楊 輝， 張 芳， 劉鴻恩， 付雅婷

(1. 華東交通大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 江西 南昌 330013；2. 江西省先進(jìn)控制與優(yōu)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江西 南昌 330013； 3. 湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412000)

動(dòng)車組運(yùn)行過程中時(shí)變、非線性特征明顯，且其處于復(fù)雜多變的運(yùn)行環(huán)境，傳統(tǒng)基于固定模型的動(dòng)車組運(yùn)行控制策略難以滿足動(dòng)車組安全、舒適、正點(diǎn)運(yùn)行目標(biāo)要求。針對動(dòng)車組運(yùn)行控制的研究大都忽略動(dòng)車組的非線性和時(shí)變特性，通過建立動(dòng)車組運(yùn)行過程的線性模型或多個(gè)線性模型逼近其非線性特性。文獻(xiàn)[1]針對高速列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)提出了高速列車多模型廣義預(yù)測控制方法，能較好的滿足高速列車的多目標(biāo)控制要求；為了適應(yīng)高速列車擾動(dòng)特性的變化，文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的多模型基礎(chǔ)上建立高速動(dòng)車組的自適應(yīng)模型，確保了其在動(dòng)態(tài)未知故障或干擾下安全穩(wěn)定運(yùn)行、實(shí)現(xiàn)較高精度的速度跟蹤控制；文獻(xiàn)[3]依據(jù)將動(dòng)車組在穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近將其近似為線性系統(tǒng)的思想，采用子空間辨識方法建立動(dòng)車組的動(dòng)態(tài)線性模型，并同時(shí)設(shè)計(jì)預(yù)測控制器，取得了較好的控制效果；文獻(xiàn)[4]采用T-S模型描述高速動(dòng)車組的非線性和其不確定性；隨著動(dòng)車組運(yùn)行速度的不斷提高和運(yùn)行環(huán)境的不確定性，其非線性時(shí)變特征愈來愈突出，線性模型已難以準(zhǔn)確描述其運(yùn)行過程。

針對動(dòng)車組的運(yùn)行控制，文獻(xiàn)[5]在考慮了列車自動(dòng)防護(hù)系統(tǒng)(ATP)的限速約束的基礎(chǔ)上，提出了基于模型預(yù)測控制的ATO控制算法，但沒有考慮列車的非線性和不確定性。針對高速列車的時(shí)變性和運(yùn)行環(huán)境的不確定，文獻(xiàn)[6]采用了基于數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)特征模型和黃金分割自適應(yīng)控制器處理高速列車的速度和位置控制和節(jié)能等問題，并得到了良好的效果。文獻(xiàn)[7]針對高速列車系統(tǒng)參數(shù)和外界組里的不確定性，基于機(jī)理模型提出了魯棒自適應(yīng)控制算法，實(shí)現(xiàn)了高速列車的高精度跟蹤控制。

最小二乘支持向量機(jī)LSSVM (Least Squares Support Vector Machine)由Suykens[8]提出，它基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化,避免了局部最小值和過學(xué)習(xí)的問題保證了良好的泛化能力和更好地預(yù)測精度。以等式約束代替不等式約束,避免了求解二次規(guī)劃問題,具有較好的抗噪聲能力和更快的運(yùn)算速度,在復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模中取得較好應(yīng)用成效[9]。由于LSSVM訓(xùn)練和擬合性能與其參數(shù)關(guān)系密切，因此采取合適的參數(shù)優(yōu)化方法是建立精確模型的前提。

基于上述分析，本文提出一種基于LSSVM的動(dòng)車組運(yùn)行過程建模及其校正方法，據(jù)此設(shè)計(jì)動(dòng)車組速度預(yù)測控制器，實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組運(yùn)行速度高精度跟蹤給定曲線。

1 動(dòng)車組運(yùn)行過程描述

動(dòng)車組在正常運(yùn)行中，假設(shè)其運(yùn)行線路中的坡道很小，彎道很大，因此可以將動(dòng)車組近似當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析。本文僅分析動(dòng)車組縱向的受力情況，其運(yùn)行過程可表示為[10]

( 1 )

由式( 1 )可得到動(dòng)車組運(yùn)行過程的動(dòng)力學(xué)模型

( 2 )

對式( 2 )進(jìn)行差分變換，可描述為

y(k)=f[y(k-1),u(k-1)]

( 3 )

式中:κ2y2代表空氣阻力，是速度y的非線性函數(shù)，并且隨著動(dòng)車組運(yùn)行速度的不斷增加，κ2y2所占的比例越來越大，系統(tǒng)非線性特性越明顯，對動(dòng)車組正常運(yùn)行的也有越來越大的影響。

2 動(dòng)車組LSSVM模型

鑒于LSSVM采用最小二乘線性系統(tǒng)誤差平方和作為損失函數(shù)，將求解過程變成了解析一組等式方程,降低了計(jì)算的復(fù)雜度，加快了求解速度。為了得到動(dòng)車組精確地動(dòng)態(tài)模型，本文采用LSSVM方法建立其非線性模型。

( 4 )

約束條件為y(i)=wφ[x(i)]+b+εi。

式中:J(w,e)表示目標(biāo)函數(shù)；w為權(quán)值向量；μ為正則化參數(shù)，其值的大小決定了對誤差的懲罰力度；εi代表第i個(gè)樣本的實(shí)際輸出與模型預(yù)測輸出間的誤差；φ(·)是將輸入變量從原始空間映射到Hilbert高維特征空間的映射函數(shù)；b為偏置量。

為了求解式( 4 )的優(yōu)化問題，把約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，建立Lagrange函數(shù)

L(w,bL,ε,αL)=J(w,ε)-

( 5 )

式中：αi∈R為拉格朗日乘子，也稱作支持向量，在LSSVM的表達(dá)式中符號不受限制。

根據(jù)Karush-Kuhn-Tucher(KKT)最優(yōu)化條件，分別求L(w,bL,ε,αL)關(guān)于變量w,bL,ε,αL的偏微分，并且消除變量w和ε，整理得到以下矩陣方程

( 6 )

Ψij=ψ[x(i)]ψ[x(j)]=k[x(i),x(j)]

假設(shè)HL=ΨL+μ-1IL，得

HL=

( 7 )

假設(shè)樣本輸出向量yL已知，解式( 6 )的矩陣方程可求出αL和bL，可得到最小二乘支持向量機(jī)的數(shù)學(xué)模型

( 8 )

由于高斯徑向基函數(shù)(RBF)為非線性函數(shù)，可減少訓(xùn)練過程中計(jì)算的復(fù)雜性，因此本文采用RBF核函數(shù)，其表示為

( 9 )

式中：δ為核寬度;‖·‖2表示2-范數(shù)。

由以上推導(dǎo)過程可知，正則化參數(shù)μ和核寬度δ是得到精確LSSVM模型的重要參數(shù)，他們的選取直接影響著模型精度和泛化能力。

目前，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出諸多方法用以優(yōu)化正則化參數(shù)μ和核寬度δ，包括交叉驗(yàn)證法[12]、網(wǎng)格搜索法[13]、梯度優(yōu)化算法[14]、遺傳算法[15]和粒子群優(yōu)化算法[16]等，其中，粒子群優(yōu)化算法具有原理簡單、易于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快、設(shè)置參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛的關(guān)注。本文采用自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法來優(yōu)化選擇正則化參數(shù)μ和核寬度δ。具體步驟如下：

Step1參數(shù)設(shè)置。設(shè)置粒子群的規(guī)模N,最大迭代次數(shù)M,學(xué)習(xí)因子c1和c2，最大慣性權(quán)重ωmax和最小慣性權(quán)重ωmin,粒子群的初始速度和位置分別為vsd∈RN×2和xsd∈RN×2，第i個(gè)粒子的位置為xsd(i)=[μ,δ]∈R1×2；

Step2本文選取均方根誤差作為自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)，其具體表達(dá)式如式(10)。采用式(10)計(jì)算每個(gè)粒子當(dāng)前位置的適應(yīng)度值fit。取適應(yīng)度值fit最小的粒子所對應(yīng)的位置作為全局極值位置pg；

(10)

Step3計(jì)算每個(gè)粒子當(dāng)前位置的適應(yīng)度值fit。按照式(11)～式(13)進(jìn)行迭代計(jì)算，更新每個(gè)粒子的速度、位置以及慣性權(quán)重

vsd(i+1)=ωvsd(i)+c1r1[pb(i)-xsd(i)]+

c2r2[pg-xsd(i)]

(11)

xsd(i+1)=vsd(i+1)+xsd(i)

(12)

(13)

式中:vsd(i)和xsd(i)分別表示第i個(gè)粒子的速度和位置；ω代表粒子的慣性權(quán)重；r1和r2是均勻分布在(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；pb(i)為第i個(gè)粒子的個(gè)體極值位置；pg是全局極值位置；fit(i)表示第i個(gè)粒子的適應(yīng)度值；fitmin代表N個(gè)粒子中適應(yīng)度最小值；fitavg為N個(gè)粒子中適應(yīng)度的平均值；

Step4比較每個(gè)粒子位置更新后的適應(yīng)度值與其當(dāng)前最優(yōu)位置的適應(yīng)度值，如果前者小于后者，則將更新后的位置作為此粒子的當(dāng)前最優(yōu)位置，反之，則不改變此粒子的當(dāng)前最優(yōu)位置；然后將N個(gè)粒子當(dāng)前最優(yōu)位置的適應(yīng)度值與全局極值位置的適應(yīng)度值分別作比較，選取適應(yīng)度值最小的位置作為全局極值位置pg；

Step5當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)或解不再變化時(shí)停止搜索。輸出全局極值位置，并得到適應(yīng)度值最小時(shí)的正則化參數(shù)μ和核寬度δ，即pg=[μ,δ]。否則返回step3，繼續(xù)搜索。

3 自適應(yīng)LSSVM模型

動(dòng)車組運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜、運(yùn)行過程中不確定性和突發(fā)影響因素較多，采用固定模型難以有效描述動(dòng)車組復(fù)雜多變的運(yùn)行特征，且基于固定模型的運(yùn)行控制方法難以滿足動(dòng)車組運(yùn)行性能要求，為此需要在動(dòng)車組運(yùn)行過程中對模型進(jìn)行自適應(yīng)校正以改善其運(yùn)行控制性能。

3.1 模型校正策略

(14)

若式(14)成立，則模型不需要校正；反之，則將此新增樣本納入訓(xùn)練樣本中，采用增量式學(xué)習(xí)方法來校正模型參數(shù)。

3.2 模型校正方法

為了避免矩陣求逆運(yùn)算和解決因數(shù)據(jù)增長所帶來的計(jì)算量劇增的問題，本文以已確定的模型參數(shù)通過自適應(yīng)迭代計(jì)算增加一個(gè)樣本后的模型校正參數(shù)。因此，得到L+1個(gè)訓(xùn)練樣本的模型為

(15)

式中:eL+1=[1,1,…,1]T∈R(L+1)×1;IL+1為L+1維的單位矩陣;ψL∈RL×L，αL+1和bL+1分別為校正后的模型參數(shù)，假設(shè)，HL+1=ψL+1+μ-1IL+1,yL+1=[y(1),y(2),…,y(L+1)]T∈R(L+1)×1

令HL+1的逆為QL+1，即QL+1=HL+1-1?；喪?15)，可得到

(16)

(17)

由式(16)、式(17)可以看出，為了求得校正模型后的參數(shù)aL+1和bL+1就必須求出HL+1的逆QL+1。由于隨著樣本數(shù)據(jù)的不斷加入，矩陣HL+1的維數(shù)越來越大，其求逆運(yùn)算與越來越復(fù)雜。為了避免每次校正時(shí)的矩陣求逆運(yùn)算，則采用遞推的方法來計(jì)算矩陣QL+1。矩陣HL+1為

(18)

式中:標(biāo)量

ρL+1=μ-1+k[x(L+1),x(L+1)]

βL+1={k[x(1),x(L+1)],…,k[x(L),x(L+1)]}T

根據(jù)分塊矩陣以及矩陣和的求逆公式可得到QL+1的遞推式

(19)

由式(19)計(jì)算得出QL+1，并代入式(16)、式(17)可得到校正后的模型參數(shù)aL+1和bL+1，從而校正動(dòng)車組模型。

4 動(dòng)車組速度預(yù)測控制

4.1 基于LSSVM模型的速度預(yù)測控制

針對動(dòng)車組運(yùn)行過程復(fù)雜多變和不確定性，給出基于LSSVM模型的動(dòng)車組速度預(yù)測控制方法見圖1。首先根據(jù)動(dòng)車組的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)辨識得到自適應(yīng)LSSVM模型。再在每個(gè)采樣時(shí)刻，根據(jù)預(yù)測輸出y與給定軌跡yr的偏差優(yōu)化動(dòng)車組的牽引/制動(dòng)力u，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組較高精度的跟蹤給定軌跡和動(dòng)車組安全、舒適運(yùn)行。

4.2 預(yù)測模型

廣義預(yù)測控制算法采用的是受控自回歸積分滑動(dòng)平均CARIMA (Controlled Auto-Regression Integrated Moving Average)模型。由于LSSVM模型為非線性模型，難以直接用其來設(shè)計(jì)預(yù)測控制器。為使GPC算法能應(yīng)用于LSSVM模型，在每個(gè)采樣周期將LSSVM模型(8)進(jìn)行線性化處理[17]。假設(shè)第k個(gè)采樣周期，其相應(yīng)的回歸量為x(k)。并在xk=(u(k-1),y(k-1))處將LSSVM模型用泰勒公式展開，得到線性模型

[x(1)-xk(1)]+…+

(20)

簡化式(20)得

y(x)=C+b1x(1)+…+

bnbx(nb)-a1x(nb+1)+

…+anax(nb+na)

(21)

式中:

在LSSVM模型中，本文采用RBF核函數(shù)，則bj和aj的具體表達(dá)式為

j=1,2,…,nb

j=1,2,…,na

4.3 速度預(yù)測控制方法

為實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組舒適、正點(diǎn)運(yùn)行, 采用如下二次型性能指標(biāo)

(22)

式中:y(k+1)為模型超前j步的最優(yōu)預(yù)測值;yr(k+1)為未來(k+j)時(shí)刻的期望輸出;Δu(k+j)為控制輸入的增量;N0、P、Nu分別是最小輸出長度、預(yù)測長度和控制長度, 一般情況下取N0=1，并且P≥Nu.rj為控制加權(quán)系數(shù), 約束控制量, 避免其劇烈變化。

將式(22)用矩陣形式表示為

J=E{[Y(k+j)-Yr(k+j)]T

Q[Y(k+j)-Yr(k+j)]+

ΔUT(k)RΔU(k)}

(23)

式中：

Yr(k+j)=[yr(k+1),yr(k+2),L,yr(k+P)]T

Y(k+j)=[y(k+1),y(k+2),L,y(k+P)]T

ΔU(k)=[Δu(k), Δu(k+1)L, Δu(k+Nu-1)]T

Q=[q1,q2,…,qP]為輸出誤差加權(quán)矩陣；R=[r1,r2,…,rN]為控制加權(quán)矩陣。

為了求解未來預(yù)測模型的輸出向量Y(k+j)，現(xiàn)引出Diophantine方程，利用Diophantine方程的遞推求解矩陣L,H,G,E，具體求解步驟見文獻(xiàn)[1]。進(jìn)而可得到

Y(k+j)=LΔU(k)+HΔU(k-j)+

GY(k)+Ev(k+j)

(24)

式中：

ΔU(k-j)=[Δu(k-1),Δu(k-2),…,Δu(k-nb)]T

為過去的控制增量；過去的輸出向量為Y(k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-na)]T；不相干隨機(jī)干擾向量為v(k+j)=[v(k+1),v(k+2),…,y(k+p)]T。

式(24)等式右邊的第一項(xiàng)為零狀態(tài)預(yù)測，第2和第3項(xiàng)為零輸入預(yù)測，這3項(xiàng)疊加即為最優(yōu)預(yù)測估計(jì)Y×(k+j)。將式(24)代入式(23)，令dj/dΔU(k)=0可得到最優(yōu)控制律ΔU(k)的表達(dá)式

(Yr(k+j)-HΔU(k-j)-GY(k))

(25)

每個(gè)時(shí)刻經(jīng)過滾動(dòng)優(yōu)化，從而可得第k時(shí)刻的控制力

u(k)=u(k-1)+Δu(k)=u(k-1)+

(26)

5 仿真分析

為驗(yàn)證本文建模與控制方法的有效性，采用運(yùn)行于京滬高鐵的CRH380AL型動(dòng)車組為對象進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，該型號動(dòng)車組的主要參數(shù)特性見表1[18]。

表1 CRH380AL型動(dòng)車組的主要參數(shù)特性

本文采集該型號動(dòng)車組于徐州東—濟(jì)南西區(qū)段上的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)1 500組，以其中900組數(shù)據(jù)作為建模訓(xùn)練數(shù)據(jù)，余下的600組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)驗(yàn)證建模效果。進(jìn)一步，采用該動(dòng)車組運(yùn)行過程的新獲得的500組數(shù)據(jù)進(jìn)行模型校正。

(1)LSSVM建模比較分析

建模參數(shù)初值設(shè)置：粒子群規(guī)模N=40,最大迭代次數(shù)M=100,學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，最大慣性權(quán)重ωmax=0.9和最小慣性權(quán)重ωmin=0.4，自變量個(gè)數(shù)D=2，正則化參數(shù)μ和核寬度δ的搜索范圍分別為(0.001,8 000)和(0,5)。

首先，針對動(dòng)車組900組運(yùn)行數(shù)據(jù)，采用自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法確定最優(yōu)的正則化參數(shù)μ=6 599.8和核寬度δ2=0.059 7，然后采用本文建模方法得到動(dòng)車組LSSVM模型，其訓(xùn)練誤差和測試誤差見圖2。

由圖2可知，LSSVM模型輸出能較高精度地?cái)M合動(dòng)車組實(shí)際運(yùn)行輸出，泛化能力好，其訓(xùn)練樣本輸出誤差范圍為(-1.262 7～1.056 8 km/h),而測試樣本輸出誤差范圍為(-1.918 2～1.836 9 km/h)。能滿足CTCS-3級列控系統(tǒng)的定位測速誤差要求，即：30 km/h以下速度誤差為±2 km/h，30 km/h以上的不超過運(yùn)行速度的2%[1]。

在上述LSSVM離線模型基礎(chǔ)上，采用另外500組運(yùn)行數(shù)據(jù)來校正模型參數(shù)，得到自適應(yīng)LSSVM模型。設(shè)模型校正閾值x<2。為便于分析對比所提方法的有效性，分別采用自適應(yīng)LSSVM模型和未校正LSSVM模型對動(dòng)車組運(yùn)行進(jìn)行預(yù)測，對應(yīng)的預(yù)測誤差見圖3，其對應(yīng)的最大誤差范圍和均方根誤差如表2。

表2 模型誤差比較表 km·h-1

從圖3和表2可知， 未校正LSSVM模型的預(yù)測誤差范圍超過了2 km/h。而自適應(yīng)LSSVM模型對實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的預(yù)測精度較高，預(yù)測誤差范圍均在2 km/h以內(nèi)，可見自適應(yīng)LSSVM模型能以較高精度預(yù)測動(dòng)車組運(yùn)行過程狀態(tài)變化。

(2) 基于LSSVM模型的速度預(yù)測控制

為了驗(yàn)證自適應(yīng)LSSVM模型在動(dòng)車組運(yùn)行速度控制的優(yōu)越性。分別采用機(jī)理模型、線型多模型(文獻(xiàn)[1])和自適應(yīng)LSSVM模型設(shè)計(jì)動(dòng)車組速度預(yù)測控制算法，對運(yùn)行于京滬高鐵徐州東—濟(jì)南西區(qū)段的CRH380AL型動(dòng)車組的實(shí)際運(yùn)行速度進(jìn)行對比跟蹤控制試驗(yàn)。3種方法對給定速度的跟蹤效果見圖4，其對應(yīng)的牽引力/制動(dòng)力變化曲線見圖5。

比較圖4中各曲線可知，基于機(jī)理模型的預(yù)測控制方法所得速度運(yùn)行曲線跟蹤效果較差，尤其在動(dòng)車組啟動(dòng)和制動(dòng)階段跟蹤誤差更大，對動(dòng)車組安全運(yùn)行帶了一定的影響。本文方法在動(dòng)車組牽引、恒速、惰性和制動(dòng)等各個(gè)工況下均有良好的跟蹤性能，保證了動(dòng)車組的運(yùn)行安全性和?？繙?zhǔn)確性。而基于線性多模型的預(yù)測控制方法所得速度跟蹤效果雖然比機(jī)理模型好，但在工況切換階段與本文方法有較大差距。圖5表明，基于動(dòng)車組機(jī)理模型的預(yù)測控制方法所得控制力的變化范圍比較大，會增大動(dòng)車組能量消耗?；诰€性多模型預(yù)測控制方法所得控制力在動(dòng)車組運(yùn)行狀態(tài)變化時(shí)，其變化范圍較大，影響動(dòng)車組運(yùn)行的舒適性?；谧赃m應(yīng)LSSVM模型的預(yù)測控制方法得到的控制力介于上述兩種方法之間，其所得動(dòng)車組控制力在整個(gè)運(yùn)行過程中變化平緩，過渡比較平滑，且在啟動(dòng)階段滿足恒牽引力和恒功率運(yùn)行。在一定程度上提高了乘客的舒適性和運(yùn)行平穩(wěn)性。

6 結(jié)束語

為有效描述動(dòng)車組運(yùn)行過程的非線性特性和增強(qiáng)模型的適應(yīng)性，提出了動(dòng)車組自適應(yīng)LSSVM建模方法，據(jù)此給出了基于自適應(yīng)LSSVM模型的速度跟蹤控制方法。通過京滬高鐵徐州東—濟(jì)南區(qū)間段CRH380AL型動(dòng)車組運(yùn)行數(shù)據(jù)的對比仿真實(shí)驗(yàn)分析，表明本文方法能較好地描述動(dòng)車組非線性特性，具有較強(qiáng)的適應(yīng)運(yùn)行工況變化能力，并可實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組運(yùn)行速度高精度跟蹤給定速度曲線。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊輝, 張坤鵬, 王昕, 等. 高速列車多模型廣義預(yù)測控制方法[J].鐵道學(xué)報(bào)，2011, 33(8): 80-87.

YANG Hui, ZHANG Kun-peng, WANG Xin, et al. Multiple Models Generalized Predictive Control Method of High-speed Train[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 33(8): 80-87.

[2] 楊輝, 張坤鵬, 王昕. 高速動(dòng)車組多模型切換主動(dòng)容錯(cuò)預(yù)測控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2012, 29(9): 1211-1214.

YANG Hui, ZHANG Kun-peng, WANG Xin. Multiple-models Switching Predictive Control with Active Fault Tolerance for High-speed Train[J]. Control Theory & Applications, 2012, 29(9): 1211-1214.

[3] 衷路生, 顏爭, 楊輝, 等. 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的高速列車子空間預(yù)測控制[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2013, 35(4): 77-83.

ZHONG Lu-sheng, YAN Zheng, YANG Hui, et al. Predictive Control of High-speed Train Based on Data Driven Subspace Approach[J]. Journal of the China Railway Society, 2013, 35(4): 77-83.

[4] YANG Hui, FU Ya-ting, ZHANG Kun-peng, et al. Speed Tracking Control Using an ANFIS Model for High-speed Electric Multiple Unit[J].Control Engineering Practice, 2014, 23: 57-65.

[5] 王義惠, 羅仁士, 于振宇, 等. 考慮ATP限速的ATO控制算法研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2012, 34(5): 59-64.

WANG Yi-hui, LUO Ren-shi, YU Zheng-yu, et al. Study on ATO Control Algorithm with Consideration of ATP Speed Limits[J]. Journal of the China Railway Society, 2012, 34(5):59-64.

[6] GAO S G, QI S H, DONG H R,et al. Data-based Dynamic Characteristic Modeling and Tracking Control for High-speed Train[C]// Proceedings of IEEE 10thWorld Congress on Intelligent Control and Automation(WCICA2012).New York:IEEE Press,2002: 2913-2917.

[7] SONG Q, SONG Y D. Robust and Adaptive Control of High Speed Train Systems[C]//Proceedings of Chinese Control and Decision Conference (CCDC2010).New York:IEEE Press,2010:2469-2474.

[8] SUKKENS J A K, VANDEEALLE J. Recurrent Least Squares Support Vector Machines[J]. IEEE Transaction on Circuits & Systems-I, 2000, 47(7): 1109-1114.

[9] 宋佳, 劉勝, 李高云. 船舶航向最小二乘支持向量機(jī)內(nèi)?？刂芠J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2009, 13(1): 183-188.

SONG Jia, LIU Sheng, LI Gao-yun. LSSVM-IMC Control for Ship Course-keeping System[J]. Electric Machines and Control, 2009, 13(1): 183-188.

[10] LI X H, SONG Y D, FAN L L. Neuro-adaptive Electric Traction and Braking Control of High-speed Train[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Service Operations and Logistics, and Informatics (IEEE/SOLI'2011).New York:IEEE Press,2011: 385-390.

[11] CHOU M, XIA X. Optimal Cruise Control of Heavy Haul Trains Equipped with Electronically Controlled Pneumatic Brake System[J]. Control Engineering Practice, 2007, 15: 511-519.

[12] 徐南, 陳逸凡, 吳彥. 基于交叉驗(yàn)證LSSVM的大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)處理模型[J].水利與建筑工程學(xué)報(bào), 2013, 11(3): 67-69.

XU Nan, CHEN Yi-fan, WU Yan. Dam Monitoring Data Processing Model Based on Cross Validation LSSVM[J]. Journal of Water Resources and Architectural Engineering, 2013, 11(3): 67-69.

[13] HUANG Q J, MAO J L, LIU Y. An Improved Grid Search Algorithm of SVR Parameters Optimization. Communication Technology (ICCT)[C]// Proceedings of 14th IEEE International Conference on Industrial Chimneys and Cooling Towers (ICCT 2012 ).New York:IEEE Press,2012:1022-1026.

[14] 陶少輝, 陳德釗, 胡望明. LSSVM過程建模中超參數(shù)選取的梯度優(yōu)化算法[J].化工學(xué)報(bào), 2007, 58(6): 1514-1517.

TAO Shao-hui, CHEN De-zhao, HU Wang-ming. Gradient Algorithm for Selecting Hyper Parameters of LSSVM in Process Modeling[J]. Journal of Chemical Industry and Engineering, 2007, 58(6): 1514-1517.

[15] 吳景龍, 楊淑霞, 劉承水. 基于遺傳算法優(yōu)化參數(shù)的支持向量機(jī)短期負(fù)荷預(yù)測方法[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 40(1): 180-184.

WU Jing-long, YANG Shu-xia, LIU Cheng-shui. Parameter Selection for Support Vector Machines Based on Genetic Algorithms to Short-term Power Load Forecasting[J]. Journal of Central South University:Science and Technology Edition, 2009, 40(1): 180-184.

[16] 李璇, 彭繼剛, 王凱歌. 基于粒子群優(yōu)化的LSSVM在模擬電路故障診斷中的應(yīng)用[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012, 30(5): 58-63.

LI Xuan, PENG Ji-gang, WANG Kai-ge.Method of LSSVM Optimized by Particle Swarm and Its Application in Fault Diagnosis of Analog Circuit[J]. Journal of Guizhou Normal University, 2012, 30(5): 58-63.

[17] LI L J, SU H Y, CHU J. Generalized Predictive Control with Online Least Squares Support Vector Machines[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(11): 1182-1188.

[18] 江靖. 新一代高速動(dòng)車組牽引系統(tǒng)參數(shù)匹配設(shè)計(jì)與研究[J]. 機(jī)車電傳動(dòng), 2011, 33(3): 9-12.

JIANG Jing. Traction System Parameter Matching Design and Research of New-generation High-speed EMUs[J].Electric Drive for Locomotives, 2011, 33(3): 9-12.