艾霜

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

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含有時(shí)滯的不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性干擾下的指數(shù)同步

艾霜

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

摘要:證明了一類含有時(shí)滯的不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性干擾下的指數(shù)同步．在一個(gè)反饋控制器下，得到了指數(shù)同步的結(jié)果;根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論、Filippov解的定義，選取一個(gè)適合的Lyapunov函數(shù)，得到了一些證明指數(shù)同步的充分條件．

關(guān)鍵詞:不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);隨機(jī)同步;時(shí)滯;非線性干擾

近年來，不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步研究引起了廣大專家學(xué)者的關(guān)注［1－3］．在文獻(xiàn)［4］中，作者證明了一類不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在一類狀態(tài)反饋控制器下可以實(shí)現(xiàn)擬同步，也就是說誤差系統(tǒng)可以被控制在零點(diǎn)很小的一個(gè)鄰域內(nèi)，但是不能到達(dá)零．但是不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)路在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用往往被要求達(dá)到完全同步．例如，當(dāng)不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到保密通信時(shí)，只有驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)完全同步，信號(hào)才可以被識(shí)別．與此同時(shí)，由于信號(hào)的傳輸通道擁擠或是受傳輸速度的影響，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯總是不可避免的，含有時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被廣泛關(guān)注．在文獻(xiàn)［5］中，研究了一類含有時(shí)滯的競(jìng)爭(zhēng)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步．然而，在實(shí)際應(yīng)用中，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)的混沌系統(tǒng)總是處于各種不同的環(huán)境中，并且容易受到外部的干擾．基于以上分析，此處研究了一類含有時(shí)滯和非線性干擾的不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)完全同步問題．

1模型介紹和準(zhǔn)備工作

考慮一類含有相同結(jié)點(diǎn)和隨機(jī)干擾的時(shí)滯不連續(xù)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

U( t) = ( u1( t)，u2( t)，…，un( t) )T代表設(shè)計(jì)的反饋控制器，x( t) = ( x1( t)，x2( t)，…，xn( t) )TRn和y( t) = ( y1( t)，y2( t)，…，yn( t) )TRn代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)向量，f(·) ( i= 1，2，…，n)代表不連續(xù)的激勵(lì)函數(shù)，A=( aij)n×nRn×n和B = ( bij)n×nRn×n分別代表不含時(shí)滯的加權(quán)矩陣和含有時(shí)滯的加權(quán)矩陣，x( t)和y( t)分別代表未知的非線性干擾，J=( J1，J2，…，Jn)代表外部輸入向量．

假設(shè)1除了由孤立點(diǎn)ρik組成的可數(shù)個(gè)集合外，fi: R→R( i=1，2，…，n)都是連續(xù)的，其中右極限和左極限f－i(ρik)都存在;并且在每一個(gè)緊區(qū)間R中，fi至少有有限個(gè)不連續(xù)跳躍點(diǎn)．

假設(shè)2存在非負(fù)常數(shù)Li和pi，使得supi－i≤Liu－v+pi，u，vR，其中，iK［fi( u)］，

引理1 若ε＞0，對(duì)于任意的x，y ∈Rn，矩陣A∈Rn×n，有不等式( 3) 成立:

引理2( Halanay不等式)如果V( t)在［－τ，+)上是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，τ≥0，且滿足( t)≤－aV( t) + b( supt－τ≤s≤tV( s) )，t≥0，其中a＞b＞0，則有V( t)≤( sup－τ≤s≤0V( s) ) exp(－ρt)，t≥0，其中ρ是方程ρ= abexp(ρt)唯一的正解．

由于f(·)在Rn上是不連續(xù)的，因此系統(tǒng)( 1)和系統(tǒng)( 2)變?yōu)橛叶瞬贿B續(xù)的微分方程，并且它們的解在慣用的意義下是不存在的．所以，利用Filippov解意義下的集值映射來討論系統(tǒng)( 1)和系統(tǒng)( 2)的動(dòng)力學(xué)行為．

定義1［6］函數(shù)x:［－τ，T)→Rn，T( 0，+)被稱作系統(tǒng)( 1)在［－τ，T)上的Filippov解，如果滿足

( 1) x在［－τ，T)上是連續(xù)的，在［0，T)是絕對(duì)連續(xù)的;

( 2)存在一個(gè)可測(cè)函數(shù)γ( t) = (γ1( t)，γ2( t)，…，γn( t) )T:［－τ，T)→Rn，使得對(duì)于任意的t［－τ，T)，有γ( t)K( f( x( t) ) )，并且( t) =－x( t) +Aγ( t) +Bγ( t－τ( t) ) +x( t) +J，t［0，T)．

引理3［7］(鏈?zhǔn)椒▌t)如果V( x) : Rn→R是C正則的，并且x( t)在［0，+)上的任意緊區(qū)間是絕對(duì)連續(xù)的，那么x( t)和V( x( t) ) :［0，+)→R在t［0，+)是可微的，并且，對(duì)于任意的γ( t)V( x( t) )成立，其中V( x( t) )是V在x( t)上的Clarke廣義梯度．

由定義1和引理3將系統(tǒng)( 1)和系統(tǒng)( 2)分別表示為

令e( t) = y( t)－x( t)，式( 5)與式( 4)作差，得到誤差系統(tǒng):

定義2如果存在常數(shù)M≥1，ρ＞0，使得e( t)2≤Msup－τ≤s≤0( s)2exp(－ρt)，t≥0，則稱系統(tǒng)( 1)與系統(tǒng)( 2)達(dá)到指數(shù)同步．

2指數(shù)同步的證明

通過以上的分析，將證明系統(tǒng)( 1)和系統(tǒng)( 2)的指數(shù)同步轉(zhuǎn)化為證明誤差系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性．下面將證明誤差系統(tǒng)在所給出的控制器下實(shí)現(xiàn)指數(shù)穩(wěn)定．首先給出控制器U( t)，并且當(dāng)e( t) = 0時(shí)，控制器滿足U( t) = 0，U( t) =－Ke( t)－ηsign( e( t) )，其中K和η為正定的對(duì)角矩陣．

定理1若假設(shè)1－假設(shè)3是滿足的，系統(tǒng)( 2)與系統(tǒng)( 1)在控制器U( t)下可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步，如果滿足條件( 6) :

證明選取如下的Lyapunov函數(shù):

由假設(shè)1－假設(shè)3和引理1，得

ρ是方程( 7)的唯一正解．

由定義2，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)( 1)和( 2)實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)同步．證畢．

參考文獻(xiàn):

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Exponential Synchronization of Delayed Neural Networks with Discontinuous Activations and Nolinear Perturbations

AI Shuang

( College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Abstract:This paper proves exponential synchronization of delayed neural network with discontinuous activations and nolinear perturbations．Exponential synchronization result is obtained under a state feedback controller．Based on Lyapunov stability property，under the framework of Filippov solution，by using a suitable Lyapunov function，some sufficient conditions of exponential synchronization are obtained．

Key words:discontinuous neural network; stochastic synchronization; time-delay; nonlinear perturbations．

作者簡(jiǎn)介:艾霜( 1989-)，女，重慶合川人，碩士研究生，從事混沌同步與控制研究．

收稿日期:2014－10－09;修回日期: 2014－11－16．

doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0005．002

中圖分類號(hào):O232

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672－058X( 2015) 05－0006－03