韓敬偉 王忠林

（1.濱州學(xué)院物理與電子科學(xué)系，濱州 256603）（2.南開大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，天津 300071）

引言

華裔物理學(xué)家蔡少棠（Leon O.Chua）教授于1983年提出并實(shí)現(xiàn)蔡氏混沌電路［1］，促進(jìn)了非線性電路理論的發(fā)展，在掀起了研究非線性電路的熱潮，為混沌從理論走向?qū)嶋H奠定了基礎(chǔ).蔡氏混沌電路具有豐富的混沌動(dòng)力學(xué)特性，并且易于實(shí)現(xiàn)，因此受到了廣泛的關(guān)注和研究.近幾年，利用不同模型憶阻器代替蔡氏二極管構(gòu)成蔡氏憶阻混沌電路獲得了大量的研究［2－8］.

把混沌應(yīng)用于保密通信中是在1989年提出，因?yàn)榛煦缧盘?hào)具有無限狀態(tài)模式、寬頻帶特性和不可預(yù)測(cè)性，比偽隨機(jī)序列更適合應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域，因此在國(guó)際上獲得了廣泛的重視與研究［9－13］.但在實(shí)際通信系統(tǒng)中，通信信道的帶寬有一定限制.超過信道頻譜范圍的頻率分量將要被濾掉，這樣就給混沌實(shí)際電路用于保密通信帶來困難，因此有關(guān)混沌系統(tǒng)的頻率特性也獲得了部分研究者的注意［14－15］.由于混沌信號(hào)具有無限狀態(tài)模式，所以混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)其頻譜必定是連續(xù)譜，否則其頻譜為分立譜.因此，頻譜分析也被做為判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)的一個(gè)重要依據(jù)［16－20］.文獻(xiàn)14給出了蔡氏電路一個(gè)估計(jì)其頻譜分布范圍的簡(jiǎn)單公式，并從該公式和蔡氏電路α-β分叉曲線出發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)輸出信號(hào)基本滿足預(yù)先指定的頻譜分布范圍的蔡氏電路.文獻(xiàn)15以蔡氏混沌電路為例，通過對(duì)蔡氏混沌電路中元器件R、L和C參數(shù)的調(diào)整，可以獲得具有期望頻譜范圍的混沌信號(hào).文獻(xiàn)14、15都只是對(duì)蔡氏電路進(jìn)行了MATLAB軟件仿真，沒有進(jìn)行電路仿真，而且只討論了一種電路參數(shù)改變方法.

本文以蔡氏電路為研究對(duì)象，根據(jù)其歸一化方程中各參數(shù)的表達(dá)式，分別研究了三改變?cè)?shù)，但仍然保持混沌歸一化方程不變的途徑，并利用multsim軟件對(duì)三種情況進(jìn)行了電路仿真，獲得了不同參數(shù)情況下混沌電路的頻譜圖像和頻率范圍，結(jié)果和理論分析一致.這將有助于加深人們對(duì)蔡氏混沌電路的頻率特性認(rèn)識(shí)，方便電路設(shè)計(jì)工程師據(jù)此選擇不同元件參數(shù)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)具有期望頻率范圍的混沌電路.

1 理論分析

典型蔡氏混沌系統(tǒng)的Multisim仿真電路（如圖1）所對(duì)應(yīng)的電路方程為：

圖1 典型蔡氏混沌Multisim仿真電路圖Fig.1 Multisim simulation circuit of canonical Chua′s chaotic system

其中a、b、E是蔡氏二極管（蔡氏二極管由電阻和集成運(yùn)放來實(shí)現(xiàn)）的分段線性斜率和轉(zhuǎn)折電壓，分別表示為：

其中vs為運(yùn)放飽和電壓.

對(duì)公式（1）進(jìn)行電路歸一化分析，做如下變量代換：

其中R稱為歸一化電阻，C2稱為歸一化電容.時(shí)間變換因子τ是實(shí)際時(shí)間t與歸一化時(shí)間RC2的比值，在分析中做為混沌系統(tǒng)頻率范圍測(cè)算的一個(gè)重要依據(jù).RC2越小，τ越大，混沌系統(tǒng)頻率范圍越大；RC2越大，τ越小，混沌系統(tǒng)頻率范圍越小，這在后面的仿真分析中可以明顯的看到.

把（3）式代入（1）式后，整理為如下無量綱表達(dá)式：

結(jié)合（2）、（3）、（4）式來看，在改變電路元件參數(shù)時(shí)，只要保持混沌電路歸一化方程（4）式不變，理論上就可以保證改變參數(shù)后的電路依然處于混沌狀態(tài).電路元件參數(shù)的改變可以分為三種情況.

1.1 一種動(dòng)態(tài)元件改變

一種動(dòng)態(tài)元件和所有的電阻同步改變，另一種動(dòng)態(tài)元件保持不變.例如：所有電阻均增大m倍，電容減小為原來，代入（2）、（3）式，有：

比較（2）、（5）和（3）、（6）式，發(fā)現(xiàn) a′、b′雖然發(fā)生了變化，但 ma′、mb′和 E′保持不變，即蔡氏二極管的歸一化特性方程沒有變化.（6）式中 α′、β′與（3）式中α、β一致，沒有發(fā)生變化，即歸一化方程（4）沒有變化；但時(shí)間變換因子變?yōu)?τ′＝mτ，比原先增大了m倍，即在該情況下混沌系統(tǒng)的頻率范圍應(yīng)增大為原來的m倍.

1.2 兩種動(dòng)態(tài)元件改變

如果保持所有電阻保持不變，而同時(shí)同向改變動(dòng)態(tài)元件參數(shù)（文獻(xiàn)8）時(shí).例如電感和電容均增大m倍，因電阻不變，所以（2）式中各個(gè)量保持不變，只看（3）式即可.因此，把改變后的值代入（3）式，有：

比較（3）、（7）兩式發(fā)現(xiàn)只有時(shí)間變換因子變?yōu)?τ′＝t/RmC2＝τ/m，即時(shí)間變換因子減小為原來的，很明顯時(shí)間變換因子與電容C2的變化相反.因?yàn)槠渌麉?shù)未發(fā)生變化，所以歸一化方程（4）沒有改變，該情況下電路系統(tǒng)仍為混沌狀態(tài)，但其頻率范圍應(yīng)縮小為原來的.

1.3 三種元件都改變

電感和所有電阻變化相同，電容變化趨勢(shì)與之相反.如電感和所有電阻都增大為原來的m倍，電容減小為原來的，各元件變化情況代入（2）、（3）式，有：

比較（2）、（8）和（3）、（9），可以發(fā)現(xiàn)除去 a′、b′發(fā)生變化外，其余參數(shù)值均沒有發(fā)生任何變化，所以電路的歸一化方程（4）不會(huì)改變.因此，該情況下電路依然為混沌狀態(tài)，且電路頻譜和頻率范圍也應(yīng)該不會(huì)發(fā)生任何變化.

2 Multisim電路仿真及分析

NIMultisim軟件結(jié)合了直觀的捕捉和功能強(qiáng)大的仿真，能夠快速、輕松、高效地對(duì)電路進(jìn)行設(shè)計(jì)和驗(yàn)證，一個(gè)專門用于電子電路仿真與設(shè)計(jì)的EDA工具軟件，所以常被研究者用來設(shè)計(jì)混沌系統(tǒng)電路［19－21］.為了驗(yàn)證以上理論分析結(jié)果，下面利用Multisim對(duì)上述三種情況進(jìn)行了電路仿真，給出元件改變前后各電路變量的頻譜圖像，并根據(jù)仿真圖像進(jìn)行了進(jìn)一步的分析.以下分析均在圖1所采用的典型參數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行元件參數(shù)的調(diào)整.

2.1 一種動(dòng)態(tài)元件改變時(shí)的仿真分析

在圖1所示電路基礎(chǔ)上，使電容減小4倍，電阻增大2倍，電感保持不變時(shí)，即電路元件參數(shù)變?yōu)椋篖＝17mH，C2＝25nF，C1＝2.5nF，R＝3kΩ，有源二極管參數(shù)：R2＝R3＝440Ω，R7＝4.4kΩ，R4＝R5＝44kΩ，R6＝6.6kΩ.典型參數(shù)下的Multsim仿真結(jié)果如圖2所示，改變后的如圖3所示.

對(duì)比圖2與圖3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電容減小4倍，電阻增大2倍，電感保持不變時(shí)，電路系統(tǒng)依然保持混沌狀態(tài).從各對(duì)應(yīng)電路變量頻譜圖像形態(tài)來看，改變前后幾乎一致；從頻率范圍來看，電容減小4倍后頻譜范圍擴(kuò)大約2倍.即蔡氏混沌電路中電容減小a2倍、電阻增大a倍，電感保持?jǐn)?shù)不變時(shí)，系統(tǒng)仍然能呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，但頻率范圍隨電容的減小而增大.同樣的情況也發(fā)生在電容保持不變，電感和電阻改變時(shí).從仿真結(jié)果來看，與前面該情況下的理論分析結(jié)果一致，即蔡氏混沌電路可以通過調(diào)整一個(gè)動(dòng)態(tài)元件來改變混沌系統(tǒng)的頻率范圍.

需要注意的是這種改變是在一定參數(shù)范圍內(nèi)能保持其混沌行為不變，一旦超出這個(gè)參數(shù)空間，混沌系統(tǒng)的行為會(huì)發(fā)生改變.根據(jù)仿真結(jié)果來看，在電容C減小100倍、電阻增大10倍時(shí)，混沌系統(tǒng)相圖由典型的雙渦卷開始向單渦卷轉(zhuǎn)變，混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不再保持不變，如圖4所示.即在該情況下，電容減小100倍、電阻增大10倍是保持其混沌行為不變的極限.

圖2 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）L電流信號(hào)Fig.2 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L

圖3 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）L電流信號(hào)Fig.3 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L L

圖4 混沌系統(tǒng)Vc1、Vc2相圖：（a）典型參數(shù)，（b）電容減小100倍，電阻增大10倍Fig.4 Vc1 and Vc2 phase portraits of chaotic system＇s：（a）With typical parameters（b）With capacitance decrease 100 times and resistance increases 10 times

2.2 兩種動(dòng)態(tài)元件改變的情況

在文獻(xiàn)8中討論了當(dāng)同時(shí)增大或減小電路中的電容、電感，而保持電阻不變時(shí)的情況，在一定參數(shù)空間內(nèi)系統(tǒng)依然呈現(xiàn)混沌狀態(tài).這里也進(jìn)行了multsim仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如圖5所示，其改變后的電路元件參數(shù)變?yōu)椋篖＝170mH，C2＝1000nF＝1uF，C1＝100nF＝0.1uF.multsim仿真發(fā)現(xiàn)，該參數(shù)情況下，系統(tǒng)仍然呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，其各電路信號(hào)的頻譜分布如圖5所示.

圖5 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）L電流信號(hào)Fig.5 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L

對(duì)比圖2和圖5發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電容和電感均增大a倍，頻率范圍減小a倍，即頻率范圍隨動(dòng)態(tài)元件的增大而減小，反之亦然.

在仿真時(shí)同樣發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)變化超出合理的參數(shù)空間時(shí)，系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性也會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)電容、電感均減小10倍時(shí)，系統(tǒng)也變成了單渦卷，圖6是該情況時(shí)的頻譜圖像.很明顯該情況下電容C1電壓和電感電流iL的頻譜中只有一個(gè)非常突出的頻率尖峰，表明系統(tǒng)變?yōu)閱螠u卷混沌系統(tǒng).即該情況下，電容、電感均減小10倍是保持其混沌行為不變的極限.

2.3 三種元件同時(shí)改變

當(dāng)電阻、電感減小10倍，電容增大10倍時(shí)，即電路元件參數(shù)調(diào)整為：L＝1.7mH，C2＝1uF，C1＝0.1uF，R＝150Ω，有源二極管參數(shù)：R2＝R3＝22Ω，R7＝220Ω，R4＝R5＝2.2kΩ，R6＝330Ω.multsim仿真發(fā)現(xiàn)，該參數(shù)情況下，系統(tǒng)仍然呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，其各電路信號(hào)的頻譜分布如圖7所示.

圖6 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）L電流信號(hào)Fig.6 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L

圖7 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）電流信號(hào)Fig.7 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L

對(duì)比圖2和圖7發(fā)現(xiàn)，元件參數(shù)改變前后系統(tǒng)頻率范圍幾乎沒有變化.值得注意的是該情況下參數(shù)變化空間非常大，當(dāng)電阻、電感增大100倍，電容減小100倍時(shí)，即電路元件參數(shù)調(diào)整為：L＝1.7H，C2＝1nF，C1＝0.1nF，R＝150kΩ，有源二極管參數(shù)：R2＝R3＝22kΩ，R7＝220kΩ，R4＝R5＝2200kΩ，R6＝330kΩ時(shí)，系統(tǒng)混沌行為依然沒有改變，其頻譜圖像如圖8所示.但很明顯的是電感電流的頻譜幅值有了明顯的變化.

圖8 信號(hào)頻譜圖：（a）C1電壓信號(hào)，（b）C2電壓信號(hào)，（c）L電流信號(hào)Fig.8 Signal spectrum：（a）Voltage signal of capacitor C1（b）Voltage signal of capacitor C2（c）Current signal of inductor L

3 結(jié)論

綜合以上分析，可以發(fā)現(xiàn)在典型蔡氏電路中，在一定參數(shù)空間內(nèi)電路元件參數(shù)按前兩種情況發(fā)生改變時(shí)，系統(tǒng)仍然能保持混沌狀態(tài)，混沌系統(tǒng)的頻率范圍會(huì)隨著動(dòng)態(tài)元件的減小而增大.當(dāng)電路系統(tǒng)的兩種動(dòng)態(tài)元件（電容和電感）發(fā)生相反的變化時(shí)（即第三種情況），混沌系統(tǒng)的頻率范圍幾乎不變，但其參數(shù)變化空間比前兩種情況的要大.第一種情況下，電路元件的動(dòng)態(tài)范圍為電容減小不大于100倍、電阻增大不大于10倍；第二種情況下，電路元件的動(dòng)態(tài)范圍為電容、電感均減小不大于10倍（注意，這里沒討論動(dòng)態(tài)元件增大時(shí)的范圍，是因?yàn)閯?dòng)態(tài)元件增大會(huì)導(dǎo)致頻譜范圍的縮小，不利于混沌系統(tǒng)的應(yīng)用.）.

根據(jù)以上分析結(jié)果，在設(shè)計(jì)混沌電路時(shí)，可以參照已有混沌系統(tǒng)，通過改變不同元件的電路參數(shù)，設(shè)計(jì)出符合自己要求的實(shí)際混沌電路系統(tǒng)，這將豐富混沌電路設(shè)計(jì)途徑，也可根據(jù)需要來改善所需混沌電路的特性，及提高混沌電路的實(shí)用化.這種方法我們將在憶阻器混沌電路中應(yīng)用，據(jù)此給出電路實(shí)現(xiàn)時(shí)所需電路元件的較合理的參數(shù)值，或根據(jù)頻率設(shè)計(jì)需求選擇合適的參數(shù)值來改善系統(tǒng)的頻譜特性.

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