劉　先，趙星起，張　亮

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

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一類新的廣義非線性變分不等式系統(tǒng)的預(yù)解算子算法*

劉先，趙星起，張亮

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

摘要:考慮Hilbert空間中一類新的廣義非線性變分不等式系統(tǒng)( SGNLVI)，建立了SGNLVI和不動點問題之間的等價性;并利用預(yù)解算子方法，對( SGNLVI)問題提出一個新的預(yù)解算子算法，在適當?shù)臈l件下分析了該算法的收斂性;給出的結(jié)果是更一般的結(jié)果，這些結(jié)果改進并推廣了相關(guān)文獻中的結(jié)論．

關(guān)鍵詞:非線性變分不等式系統(tǒng);預(yù)解算子;松弛強制算子;強單調(diào)算子; Lipschitz連續(xù)

變分不等式理論是1964年Stampacchia在文獻［1］中提出的，它是非線性分析的重要組成部分．變分不等式理論與力學(xué)、微分方程、控制理論、數(shù)學(xué)經(jīng)濟、最優(yōu)化理論、對策理論、非線性規(guī)劃等理論和應(yīng)用學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，它提供了一種簡單、自然、統(tǒng)一的框架研究和學(xué)習(xí)一大類在純科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)中出現(xiàn)的問題．眾所周知，變分不等式問題和不動點問題之間是等價的，這種等價性已經(jīng)被用來提出一系列求解變分不等式問題的迭代方法．例如，投影方法及其變形形式、Wiener-Hopf方程、輔助原理方法、解的更新方法等，見文獻［1－15］．為此考慮Hilbert空間中一類新的廣義非線性變分不等式系統(tǒng)( SGNLVI)，建立了( SGNLVI)和不動點問題之間的等價性;進而利用預(yù)解算子方法對( SGNLVI)問題提出一個新的預(yù)解算子算法，在適當?shù)臈l件下分析了算法的收斂性．此處給出的結(jié)果是更一般的結(jié)果，這些結(jié)果改進并推廣了相關(guān)文獻中的結(jié)論．

1預(yù)備知識

設(shè)H是實Hilbert空間，它的內(nèi)積和范數(shù)分別記為〈·，·〉和·，設(shè)K是H中的一個非空閉凸集，任意給定非線性算子: K×K→R∪{ +}，Ti: K×K→K和gi: H→K，i = 1，2，考慮下面的變分不等式系統(tǒng)( SGNLVI) :

求( x*，y*)K×K，使得

其中，ρ1＞0，ρ2＞0為常數(shù)．

注1 1)如果T1=T2=T是單變量的算子，并且=0，則( SGNLVI)簡化為文獻［1］中研究的變分不等式問題;

3)如果T1=T2=T是單變量的算子，并且g1=g2=g，=0，則( SGNLVI)簡化為Noor在文獻［3］中研究的變分不等式問題;

4)如果T1=T2=T，=0，那么( SGNLVI)簡化為Noor在文獻［4－5］中研究的Hartman－Stampacchia變分不等式問題．

對單變量的算子T: H→H，T的定義域、值域以及圖像分別記作

定義1算子T: H→H被稱為

3)極大單調(diào)的，當且僅當T是單調(diào)的并且T的圖像不真包含于任意單調(diào)算子的圖像．

T－1是可逆算子，定義為

定義2［11］設(shè)T為極大單調(diào)算子，對任意＞0，和T相關(guān)聯(lián)的預(yù)解算子定義為

注2嚴格或極大單調(diào)算子一定是單調(diào)的，反之不成立．眾所周知，單調(diào)算子是極大單調(diào)的當且僅當它的預(yù)解算子處處有定義．進一步，預(yù)解算子是單值非擴張的映像，即

定義3算子g: H→H被稱為

定義4算子T: H×H→H被稱為

注3由定義可知，單位算子I是1－強單調(diào)和1－Lipschitz連續(xù)的映像．如果算子g: H→H是－強單調(diào)和－Lipschitz連續(xù)的，那么≥．如果T: H×H→H關(guān)于第一個或第二個變量是強單調(diào)的，那么T關(guān)于第一個或第二個變量是松弛強制的，即松弛強制映像是比強單調(diào)映像更為廣泛的一類映像．

引理1［11］對于給定的zH，uK滿足不等式( 10) :

4)關(guān)于第二個變量γ－Lipschitz連續(xù)的，當且僅當對任意y，y'H，存在常數(shù)γ＞0，使得

引理2［10］設(shè){ an}和{ bn}是兩個非負實序列，且滿足下面的條件:

其中n0是某個非負整數(shù)，dn( 0，1)且，那么當n→時，有an→0成立．

2主要結(jié)果

定理1建立了( SGNLVI)和不動點問題之間的等價性．

定理1 x*，y*K是( SGNLVI)的解，當且僅當

證明設(shè)x*，y*K是( SGNLVI)的解，那么對所有xH，有

式( 13)可以等價變形為

即式( 12)成立．證畢．

算法1對任意給定的初始點x0，y0H，序列{ xn}和{ yn}按照下面的迭代方式產(chǎn)生:

下面的定理2證明了算法1的收斂性．在這之前，先建立重要的引理3．

引理3設(shè)H是實Hilbert空間，{ xn} { yn}H，且滿足

其中x*，y*H，{ rn} { sn}( 0，1)，且滿足．那么{ xn}和{ yn}分別收斂到x*和y*．

證明首先，定義H×H上的范數(shù)‖·‖1如下:

則( H×H，‖·‖1)是Banach空間．因此，由‖·‖1的定義知，式( 15)蘊含著

利用引理2，有

因此，序列{ xn}和{ yn}分別收斂到x*和y*．證畢．

定理2設(shè)K是實Hilbert空間H中的一個非空閉凸子集．假定映像Ti: K×K→K和映像gi: H→K滿足Ti關(guān)于第一個分量是(i，ti)－松弛強制的，關(guān)于第一個分量是i－Lipschitz連續(xù)的，關(guān)于第二個分量是γi－Lipschitz連續(xù)的; gi是i－Lipschitz連續(xù)的，i－強單調(diào)的，i=1，2．如果存在正常數(shù)ρ1，ρ2＞0，使得

假定x*，y*K是系統(tǒng)( SGNVIP)的解．進一步，假定{n} {n}［0，1］，并且滿足下面的條件:

其中，

那么由算法1產(chǎn)生的迭代序列{ xn}和{ yn}分別收斂于x*和y*．

證明由x*，y*K是非線性變分不等式系統(tǒng)( SGNVIP)的解及定理1，有

為了證明定理2的結(jié)論成立，首先計算xn+1－x*．利用式( 14)和式( 18)，可得

因為g1是1－Lipschitz連續(xù)的，1－強單調(diào)的，有

因為T1關(guān)于第一個分量是(1，t1)－松弛強制的，1－Lipschitz連續(xù)的，有

由T1關(guān)于第二個分量是γ1－Lipschitz連續(xù)的，可得

將式( 20) ( 21)和式( 22)帶入式( 19)，得

類似地，可以證明

由式( 23) ( 24)，可得

3小結(jié)

考慮了一類新的廣義非線性變分不等式系統(tǒng)( SGNLVI)解的迭代算法．建立了( SGNLVI)和不動點問題之間的等價性，并利用預(yù)解算子方法提出一些新的預(yù)解算子算法，在適當?shù)臈l件下分析了該算法的收斂性．給出的結(jié)果是更一般的結(jié)果，這些結(jié)果改進并推廣了相關(guān)文獻中的結(jié)論．今后，將考慮能否證明( SGNLVI)解的存在性，并給出一些相應(yīng)解的迭代算法．另一方面，也將會考慮把求解( SGNLVI)的各種迭代算法進行對比，尋找各種算法的優(yōu)缺點，從而設(shè)計出求解( SGNLVI)的更為高效的算法．

參考文獻:

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Resolvent Operator Algorithm for a Class of New System of General Nonlinear Variational Inequalities

LIU Xian，ZHAO Xing-Qi，ZHANG Liang

( College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing，401331 China)

Abstract:This paper introduces and studies a new system of general nonlinear variational inequalities ( SGNLVI) in Hilbert space．The equivalence between ( SGNLVI) and the fixed point problems is established．Using the resolvent operator technique，this paper presents a new resolvent algorithm and the convergence of the new algorithm is analyzed under proper conditions．The results presented in this paper are more general to improve and extend the results known in the previous literature．

Key words:system of general nonlinear variational inequalities; resolvent operator; relaxed coercive operator; strongly monotone operator; Lipschitz continuity

作者簡介:劉先( 1989-)，男，四川宜賓人，碩士研究生，從事最優(yōu)化理論研究．

*基金項目:國家自然科學(xué)基金項目( 01JA880034) ;重慶市自然科學(xué)基金項目( cstc2011jjA00010)．

收稿日期:2014－09－12;修回日期: 2014－10－08．

doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0005．001

中圖分類號:O177．91

文獻標識碼:A

文章編號:1672－058X( 2015) 05－0001－06