樊小朝，王維慶，史瑞靜，于曉燕，黎進(jìn)，買代，黃寶陽(yáng)，李坤康

(1.新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830047；2.教育部可再生能源發(fā)電與并網(wǎng)控制工程技術(shù)研究中心，新疆烏魯木齊830047)

0 引言

當(dāng)流體微團(tuán)受到擾動(dòng)離開原來平衡位置時(shí)，重力、表面張力或其它回復(fù)力就要發(fā)揮作用，使流體回到平衡位置，運(yùn)動(dòng)不會(huì)中止，回復(fù)力再次作用，因此波動(dòng)形成[1?3].按波動(dòng)振幅的大小分為小振幅波、有限振幅波、大振幅波[4?6].所謂分層流體，是指密度或熵非均勻的流體[7?9].自然界中流體(如大氣、海洋、湖泊及液膜等)，由于其密度、鹽度或溫度變化，均認(rèn)為分層流體[10?12].分層流體分類：間斷分層(也稱強(qiáng)分層）流體、連續(xù)分層流體以及由連續(xù)分層和均勻分層組合而成的分層流體[13,14]，如圖1所示.

圖1 間斷及連續(xù)分層流體

關(guān)于波動(dòng)在分層液膜的研究，D.Merkt[15]利用長(zhǎng)波近似理論，在分層液膜內(nèi)部有自由表面的條件下，得到了時(shí)域演化方程；Tilley與Davis[16]提出了強(qiáng)分層流體沿斜板流動(dòng)的穩(wěn)定性理論，并研究了長(zhǎng)波內(nèi)部擾動(dòng)對(duì)液膜的影響；Andrey Pototsky[17]研究了強(qiáng)分層液膜在絕熱壁面上流動(dòng)穩(wěn)定性.對(duì)連續(xù)密度分層液膜中波動(dòng)的研究很少見，因此，本文將對(duì)連續(xù)密度分層液膜中的小振幅波進(jìn)行理論研究，揭示液膜的流動(dòng)穩(wěn)定性機(jī)理.

1 數(shù)學(xué)物理模型

二維小擾動(dòng)的物理模型如圖2所示.

圖2 連續(xù)密度分層液膜中小振幅波

設(shè)u、v為x、y方向的速度分量，密度、壓強(qiáng)為ρ、p，μ為動(dòng)力粘性系數(shù)，帶有粘性項(xiàng)的二維方程為

設(shè)液膜平均厚度為d，x方向主流速度：u0=ρgd2sinθ/2μ，帶*表示無(wú)量綱量，則

由小擾動(dòng)理論，令

其中“—”為平均值，“p0,ρ0”為擾動(dòng)壓強(qiáng)、擾動(dòng)密度.

密度分布靜壓分布ˉp滿足，代入運(yùn)動(dòng)方程，由線性理論[8,9]，忽略擾動(dòng)量的高階項(xiàng)，得無(wú)量綱方程（去掉*）

其中雷諾數(shù)Re=u0d/v，弗羅德數(shù)

引入流函數(shù)

其中，k是波數(shù)，c是波速，速度分量可表示為

由無(wú)量綱方程消去p0，再將ρ0及u、v代入，得

其中振動(dòng)頻率σ=kc.

底面y=0無(wú)滑移邊界條件為

在自由面上壓強(qiáng)

設(shè)η為自由表面波動(dòng)位移，自由表面邊界條件為

在y方向上，速度v=?η/?t，則

由式子（5）和（8），并忽略粘性項(xiàng)和重力項(xiàng)，有

將（14）、（15）代入（13），得自由表面的邊界條件為

聯(lián)立方程（11）、（16），構(gòu)成特征值求解問題.分析得到，若k、及d已知，可確定c2；若c2或σ2給定，k2可確定.

2 特征值方程參數(shù)討論

2.1 斯特姆-劉維爾（Sturm-Liouville）理論

兩個(gè)Sturm-Liouville[3]問題：

問題一：

問題二：

為了使上述問題有解，令

系數(shù)Ki，Gi滿足

并且α16=0，α26=0以及

Sturm-Liouville問題的兩個(gè)比較定理成立.

比較定理Ⅰ：?jiǎn)栴}一、二的零點(diǎn)為z1i(6=a),z2i(6=a)，則必有

比較定理Ⅱ：若f1(b)6=0,f2(b)6=0，則必有

2.2 特征數(shù)分析

1）小振幅波特性分析

假設(shè)隨著波數(shù)k的增大波速c增大.應(yīng)用斯特姆-劉維爾理論，由于K1=K2=ˉρ，則

注意到<0，所以G相應(yīng)地也增大，由比較定理Ⅰ，零點(diǎn)滿足關(guān)系（22），

因此兩個(gè)本征函數(shù)必有一個(gè)不滿足邊界條件f(d)=0.

對(duì)于自由面的情況，由比較定理Ⅱ，得

即c1n>c2n，這同原先假設(shè)的c隨k增大相矛盾.

因此，得到結(jié)論：c隨k增大而減小.

2）波頻率與波數(shù)的關(guān)系

將方程除以k2后得到

假設(shè)k增大時(shí)σ減小，由比較定理Ⅱ，則

又σ=kc，則

這與原假設(shè)相矛盾，因此σ隨k的增大而增大.

3）內(nèi)波的最大頻率

由(11)知，f(y)是解，?f(y)也是解，設(shè)f0(0)>0.因f(0)=0，所以在y=0的鄰域內(nèi)有f(y)>0.若

由（11）式可知，，則在y=0鄰域內(nèi)從而f0>0，因此f(y)不斷增加.式（24）右端為頻率，為分層液膜中內(nèi)波的最大頻率.

4）波速的本征值

密度連續(xù)時(shí)，頻率σ有界，即

在密度連續(xù)分布的有界區(qū)域內(nèi)，其波速也是有界的.取

構(gòu)造方程

當(dāng)兩端固定時(shí)，其本征值為

在方程(11)中，k下降時(shí)，c將增大，當(dāng)k=0時(shí)，c值最大，即

應(yīng)用Sturm-Liouville比較定理，有

本征值c可無(wú)限接近于原點(diǎn)，分布在區(qū)間[0,c1]上，并以原點(diǎn)為它的聚點(diǎn)，如圖3所示.

圖3 波速本征值分布示意圖

3 結(jié)論

建立了密度分層液膜的小振幅波數(shù)學(xué)物理模型，對(duì)模型進(jìn)行了無(wú)量綱化及小振幅線性簡(jiǎn)化，得到了描述小振幅內(nèi)波的控制方程及其邊界條件.利用Sturm-Liouville比較定理，研究了描述液膜的波動(dòng)特性的波動(dòng)參數(shù)（波數(shù)、波動(dòng)頻率、波速）及其相互關(guān)系，得到如下結(jié)論：

(1)無(wú)論上表面是自由表面還是固定壁面，波速c都隨波數(shù)k增大而減小，波動(dòng)頻率σ隨波數(shù)k的增大而增大；

(2)密度分層液膜中的小振幅內(nèi)波存在一個(gè)最大頻率，即頻率；

(3)密度分層液膜中的小振幅內(nèi)波存在最大波速值

(4)波速c的本征值分布在區(qū)間[0,cmax]上，并以原點(diǎn)為聚點(diǎn).

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