謝國根

(銅陵學院數(shù)學與計算機學院，安徽銅陵244000)

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關于CE－投射模及其投射維數(shù)

謝國根

(銅陵學院數(shù)學與計算機學院，安徽銅陵244000)

摘要:利用投射模的研究方法構造出了CE－內射模的對偶模類CE－投射模，刻畫了CE－投射模及其CE－投射維數(shù)的一些性質;結論如下:假如F:RM→SM為模范疇的等價函子，G是F的逆函子，則M為R－CE－投射模當且僅當F(RM)為S－CE－投射模; RM在環(huán)R上的CE－投射維數(shù)與SF(RM)在環(huán)上的CE－投射維數(shù)是相等的，也即l．CEpd(RM) = l．CEpd(SF(RM) )．

關鍵詞:CE－投射模; CE－投射維數(shù)，模范疇等價

1基礎知識

投射模作為模論中最重要的一類模，極大地充實了代數(shù)學和同調代數(shù)．文獻［1－6］對投射模進行了廣泛而又深入的研究，此處在其基礎上通過構造CE－投射模對投射模進行了推廣．

此處參考文獻［1］中的模范疇等價函子，并利用文獻［2］中性質P:設R與S為等價環(huán)，F(xiàn):RM→SM為模范疇等價函子，若模范疇某種性質P滿足模M在R環(huán)上具有的性質P當且僅當F( M)在環(huán)S中也具有性質P，則稱性質P為函子F的范疇等價性質．例如，性質P可以為單模、半單模、有限表現(xiàn)模等．令RX= { MRM M 滿足性質P}．SX={ MSM M滿足性質P}，利用上述性質P，進一步構造CE－投射模和CE－投射維數(shù)，并得到相關的等價結論．

環(huán)R與環(huán)S都是有單位元的結合環(huán)，且模均為酉模．

顯然，投射模一定是CE－投射模．

定理1設R為環(huán)，對任意的左R－模M，下列結論等價:

1)左R－模M為CE－投射模;

4)假設F:RM→SM為模范疇等價函子，函子G為F逆函子，則F(RM)是環(huán)S上的左S－CE－投射模．

由定理1的1)可得Ext1R( M，K) = 0，所以π是滿同態(tài)，即2)的結論成立．

由于左R－模A為內射模，可得Ext1R( M，A) = 0，又由條件可知π為滿同態(tài)，所以Ext1R( M，K) = 0，由CE－投射模定義可知M為CE－投射模．

由1)知Ext1R( M，K) = 0，所以結論3)成立．

定理2對任意左R－模正合列0→M1→M→M2→0，下列結論成立:

1)若左R－模M1，M2為CE－射投模，則模M也為CE－投射模;

證明1)對左R－模正合列0→M1→M→M2→0，使用長正合列定理可得

根據(jù)模M1，M2為CE－投射?？芍? M1，K) = 0，Ext1R( M2，K) = 0，則( K，M) = 0，故根據(jù)CE－投射模定義可得模M是CE－投射模．

2投射維數(shù)

因為投射模一定是CE－投射模，由文獻［7］可知，投射模一定有投射分解，故CE－投射模有CE－投射分解，并且可類似定義CE－投射模的投射維數(shù)．記CE－投射模RM的投射維數(shù)為l．CEpd(RM)．

定理3設F:RM→SM為模范疇的等價函子，且函子G是函子F的逆函子，則RM在R環(huán)上的CE－投射維數(shù)和SF(RM)在S環(huán)上的CE－投射維數(shù)相等，即l．CEpd(RM) = l．CEpd(SF(RM) )．

證明設l．CEpd(RM) = n＜(其中Pi均為CE－投射模，i=1，2，3，…，n)，則對一切的左R－模M有形如正合列

的CE－投射分解，用函子F作用上述正合列，可得下列正合列:

假設l．CEpd(RM) =，顯然l．CEpd(SF(RM) )≤l．CEpd(RM)總是成立的，綜上，l．CEpd(SF(RM) )≤l．CEpd(RM)成立．

反之，如果l．CEpd(SF(RM) )≤n＜，由上述證明可得

又由于GF(RM)RM，即l．CEpd(RM)≤l．CEpd(SF(RM) )．

假設l．CEpd(SF(RM) ) =，則顯然l．CEpd(RM)≤l．CEpd(SF (RM) )成立，綜上，l．CEpd(RM)≤l．CEpd(SF(RM) )成立．

所以l．CEpd(RM) = l．CEpd(SF(RM) )．證畢．

參考文獻:

［1］ANDERSON F W，F(xiàn)ULLER K R．Rings and Categories of Modules［M］．Springer-Verlag，Berlin，1974

［2］謝國根，葛茂榮．關于CE-內射模［J］．阜陽師范學院學報，2011，89( 3) : 18-20

［3］黃影．FP-投射模［J］．吉林師范大學學報: 2007，39( 1) : 46-48

［4］唐義立，葛茂榮．FG平坦模［J］．重慶工商大學學報:自然科學版，2012，29( 4) : 20-23

［5］朱曉勝．正則環(huán)的同調維數(shù)［J］．南京大學學報:數(shù)學半年刊，1994，11( 2) : 226-232

［6］朱占敏．廣義FP-內射模，廣義平坦模與某些環(huán)［J］．數(shù)學理論與應用，2002，22( 3) : 40-46

On CE-projective Modules and CE-projective Dimension

XIE Guo-gen

( College of mathematics and computer，Tongling University，Tongling 244000，China)

Abstract:Making use of the research on projective module，this paper constructs CE-projective modules，the dual modules of CE-injective modules，and gives some properties of CE-projective modules and CE- projective dimension．The results are as follow: Suppose an equivalent of modules categories functor F:RM→SM，and G is inverse functor of F，( 1) M is CE-projective modules，if and only if F(RM) is CE-projective modules; ( 2) CE-projective dimension of M on ring R and CE-projective dimension F(RM) on ring S are equal，l．CEpd(RM) = l．CEpd(SF(RM) )

Key words:CE-projective modules; CE-projective dimension; equivalent of modules categories

作者簡介:謝國根( 1985-)，男，江西撫州人，碩士，從事環(huán)論及代數(shù)表示論研究．

收稿日期:2014－06－23;修回日期: 2014－10－10．

doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0005．011

中圖分類號:O153．3

文獻標志碼:A

文章編號:1672－058X( 2015) 05－0037－03