徐新禹，趙永奇，魏 輝，吳湯婷

1．武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢430049；2．武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430079

1 引 言

GOCE衛(wèi)星于2009年3月17日發(fā)射成功，其采用高低衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星測量技術(shù)和重力梯度測量技術(shù)相結(jié)合的模式，目標(biāo)是確定1～2 cm的全球大地水準(zhǔn)面和10－5m／s2的全球重力異常，同時空間分辨率達(dá)到100 km。為實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，GOCE首次搭載了高精度的重力梯度儀［1］。該梯度儀具有高精度高靈敏度特性，存在固有誤差，同時需要穩(wěn)定的觀測環(huán)境。由于離心加速度的確定存在誤差，并且受到GOCE運(yùn)行過程中儀器與衛(wèi)星組合誤差、衛(wèi)星平臺誤差的影響，GOCE重力梯度觀測值（后文簡稱觀測值）不僅含有隨機(jī)噪聲，還包含有色噪聲［2］。在對觀測值進(jìn)行預(yù)處理時，對其進(jìn)行時變重力場改正、粗差探測與修復(fù)之后，還需要對其進(jìn)行外部校準(zhǔn)［3］，為恢復(fù)高精度靜態(tài)全球重力場提供可靠的梯度數(shù)據(jù)。

重力梯度的外部校準(zhǔn)［4］是指為了使觀測值不受系統(tǒng)誤差（如比例因子和偏差）的影響而利用獨(dú)立數(shù)據(jù)對其進(jìn)行的校準(zhǔn)，通過與獨(dú)立數(shù)據(jù)比較，估計觀測值中存在的尺度因子、偏差、漂移等參數(shù)。這方面得到國外學(xué)者的深入研究，文獻(xiàn)［5］對利用GPS數(shù)據(jù)校準(zhǔn)GOCE衛(wèi)星重力梯度的原理作了相關(guān)研究；文獻(xiàn)［3—4，6—8］研究了利用地面重力數(shù)據(jù)對GOCE梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行外部校準(zhǔn)的理論與方法，并作了數(shù)值模擬計算；文獻(xiàn)［9］提出利用加速度數(shù)據(jù)和恒星敏感器數(shù)據(jù)獲得梯度儀校準(zhǔn)參數(shù)的方法。國內(nèi)學(xué)者也對GOCE數(shù)據(jù)的預(yù)處理作了大量探討，文獻(xiàn)［10］將移動開窗檢驗(yàn)法應(yīng)用在GOCE數(shù)據(jù)的粗差探測中并驗(yàn)證了其有效性；文獻(xiàn)［11］詳細(xì)討論了利用地球重力場模型、GOCE衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)、地面重力數(shù)據(jù)對GOCE重力梯度進(jìn)行外部校準(zhǔn)的方法；文獻(xiàn)［12—13］對利用地球重力場模型和地面重力數(shù)據(jù)校準(zhǔn)GOCE重力梯度的方法進(jìn)行了數(shù)值模擬計算，取得了良好效果；文獻(xiàn)［3—4，8，14］研究了利用重力場模型對梯度數(shù)據(jù)校準(zhǔn)的理論與方法，并利用EIGEN－5C重力場模型、GPS數(shù)據(jù)、地面重力數(shù)據(jù)分別對實(shí)測GOCE梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行校準(zhǔn)分析，得到的比例因子的平均值均接近于1，在利用EIGEN－5C模型校準(zhǔn)時每周校準(zhǔn)一次，并且對觀測值進(jìn)行了高通濾波，僅保留頻率大于0．005 Hz的信號，因此濾波后的觀測值中不存在偏差，分析了Vxx、Vyy、Vzz分量比例因子的穩(wěn)定性，其標(biāo)準(zhǔn)差分別是8×10－4、8×10－4、5×10－4。

本文研究了利用重力場模型對GOCE梯度觀測值進(jìn)行外部校準(zhǔn)的理論與方法，在沒有對觀測值進(jìn)行高通濾波的情況下對其進(jìn)行校準(zhǔn)，并詳細(xì)分析了相同模型不同階次、同階次不同模型以及是否估計漂移參數(shù)對比例因子、偏差參數(shù)及校準(zhǔn)觀測值的影響。

2 基于參考重力場模型校準(zhǔn)重力梯度的原理

考慮到梯度觀測值的誤差特性，基于先驗(yàn)重力場模型的校準(zhǔn)模型可以表示為如下形式［4］

本文僅對Vxx、Vyy、Vzz分量進(jìn)行校準(zhǔn)，利用上式基于最優(yōu)線性無偏估計即可求出外部校準(zhǔn)參數(shù)s、b、d、ak、bk。

3 數(shù)值計算與分析

在模擬GOCE沿軌引力梯度張量觀測值時，采 用 的 先 驗(yàn) 重 力 場 模 型 有 EIGEN－5C［15］、EGM2008［16］、GGM03S［17］、GO＿CONS＿GCF＿2＿TIM＿R3［18］（簡稱 GOTIM3）、ITG－Grace 2010s［19］。GOTIM3是僅僅基于GOCE實(shí)測數(shù)據(jù)反演得到的衛(wèi)星重力場模型，因此采用該模型分析校準(zhǔn)結(jié)果對先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊蕾囆?。本文采用的其他?shù)據(jù)均由 ESA［20－21］發(fā)布，包括梯度儀坐標(biāo)系下的重力梯度數(shù)據(jù)EGG＿GGT （gravity gradient tensor），重力梯度坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)數(shù)據(jù)EGG＿IAQ （inertial attitude quaternions），精密科學(xué) 軌道數(shù)據(jù)SST＿PSO＿2 （precise science orbits）。校準(zhǔn)前對觀測值進(jìn)行時變重力場改正，并進(jìn)行粗差探測與修復(fù)。數(shù)據(jù)周期從2009年11月至2010年6月，采樣率1 s。模擬沿軌梯度時EIGEN－5C與EGM2008模型取至250階，其他模型采用最高階次。校準(zhǔn)周期為1 d，即1 d計算一組校準(zhǔn)參數(shù)；選擇k＝1，即僅考慮每圈1次對應(yīng)頻率的影響。

3．1 是否考慮漂移項(xiàng)對校準(zhǔn)結(jié)果的影響分析

首先分析校準(zhǔn)模型中漂移對校準(zhǔn)參數(shù)、校準(zhǔn)觀測值及其差異的影響。利用250階的EIGEN－5C模型對GOCE梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行校準(zhǔn)，得到了是否考慮漂移項(xiàng)的兩組校準(zhǔn)參數(shù)和校準(zhǔn)觀測值。表1給出了比例因子的統(tǒng)計特性，表中“是”表示校準(zhǔn)時考慮了漂移項(xiàng)，“否”表示忽略漂移項(xiàng)。從表1可以看出，如果不考慮漂移，Vxx、Vzz分量的比例因子變化很小，Vyy分量的比例因子變化則比較明顯?？紤]漂移項(xiàng)，Vyy分量比例因子的穩(wěn)定性為5．6×10－4，但如果不考慮漂移項(xiàng)，穩(wěn)定性則為8．4×10－3。

表1 利用250階的EIGEN5C模型以1天為周期校準(zhǔn)得到的比例因子Tab．1 Scale factor calculated every day using EIGEN－5C up to degree 250

為了進(jìn)一步分析漂移對校準(zhǔn)的影響，表2給出了校準(zhǔn)后觀測值的差異。從表2可以看出，漂移對校準(zhǔn)觀測值有很大影響：Vyy分量達(dá)到0．4 E（1 E＝10－9／s2），Vxx分 量 大 約 20 mE（1 m E＝10－3E），Vzz分量小于10 mE。結(jié)合表1中比例因子穩(wěn)定性的差異，在利用先驗(yàn)重力場模型以1 d為周期對GOCE重力梯度觀測值進(jìn)行外部校準(zhǔn)時，校準(zhǔn)模型中需要考慮漂移。本文接下來的校準(zhǔn)都考慮了漂移。

表2 是否考慮漂移項(xiàng)校準(zhǔn)結(jié)果的差異Tab．2 The difference of calibration result whether with drift or not mE

3．2 利用EIGEN－5C模型校準(zhǔn)GOCE梯度值分析

利用250階次EIGEN－5C模型進(jìn)行校準(zhǔn)求得的校準(zhǔn)參數(shù)如圖1所示。圖1分別是Vxx、Vyy、Vzz分量的比例因子和偏差變化圖。左邊3幅圖的實(shí)線反映了比例因子每天的變化特性，虛線表示比例因子的平均值。從圖中可以看出Vxx、Vyy分量的比例因子變化幅度較大，而Vzz分量變化相對較小。Vxx、Vyy分量的偏差呈明顯的線性變化，而Vzz分量的偏差雖然呈跳躍性的變化，但也存在線性變化的趨勢。這種線性變化的特點(diǎn)說明梯度觀測值存在明顯的與時間相關(guān)的漂移，也說明在一定時間周期內(nèi)對觀測值進(jìn)行校準(zhǔn)，需要考慮漂移的影響。

比例因子的統(tǒng)計信息見表1。從表中可以看出Vxx、Vyy、Vzz分量比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差分別為5．0×10－4、5．6×10－4、3．2×10－4，這說明外部校準(zhǔn)以10－4的精度確定了比例因子，優(yōu)于文獻(xiàn)［14］中比例因子的穩(wěn)定性。梯度觀測值中低頻信號強(qiáng)于高頻信號，并且低頻信號變化幅度較小，這導(dǎo)致比例因子更加穩(wěn)定，因此認(rèn)為本文與文獻(xiàn)［14］中比例因子的差異是本文沒有對梯度觀測值進(jìn)行高通濾波造成的，此外本文與文獻(xiàn)［14］采用的校準(zhǔn)周期也不相同，這也導(dǎo)致了兩者結(jié)果不完全一致。為了進(jìn)一步分析比例因子的特點(diǎn)，表3給出了以1周為周期校準(zhǔn)得到的比例因子統(tǒng)計信息，從表3中可以發(fā)現(xiàn)，在以1周為校準(zhǔn)周期時，比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差更小，但與以1 d為周期校準(zhǔn)得到比例因子非常接近，這說明GOCE比例因子變化很小，梯度儀運(yùn)行非常穩(wěn)定。

在分析校準(zhǔn)觀測值的影響之前，首先分析觀測值在觀測頻帶內(nèi)的誤差水平和特點(diǎn)。圖2給出了GOCE和EIGEN－5C模型引力梯度張量對角分量的功率譜密度（power spectral density，PSD）。這里假設(shè)EIGEN－5C模型代表真實(shí)靜態(tài)重力場信號，GOCE的實(shí)測信號則包含了真實(shí)的靜態(tài)重力場信號和觀測噪聲。從圖2中可以看出，在0．005～0．03 Hz范圍內(nèi)，GOCE與EIGEN－5C模型的信號非常接近，并隨著頻率的增加逐漸減小，在0．03～0．1 Hz頻帶內(nèi) EIGEN－5C模型信號迅速減小，而實(shí)測信號則基本保持不變。如果將模型信號看作是真值，則從0．04 Hz頻率開始實(shí)測信號中誤差信號占優(yōu)，根據(jù)儀器在觀測頻帶內(nèi)應(yīng)該滿足白噪聲的特點(diǎn)［22］，從0．04 Hz開始實(shí)測信號的大小可以代表觀測頻帶內(nèi)誤差的水平，從圖2可以看出，在0．04～0．1 Hz范圍內(nèi)，Vxx、Vyy分量的噪聲大約為10 mE，而Vzz分量為20 mE，這與文獻(xiàn)［23］中Vxx、Vyy、Vzz分量的噪聲量級一致。

圖1 EIGEN－5C模型校準(zhǔn)得到的比例因子和偏差Fig．1 Scale factors and bias calculated by the external calibration using EIGEN－5C up to 250 degree

表3 利用250階的EIGEN5C模型以1周為周期校準(zhǔn)得到的比例因子Tab．3 Scale factor calculated every week using EIGEN－5C up to degree 250

圖3給出了校準(zhǔn)前后GOCE梯度值差異的PSD。從圖中可以發(fā)現(xiàn)差異的PSD主要分布在低頻（3×10－5Hz）部分；當(dāng)頻率大于3×10－5Hz時，隨著頻率的增加，差異越來越小。在0．005 Hz處，差異為3 mE，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圖2中信號的強(qiáng)度，隨著頻率的增加，差異呈指數(shù)遞減。比較圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，校準(zhǔn)過程對GOCE梯度值在觀測頻帶內(nèi)的信號影響很小，因此校準(zhǔn)后的觀測值可用于恢復(fù)中高頻的重力場信號。

圖2 GOCE重力梯度值的PSD1／2Fig．2 PSD1／2 of GOCE gravitational gradients

圖3 GOCE重力梯度值與EIGEN－5C校準(zhǔn)觀測值差異的 PSD1／2Fig．3 PSD1／2 of the difference between original and calibrated GOCE gravitational gradients using EIGEN－5C

3．3 EIGEN－5C模型不同階次校準(zhǔn)結(jié)果分析

為了分析不同階次的先驗(yàn)重力場模型對校準(zhǔn)結(jié)果的影響，分析了100、120、150、200階EIGEN－5C模型的校準(zhǔn)結(jié)果與250階EIGEN－5C模型校準(zhǔn)結(jié)果的差異。表4給出了不同階次比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差。比較表4和表1可以發(fā)現(xiàn)：不同階次比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差差異很小，120階與250階比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差相同。

表4 不同階次比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差Tab．4 standard deviation of scale factors corresponding to different degrees

為進(jìn)一步分析不同階次的重力場模型對校準(zhǔn)結(jié)果的影響，表5給出了不同階次與250階校準(zhǔn)觀測值差異的統(tǒng)計信息。從表5中可以看出：不同階次重力場模型的校準(zhǔn)觀測值存在差異，但當(dāng)模型高于150階時，差異遠(yuǎn)小于上文分析得到的GOCE衛(wèi)星梯度儀的觀測噪聲。因此，當(dāng)模型高于150階時，不同階次的重力場模型校準(zhǔn)結(jié)果之間的差異很小。

表5 不同階次的EIGEN－5C模型校準(zhǔn)觀測值的差異Tab．5 Difference of calibration result calculate by EIGEN－5C with different degrees mE

3．4 不同重力場模型校準(zhǔn)結(jié)果差異的分析

本節(jié)分析了不同重力場模型對校準(zhǔn)結(jié)果的影響。把250階EIGEN－5C模型校準(zhǔn)結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，比 較 分 析 ITG－Grace2010s、EGM2008、GGM03S、GOTIM3模型校準(zhǔn)結(jié)果與其差異。研究發(fā)現(xiàn)不同重力場模型校準(zhǔn)得到的比例因子與EIGEN－5C模型比例因子差異很小，甚至完全相同，如用GOTIM3模型校準(zhǔn)得到的Vxx、Vyy、Vzz分量比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差為5．0×10－4、5．6×10－4、3．2×10－4。表6給出了不同模型校準(zhǔn)觀測值的差異，可以發(fā)現(xiàn)不同模型校準(zhǔn)觀測值的差異比GOCE觀測精度低兩個數(shù)量級。

表6 不同模型校準(zhǔn)觀測值的差異Tab．6 Difference of calibrated observation calculated by different models

圖4給出了GOTIM3模型的校準(zhǔn)觀測值與GOCE梯度值差異的PSD。可以發(fā)現(xiàn)圖4與圖3非常相似，這再次表明校準(zhǔn)過程對GOCE梯度值在觀測頻帶內(nèi)的信號影響很小，并且校準(zhǔn)后的觀測值可用于恢復(fù)中高頻的重力場信號。實(shí)際上ITG－Grace2010s、EGM2008、GGM03S模型的校準(zhǔn)觀測值與GOCE梯度值差異的PSD也與圖3非常相似，這說明先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯π?zhǔn)結(jié)果的影響很小。

圖4 GOCE重力梯度值與GOTIM3校準(zhǔn)觀測值差異的 PSD1／2Fig．4 PSD1／2 of the difference between original and calibrated GOCE gravitational gradients using GOTIM3

4 結(jié) 論

本文采用 EIGEN－5C、EGM2008、GOTIM3、GGM03S、ITG－Grace2010s 等 重 力 場 模 型 對GOCE重力梯度觀測值進(jìn)行的對角線分量進(jìn)行校準(zhǔn)分析。主要結(jié)論如下：

（1）采用250階的EIGEN－5C模型，以1 d為周期對Vxx、Vyy、Vzz觀測值校準(zhǔn)，得到比例因子的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 5．0×10－4、5．6×10－4、3．2×10－4，略小于文獻(xiàn)［14］中的標(biāo)準(zhǔn)差，這可能是因?yàn)楸疚奈床捎脼V波技術(shù)移除觀測值的低頻信號。

（2）不同重力場模型校準(zhǔn)觀測值之間的差異較小，重力場模型對校準(zhǔn)結(jié)果的影響很小。

（3）在以1 d為周期對觀測值校準(zhǔn)時，漂移對校準(zhǔn)參數(shù)校準(zhǔn)后的觀測值有很大影響，校準(zhǔn)模型中需要考慮漂移。

（4）校準(zhǔn)參數(shù)和校準(zhǔn)后的觀測值主要決定于模型的中低階（頻）信號，對高階（＞150）信號不敏感；同時校準(zhǔn)過程對GOCE梯度值在觀測頻帶內(nèi)的信號影響很小，校準(zhǔn)后的觀測值可用于恢復(fù)中高頻的重力場信號。

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