1∶1.在不考慮系統(tǒng)阻尼，兩檔導(dǎo)線初始位移均為1.5m的情況下，系統(tǒng)的位移時程曲線見圖15～圖17.

圖15 輸電導(dǎo)線1的位移時程曲線Fig.15 Displacement-time curves of transmission line 1

圖16 輸電導(dǎo)線2的位移時程曲線Fig.16 Displacement-time curves of transmission line 2

圖17 懸垂絕緣子串的位移時程曲線Fig.17 Rotation-time curves of insulator string

顯然，系統(tǒng)發(fā)生了1∶1共振，兩檔輸電導(dǎo)線和懸垂絕緣子串都出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象，它們的振動幅度顯著增大.

3 結(jié)論

本文建立了連續(xù)兩檔輸電導(dǎo)線與懸垂絕緣子串耦合振動的動力學(xué)模型及其非線性振動方程，通過對算例的計算分析可得出以下結(jié)論：

（1）輸電導(dǎo)線振動的能量通過垂懸絕緣子串在相鄰兩檔之間傳遞，懸垂絕緣子串的耦合作用不容忽略.

（2）在懸垂絕緣子串處增加阻尼，對整個系統(tǒng)的減振效果不明顯，但在輸電導(dǎo)線處增加阻尼，能起到較好的減振控制效果.

（3）對于有阻尼系統(tǒng)，在小傳輸角度情況下，傳輸角度對輸電導(dǎo)線的振動幅度沒有明顯的影響，但系統(tǒng)的靜平衡位置會發(fā)生偏移.

（4）當兩檔輸電導(dǎo)線的頻率比接近1∶1時，系統(tǒng)產(chǎn)生共振，形成了拍振現(xiàn)象，系統(tǒng)的振動幅度有顯著增大.

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