王鴻章，梁聰剛

（平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 平頂山 467000）

1 模型的建立

為了研究方便，不妨用S（t），E（t），I（t），R（t）表示t時(shí)刻易感類、潛伏類、染病類和康復(fù)類人口的年齡密度函數(shù).假設(shè)所有新生嬰兒和新遷入的人口都是易感類，設(shè)為定常數(shù)∧，則傳染病的流行過程可由如下的常微分方程組來描述［1－4］：

其中β表示疾病的傳染率，f表示對易感者的接種率，μ表示人口自然死亡率，ε－1表示平均潛伏周期，r表示病人的康復(fù)率（r－1表示平均感染周期）.

把系統(tǒng)（1）中的各式相加得：

由（2）式得：

1.1 平衡點(diǎn)

系統(tǒng)（1）：的平衡點(diǎn)P＊＝（S＊，E＊，I＊，R＊）滿足：

經(jīng)計(jì)算可得系統(tǒng)（1）總存在無病平衡點(diǎn)：

其中：

1.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性證明

為了證明方便，不妨引入一些符號記為：

引理1（文獻(xiàn)）［5］假設(shè)f：［0，∞）→R是有界的，k∈L1（0，∞），則

引理2（文獻(xiàn)［5］） 假設(shè)f：［0，∞］→R有界和二次可微，且二階導(dǎo)數(shù)有界，若當(dāng)n→∞時(shí)，t→ ∞，且f（tn）→f∞，則

定理1 當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)ˉR0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)P0全局漸近穩(wěn)定.

證明 當(dāng)R0＜1時(shí)的情況.則其雅克比矩陣為：

則（4）式在P0處的特征方程為：

顯然上面的方程有兩個(gè)特征根為λ1＝－μ－f，λ2＝－μ，其余特征根滿足：

明顯當(dāng)R0＜1時(shí)有C＞0，又B＞0，因此方程（4）λ2＋Bλ＋C＝0不存在實(shí)部大于或等于零的根，即當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.

由（1）式的E′（t）＝βS（t）I（t）－μE（t）－εE（t）和I′（t）＝εE（t）－μI（t）－rI（t）兩個(gè)方程得：

在（6）式的各不等式兩邊取上極限得：

從而當(dāng)Rˉ0＜1時(shí)，有：

由（7）、（8）式有：

由引理2：假設(shè)f：［0，∞）→R有界和二次可微，且二階導(dǎo)數(shù)有界，若當(dāng)n→∞時(shí)，tn→∞，且f（tn）→f∞，則

選取數(shù)列tn→∞，sn→∞，使得S（sn）→S∞，S（tn）→S∞，S′（sn）→0，S′（tn）→0，因?yàn)楫?dāng)tn→∞時(shí)，I（t），E（t）都趨于零，所以由（1）式的第一個(gè)方程，S′（t）＝∧－βS（t）I（t）－μS（t）－fS（t），有：

從而

因此，當(dāng)ˉR0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)全局吸引，證畢.

定理2 當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)傳染病不消亡的平衡解局部漸近穩(wěn)定.

代入系統(tǒng)（1）的

顯然，（12）等價(jià)于（1）.

系統(tǒng)（12）在傳染病不消亡的平衡點(diǎn)P＊處的雅可比矩陣為：

將（13）代入（14）式有：

從而（12）在P＊處的特征方程為：

顯然a0，a1，a2均為正，傳染病不消亡的平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充要條件是方程λ3＋a2λ2＋a1λ＋a0＝0的所有特征根具有負(fù)實(shí)部，由Routh－Hurwits判別法［8］，這等價(jià)于：

我們這里a3＝1，易知這些條件全部滿足.事實(shí)上，Δ2＝a1a2－a0＞0成立是因?yàn)檎归_括號后負(fù)項(xiàng)全部消掉了.

于是這就證明了傳染病不消亡的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

2 結(jié)論

通過研究可以發(fā)現(xiàn)傳染病是由寄生物所引起的能在人群中相互傳播的疾病，因?yàn)樗苁购芏嗳嗽谝欢ǖ臅r(shí)間內(nèi)降低或散失勞動(dòng)能力，造成部分人的終生殘疾或死亡。所以本文應(yīng)用倉室建模的思想結(jié)合疾病產(chǎn)生的過程情況，利用常微分方程建立起描述的SEIR傳染病模型，利用泛函分析和雅克比矩陣證明了模型方程平衡解的存在性和穩(wěn)定性.應(yīng)用Routh－Hurwits判別法討論分析了平衡解的局部穩(wěn)定性.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)ˉR0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)P0全局漸近穩(wěn)定.當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)傳染病不消亡的平衡解局部漸近穩(wěn)定。結(jié)合其結(jié)果來對流行性疾病分析其發(fā)生流行的原因，并對其流行的關(guān)鍵因素進(jìn)行預(yù)測，力圖找到其流行的規(guī)律，并對其規(guī)律進(jìn)行研究找到對流行性疾病進(jìn)行控制和防治的最優(yōu)策略辦法，為人們防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)［6－8］。

［1］ 徐文兵.某些傳染病系統(tǒng)的建模、分析與控制研究［D］.北京：北京信息控制研究所，2005.

［2］ 由守科，閆萍.一類具有潛伏期和染病年齡的SEIR傳染病模型［J］.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，3（27）：288－297.

［3］ 楊小平.狀態(tài)依賴的脈沖微分方程模型的最優(yōu)周期控制策略［J］.河南科學(xué)，2013，31（03）：262－264.

［4］ 唐文艷，焦建軍.具脈沖擴(kuò)散效應(yīng)的Gomportz種群動(dòng)力學(xué)模型研究［J］.湘潭大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2013，（2）：10－13

［5］ H L Liu，H B Xu，J Y Yu，G T Zhu，Stability Results on Age－Structured SIS Epidemuc Model with Coupling Impulsive Effect［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2006（1）：1－10.

［6］ H L Liu，J Y Yu，G T Zhu，Global Asymptitic Stable Eradication for the SIV Epidemic Model with Impulsive Vaccination and Infection－Age［J］.Journal of Systems Science and Complexity，2006，19（3），393－402.

［7］ 王鴻章.一類帶有感染年齡SIR模型最優(yōu)化免疫策略的存在性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2014，2（44）：156－165.

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