李斌

2011年12月，教育部頒布了修訂后的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。為了在教學(xué)過(guò)程中自然而然地滲透并實(shí)踐課改的理念，教師們都是“傾其所有”地找素材，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，但最終的效果卻不是很好。古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的融入，會(huì)給我們的課堂教學(xué)帶來(lái)一些“生氣”，一些意想不到的收獲。所謂古算題，就是曾經(jīng)出現(xiàn)在我國(guó)不同歷史時(shí)期、不同年代的數(shù)學(xué)典籍里的、至今仍被人津津樂(lè)道并深入研究和探討的包含多個(gè)維度的社會(huì)歷史文化信息的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

黃山學(xué)院教授郁祖權(quán)先生在其2004年出版的《中國(guó)古算解趣》序言里指出[1]：把古代一些有用的數(shù)學(xué)方法、理論成果結(jié)合起來(lái)，配合中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，古為今用，突出思想性、知識(shí)性和趣味性，結(jié)合歷史文化背景講解。書(shū)中還用一定篇幅介紹民間速算、巧算的方法，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和空間想象能力。李逢平先生在《中國(guó)古算題選解》前言里指出[2]：《中國(guó)古算題選解》是結(jié)合中小學(xué)部分?jǐn)?shù)學(xué)教材編寫(xiě)的。為便于參考，李逢平先生在編寫(xiě)時(shí)都是將原題、原“術(shù)”、原算草予以語(yǔ)譯或用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表達(dá)加以對(duì)照，并在題后寫(xiě)上按語(yǔ)。在按語(yǔ)中，除有注釋說(shuō)明外，還將各題用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答，并與國(guó)外有關(guān)同類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行比較，從中體現(xiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)之成就。沈康身先生在其1957年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第六期發(fā)表的文章《中國(guó)古算題的世界意義》中探討了我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)國(guó)外的影響[3]，沈先生用一些具體算題闡釋了我國(guó)古代數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的地位。沈先生指出，世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的某些著名算題，并不只發(fā)生在外國(guó)，實(shí)則在我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍上早已有記載。并且從時(shí)間上來(lái)看，這些算題還有外傳的可能。

數(shù)學(xué)教育界的三位前輩都對(duì)古算題的教育教學(xué)功能進(jìn)行了深入的剖析，相比于數(shù)學(xué)教師為追求課堂教學(xué)精彩而“偽造”的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題，古算題是“有血有肉”的，它不僅蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想，還有著豐富的社會(huì)人文信息，將這些古算題適切地用到課堂教學(xué)中，對(duì)于全面貫徹課改理念，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，促進(jìn)其全面發(fā)展，有“事半功倍”之功效。

一、古算題進(jìn)入課堂教學(xué)的必要性

1.以古算題為載體的古代算經(jīng)在歷史上就作為數(shù)學(xué)教材使用

早在魏晉南北朝時(shí)期，劉徽給《九章算術(shù)》作注，自云“徽幼習(xí)《九章》”?？梢?jiàn)在劉徽所處的魏晉時(shí)代，《九章算術(shù)》已經(jīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。據(jù)《舊唐書(shū)·李淳風(fēng)傳》，唐代國(guó)子監(jiān)所設(shè)的算學(xué)館，也是把經(jīng)過(guò)修訂、注釋的“算經(jīng)十書(shū)”作為教材使用。在宋代，據(jù)《宋史·選舉志》載文，其算學(xué)教育也以《九章》、《周髀》、《海島》、《孫子》、《五曹》、《張丘建》、《夏侯》等為教材。明代洪武二十五年（1392年）規(guī)定關(guān)于“數(shù)”的課程“務(wù)需精通《九章》之法”。到了清代，《算經(jīng)十書(shū)》及其衍生讀物是蒙生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要教科書(shū)，并與引進(jìn)的《幾何原本》和會(huì)通的《數(shù)理精蘊(yùn)》并列。直到清末，“算經(jīng)十書(shū)”才被新編教材取代[4]。

由上述可以看出，“算經(jīng)十書(shū)”以及其他算經(jīng)衍生讀物在歷朝歷代都曾被用作數(shù)學(xué)教科書(shū)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才，到了今天，我們也有責(zé)任和義務(wù)把這一優(yōu)良傳統(tǒng)繼承下去。

2.古算題進(jìn)入課堂教學(xué)對(duì)內(nèi)化課改理念、滲透數(shù)學(xué)思想方法、促進(jìn)學(xué)生人文修養(yǎng)等具有重要意義

（1）古算題有豐富的人文社會(huì)信息

基于古代數(shù)學(xué)問(wèn)題豐富的人文社會(huì)信息，提高學(xué)生德育能力，貫徹“快樂(lè)閱讀”理念，使學(xué)生樂(lè)讀愛(ài)學(xué)?，F(xiàn)行各版本教材雖然都指出數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，但教材中列舉的數(shù)學(xué)與實(shí)際生活關(guān)聯(lián)的例子少之又少，由于看不到這種關(guān)聯(lián)的實(shí)際案例，導(dǎo)致大部分學(xué)生“厭學(xué)”數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)興趣以及學(xué)習(xí)積極性不高。古算題融入教學(xué)可以很好地彌補(bǔ)這一不足。古代算經(jīng)里的數(shù)學(xué)問(wèn)題都包含了豐富的社會(huì)文化信息，大都是為解決日常生活中的問(wèn)題而編寫(xiě)，并且隨著社會(huì)政治經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，不同朝代的算經(jīng)涉及的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題也各有側(cè)重。例如，成書(shū)于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，全書(shū)共分九章，收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這九章的章名分別是：“方田”、“粟米”、“衰分”、“少?gòu)V”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”、“勾股”。從各章的標(biāo)題我們就能看出，它反映了那個(gè)時(shí)代人民在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、糧倉(cāng)存糧、土地丈量、建筑工程、水利、天文地理、從伍行軍等方面對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛應(yīng)用。再如，北周甄鸞所撰《五曹算經(jīng)》分“田曹”、“兵曹”、“集曹”、“倉(cāng)曹”、“金曹”五個(gè)標(biāo)題?！拔宀堋笔侵肝孱?lèi)官員。其中“田曹”是關(guān)于各種田畝面積的計(jì)算，“兵曹”是關(guān)于軍隊(duì)配置、給養(yǎng)運(yùn)輸?shù)鹊能娛聰?shù)學(xué)問(wèn)題，“集曹”是貿(mào)易交換問(wèn)題，“倉(cāng)曹”是糧食稅收和倉(cāng)窖體積問(wèn)題，“金曹”是絲織物交易等問(wèn)題。由此可看出，這部算經(jīng)的內(nèi)容涉及到當(dāng)時(shí)社會(huì)生產(chǎn)及軍事方面的求田地面積、糧倉(cāng)儲(chǔ)糧、軍隊(duì)士兵數(shù)量等問(wèn)題。以《九章算術(shù)》為代表的十部算經(jīng)以及其后的算經(jīng)大都繼承了這樣的風(fēng)格和體系，它使學(xué)生明白，社會(huì)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)，社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需要也成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的動(dòng)力。這也順應(yīng)了“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活”這句話。

（2）古算題是形式豐富多樣的

除了一般的文言文表述之外，古算題還有詩(shī)詞形式以及游戲娛樂(lè)類(lèi)（如幻方、漢諾塔）的表述。尤其是詩(shī)歌形式，將極具文學(xué)色彩的詩(shī)詞歌賦融入到算題中，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與文學(xué)的關(guān)聯(lián)，呈現(xiàn)出了濃重的傳統(tǒng)文化意味。如關(guān)于“物不知數(shù)”問(wèn)題（又稱(chēng)“孫子問(wèn)題”，出自《孫子算經(jīng)》）：有一數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問(wèn)此數(shù)為何？我們知道，秦九韶將此類(lèi)問(wèn)題的解法推廣成解一次同余式組的一般方法，也即“大衍求一術(shù)”。關(guān)于物不知數(shù)問(wèn)題的求解過(guò)程，程大位在《算法統(tǒng)宗》用一首“孫子歌”（又名“韓信點(diǎn)兵”）給出：“三子同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝。七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。”這四句詩(shī)隱含了解決這一問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵數(shù)字70、21和15，并且歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：“三（3）人同行七十（70）稀”——是說(shuō)除以3所得的余數(shù)，要用“70”去乘它；“五（5）樹(shù)梅花廿一（21）枝”——是說(shuō)除以5所得的余數(shù)，要用“21”去乘它；“七（7）子團(tuán)圓正半月（15）”——“半月”是一個(gè)月30天的一半，即15日，這是說(shuō)，除以7所得的余數(shù)，要用“15”去乘它；“除百零五（105）便得知”——這是說(shuō)要把上面所乘得的三個(gè)數(shù)相加，加得的和如果大于105，便應(yīng)減去105，或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。運(yùn)用這一歌訣來(lái)解這“物不知數(shù)”問(wèn)題，便是2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233-105-105=23。類(lèi)似的例子還有很多，教師若能在課堂教學(xué)中適切地引入并應(yīng)用，必將有很好的教學(xué)效果。

（3）古算題蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想

《九章算術(shù)》全書(shū)共有202個(gè)“術(shù)”，這些“術(shù)”不僅是解決一類(lèi)問(wèn)題方法的總結(jié)和歸納，其中也包含了深刻的數(shù)學(xué)思想。因?yàn)楣垂啥ɡ碓谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教材里大都是作為一章的內(nèi)容來(lái)呈現(xiàn)，而且關(guān)于勾股定理的古算題也尤為豐富，故我們以“勾股術(shù)”為例。在《九章算術(shù)》的“勾股”章有如下問(wèn)題：“今有戶(hù)不知高廣，竿不知長(zhǎng)短。橫之不出四尺，從（zòng）之不出二尺，邪之適出。問(wèn)戶(hù)高、廣、衺各幾何？”翻譯成現(xiàn)代文就是：有一門(mén)，不知其高和寬；有一竹竿，也不知其長(zhǎng)。如果將竿橫放，差四尺（注：3尺為1米）出不去門(mén)；如果將竿豎起，差兩尺出不去門(mén)；如果將竿斜放，正好可以出得去門(mén)。問(wèn)門(mén)的高度，寬度和斜長(zhǎng)分別是多少？學(xué)生大多會(huì)選擇用一元二次方程解決此問(wèn)題：設(shè)竿長(zhǎng)為x，則高度為（x-2），寬度為（x-4），由x2=（x-4）2+（x-2）2解得x1=2，x2=10。顯然x1=2不合題意，故略去，所以x2=10為所求。此題在《九章算術(shù)》中的解法是這樣敘述的：“從（zòng）、橫不足相乘，倍而開(kāi)方之。所得加從（zòng）不出即戶(hù)廣，加橫不出即戶(hù)高，兩不出加之，得戶(hù)衺。”意思是說(shuō)：設(shè)門(mén)的高、廣、衺分別為a、b、c，即已知從（zòng）不出c-b=2，橫不出c-a=4。則先求出。加2就是門(mén)寬6尺，加4就是門(mén)高8尺，加2和4就是門(mén)斜長(zhǎng)10尺。細(xì)細(xì)比較，兩種解法的本質(zhì)是一樣的，但古人的解決卻如此的精妙，它將直角三角形的“勾、股、弦”之間的所有關(guān)系都運(yùn)用及變換自如，這是我們的學(xué)生所欠缺的，其中的數(shù)學(xué)思想及體驗(yàn)也經(jīng)由學(xué)生自主地剖析、發(fā)現(xiàn)并靈活應(yīng)用才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的目的。

二、古算題進(jìn)入課堂的路徑分析

現(xiàn)行人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下第18章“勾股定理”中有一古算題，其對(duì)該題的呈現(xiàn)形式如下：

如圖所示，首先是呈現(xiàn)用現(xiàn)代白話文表述的“引葭赴岸”問(wèn)題，然后在旁邊再附上文言文原題及出處，并附有情境圖。在筆者看來(lái)，這樣的做法已經(jīng)很好了，但品味之余，總感覺(jué)有些許缺陷或者不足之處。因?yàn)椋蛔屛覀兏杏X(jué)到這就是一道需要學(xué)生解決的問(wèn)題，沒(méi)有真正地反映出古算題所包含的方方面面的知識(shí)和信息。

結(jié)合修訂課標(biāo)對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的要求，以及課改的理念或精神，我們認(rèn)為課堂教學(xué)或教材上古算題的使用流程應(yīng)該是這樣的：呈現(xiàn)古算題原題（盡可能地呈現(xiàn)情境圖片，幫助還原該題出現(xiàn)的那個(gè)時(shí)代的歷史社會(huì)文化信息）——介紹出處（算經(jīng)、年代、數(shù)學(xué)家的故事等信息）——文言文翻譯成現(xiàn)代白話文（師生共同完成）——問(wèn)題求解（學(xué)生自主完成并講解，允許一題多解——展現(xiàn)古算題求解的“術(shù)”，翻譯成白話文并分析其原理——古今解法比較——學(xué)生反思、提煉、內(nèi)化。

結(jié)合這一思路，我們重新給出關(guān)于該古算題的教學(xué)設(shè)計(jì)，限于篇幅，從簡(jiǎn)說(shuō)明。

步驟一：“引葭赴岸”：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：3丈為10米）

步驟二：附情境圖片（該圖片為南宋末期數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》為該題所附）

步驟三：現(xiàn)代文翻譯：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。問(wèn)：這個(gè)水池水的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？

步驟四：“引葭赴岸”問(wèn)題出處介紹：該題出自《九章算術(shù)》的“勾股”章第六題。然后向?qū)W生介紹《九章算術(shù)》、《詳解九章算法》的作者介紹、創(chuàng)作年代、發(fā)展歷史、涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)及社會(huì)人文信息等。

步驟五：?jiǎn)栴}的現(xiàn)代方法求解。首先用幾何畫(huà)板畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形，然后設(shè)未知數(shù)，應(yīng)用勾股定理解答。

步驟六：呈現(xiàn)古代算經(jīng)中對(duì)該題的求解方法，在翻譯成現(xiàn)代文的基礎(chǔ)上，進(jìn)行古今方法的比較分析，使學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上，掌握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

步驟七：“引葭赴岸”問(wèn)題的“中外交流”?！耙绺鞍丁眴?wèn)題不僅出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，還出現(xiàn)在《張邱建算經(jīng)》、《四元玉鑒》等算經(jīng)中。此外，類(lèi)似“引葭赴岸”問(wèn)題的題目還出現(xiàn)在印度的算學(xué)書(shū)中，只不過(guò)把葭換成了荷花。如印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊。漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”“荷花問(wèn)題”比“引葭赴岸”問(wèn)題晚一千多年出現(xiàn)，這或許反映了同為文明古國(guó)的中印數(shù)學(xué)文化的交流。

如上，一個(gè)小小的古算題的教學(xué)能給我們帶來(lái)如此豐富的數(shù)學(xué)和人文的“享受”，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感受或許會(huì)隨之改變。

我們分析了古算題進(jìn)入課堂教學(xué)的諸多益處，教師在教學(xué)中不妨結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適切地選取并使用古算題。因?yàn)楣潘泐}的使用不僅有助于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、自主學(xué)習(xí)的能力、感受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的輝煌、傳承傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)、激發(fā)學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力等方面都具有重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 郁祖權(quán).中國(guó)古算解趣[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2] 李逢平.中國(guó)古算題選解[M].北京：科學(xué)普及出版社，1985.

[3] 沈康.中國(guó)古算題的世界意義[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1957（6）.

[4] 王青建.算經(jīng)十書(shū)與數(shù)學(xué)史教育[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（5）.

【責(zé)任編輯 郭振玲】