張勁松

2013年1月13日—5月11日，筆者到美國肯塔基州Murray State University（MSU）進行為期四個月的訪學.Murray位于肯塔基州西南部，在肯塔基、田納西、密蘇里和伊利諾伊四州的交界處.MSU是一所四年制、具有師范特色的公立大學，成立于1922年.訪學期間，筆者研修了三門課程，參觀了三所學校，有些許感觸和體會.

筆者長期從事中學數學課程教材研究、編寫和編輯工作.學生為什么要學習數學？要學習哪些數學？教師如何教數學？學生如何學習數學？教師專業(yè)化成長的途徑是什么？我們如何進行教材多樣化的建設？等等.這些問題一直縈繞在自己的腦海中，促使自己思考.在MSU的四個月，給了自己思考的時間、空間和氛圍，努力探求這些問題的答案.只有這樣，才能推動自己的本職工作，編寫高質量的教材，更好地服務廣大教師和學生.

1師資培養(yǎng)與課程設置：針對性強、理論與實踐性結合緊密

1.1三門研修課

在MSU筆者研修了三門課：兩門數學課、一門教育課.兩門數學課：一門是未來小學和初中老師的必修課《mathematics for middle and elementary teachersⅡ： mathematical reasoning》（《數學推理》），另一門是未來高中數學老師的必修課《sets，logic and functions》（《集合、邏輯和函數》）；一門教育課：《advanced strategies of teaching in the middle grades》（《中學高級教學策略》），這門課程的實踐性很強，不同學科專業(yè)的學生集中一起上課，每個學科專業(yè)作為一組，主要內容是學科課程單元和每堂課的評價設計、課堂管理策略以及學科課程教學的技巧等等.

四節(jié)研修課實例：

“三線八角”課.這節(jié)課講了外錯角，在證明完三角形的內角和定理后，老師又拓展了一下，講到球面三角形的內角和，過渡很自然，講述很直觀，從地球的赤道、南北極、0°經線、180°經線，直觀說明球面三角形的內角和大于180°.當然，這堂課最重要的是statement and reason（結論和理由）要分別表述，用我們的話來說就是言必有據.這節(jié)課的學生將來主要做小學和初中教師.

operations and properties（運算及其性質）課.中間講到運算的封閉性，以及加法和乘法的單位元，代數味道很濃，很多地方用矩陣運算作為反例.這節(jié)課的學生將來主要從事初中和高中數學教師工作.

一節(jié)教學策略課，確切地說，這節(jié)課的主題是內容標準與教學要求.課堂上的學生來自不同的專業(yè)：數學、科學、語言和社會.老師布置的任務是根據每個學科的內容標準，確定每個學科的教學要求.看到學生手頭的材料，這不是一個難題.學生把手頭的內容標準，用直觀的方式表達出來即可，6年級、7年級和8年級的具體要求是什么.與科學、社會、語言等學科不同，數學的要求顯然是螺旋上升的.在這三個年級，內容都是：比率和比例關系、數系、表達式和方程、函數、幾何、統(tǒng)計和概率；每個年級的要求不同，要求主要是：理解、應用和解決問題，應用主要指數學內容之間的聯系.

長度、面積和體積：量和單位的換算課.這種類型、這種內容的課，放在國內，我們肯定說，這太小兒科了，這不是我們小學階段講的內容嗎？美國大學還弄這些玩意，啥意思？此話不假，確實我們小學階段學過，學生也會換算，而且做了大量的題目，隨便出一個問題，我們的學生肯定沒有問題.

仔細琢磨起來，有值得研究的地方.一方面，對我來說，美制單位是全新的，在它面前，我是個小學生；另一方面，從單位的換算上，如何消去單位，如何由一維的長度，到二維的面積、三維的體積，這里面蘊涵著數學知識及思想方法.面積和體積是怎么定義的？平方、立方是如何得來的？這些既是生活常識，也是數學發(fā)展的脈絡之一.生活常識不用說了，說是數學的發(fā)展脈絡之一，多啰嗦幾句.單位長度是個原始定義，這是起點，單位面積、單位體積是在單位長度的基礎上定義的：邊長為一個單位的正方形的面積，我們定義為單位面積；棱長為一個單位的正方體的體積，我們定義為單位體積.有了單位面積和單位體積，我們才能度量物體在二維和三位空間中所占的大小.在這個定義的過程中，我們進行了一步和兩步乘法的運算，相應地，單位也進行了乘法運算，一步的是平方，兩步的是立方，這樣多大的面積、多大的體積就出來了.這個說清楚了，一維到二維、三維的過渡，就非常自然了.果不其然，這堂課就是這么講的.挺有意思、挺有思想.盡管現在有很多單位換算器的小軟件，很容易解決所有問題，但是從數學的角度多了解一些，豐富我們的理性思維，不也很好嗎？！

我們知道很多量和單位的換算，從數學角度看，都是正比例關系，可以用正比例函數描述.但是華氏度和攝氏度的轉換正比例函數就不行了，這時要用到一次函數f=18c+32，或c=5（f-32）/9，此時教師講到一次函數的性質和圖象.

1.2師資培養(yǎng)與課程設置

通過研修這三門課程不難發(fā)現，它們的針對性很強，學生是未來的教師；理論與實踐結合緊密，學科課程與教學實際聯系密切.在研修中，我始終在考慮我們的師資培訓問題，之所以談這個話題，是因為教師在教育中的作用太大了，教師是培養(yǎng)人的行業(yè)，傳道、授業(yè)、解惑.發(fā)展靠人才，人才在教育，教育的關鍵在教師.

從大的范疇看，現在我們的師資培養(yǎng)分為職前教師培養(yǎng)和職后教師的繼續(xù)教育.職前教師培養(yǎng)機構，國內太多了，師范大學、師范學院，不帶師范字樣但以師范為特色的大學，還有一些綜合性大學、理工科院校，說至少上百所，不為過.職前教師培養(yǎng)機制大致相同，第一年學科專業(yè)基礎課，第二年、第三年學科專業(yè)課，最后一年教育心理、學科教學課程，再加上教學實踐.

多年以來，師范大學向綜合大學靠攏，似乎提高自己的品味和品質，納百川，容天下.一些重點師范大學，非師范專業(yè)超過師范專業(yè)，還有一些師范大學，終于摘掉了自己頭上“師范”的帽子，名稱上成為綜合大學.很長時間，充斥著“師范性”與“學術性”的討論，甚至爭論.兩者似乎水火不容，師范似乎與學術不搭邊，學術中似乎沒有師范，學術如果搭上師范，似乎從專賣店到了大賣場，降低了層次，降低了品味.但是，不得不承認的一個事實是，我們師范特色的很多課程，經驗型的居多.經驗基礎上的理論概括，或者說基于腦科學研究基礎上的教育心理學薄弱，是我們無法回避的，我們自己確實做的不好.

靠攏的原因，分析一下，無外乎招生、就業(yè)、大學教師自身的社會認同感等因素.非師范專業(yè)能招到好學生，非師范專業(yè)的學生能找到好工作，綜合大學的教師社會認同感強.學校從自身發(fā)展角度著眼，這么做無可厚非.但是，從另外一個角度看，我們似乎丟了自己的職責.為什么這么講？

以師范大學數學教育專業(yè)為例，它的主要任務是為基礎教育培養(yǎng)合格、優(yōu)秀的師資，培養(yǎng)我們的下一代.為未來一代傳承知識，獲取必要的學習能力，形成健康、向上的情操，為進一步了解世界、認識世界、發(fā)展世界打開一扇窗戶.教書育人，是崇高的社會勞動，辛勤的園丁、靈魂的工程師，這些稱呼，一點都不為過.這種專業(yè)職責和社會期盼，對職前教師的培養(yǎng)提出了很高的要求，其重要性如何表達都不為過.

看看我們怎么做的.第一年專業(yè)基礎課，這個專業(yè)是數學，課程是：數學分析、空間解析幾何、高等代數；第二年，專業(yè)課，這個專業(yè)仍然是數學，課程是：常微分方程、微分幾何、抽象（近世）代數、大學物理；第三年，課程是：實變函數、復變函數、高等幾何、點集拓撲、概率論、數理統(tǒng)計等.當然這三年還有大學英語、計算機、大學語文、政治類課程.最后一年，數學教育類課程：數學教學論、數學教育心理學、數學課程論等，當然還有教學實踐，到中學聽課、講課.畢業(yè)，兩個月后，到中學任教.這是我們的“生產線”.

從課程設置上來說，有問題嗎？似乎不大，但是從實際效果看，問題多多.接受的數學專業(yè)的訓練，夠嗎？我想這些科目如果深入下去，足夠了，數學教師，重要的當然是數學的訓練和素養(yǎng)，沒有數學，教學無法談起，因為我們是教數學；數學教育專業(yè)的素養(yǎng)咋樣？當然比數學差，畢竟這個專業(yè)的實踐性強，沒有時間，沒有實踐，沒有積累，肯定是不行的.拋開這個因素不提，僅僅是數學教育的理論，夠了嗎？當然不夠，太少了.特別是如何從高觀點看中學數學內容，把中學數學的內容放在現代數學的眼睛里，我們能夠看到什么.這方面我們做的不夠.

上面說的太抽象，拿個例子說明.代數最重要是運算和運算律，數、式、方程和不等式的變形，其實就是運算以及靈活運用運算律；幾何很重要的功能是推理，借助直觀的形象，研究合情推理、演繹推理，并給出嚴格的證明格式，通過推理，由主觀世界認識客觀世界.這就是數學的力量、知識的價值.我們數學教育類的課程，在這方面做的如何，我想不是很樂觀.

一言以蔽之，我們應把中學數學課程中的核心內容，如數系、運算、證明、函數、可能性等，用現代數學的語言進行解讀，用現代數學的眼睛認識它們，把握他們的內涵.先讓它們飛起來，飛到巡航高度，然后慢慢降落到教材上，落實在教學中.我們有這方面的教材，但是需要發(fā)展，需要成為職前教師培養(yǎng)計劃的核心課程.數學家，數學教授，在這方面可以大有所為.象牙塔里的自娛自樂，陶醉其中，是一種人生境界，很好.但是普渡眾生，是更大的社會責任.M.克萊因、H.弗賴登塔爾、R.柯朗都給我們做出了很好的榜樣.《古今數學思想》、《作為教育任務的數學》、《數學是什么》之所以成為數學教育的名著，是因為它們既能平穩(wěn)起飛，又能安全降落.

職后教師培養(yǎng)的方式多種多樣，日常的教研、集中培訓等等，都是在提高教師的專業(yè)水平和教學能力，目的是推動教學質量的提高.我們每年都在做教材的培訓，也是職后教師培養(yǎng)的重要方式.如果把職前教師培養(yǎng)看成上游，把教師的課堂教學看成下游，那么我們的職后教師的培養(yǎng)就處在中游，上、中、下游是一個有機的整體.怎么做好我們的中游？教師這個職業(yè)是個終生需要學習的職業(yè)，僅僅是一桶水不夠了，還要有一眼泉，有繼續(xù)發(fā)展的動力.由于教材本身的特點，教材培訓涉及課程、教學和評價的方方面面，我們在這方面做了大量工作，投入了巨大的人力、物力和財力，反饋的效果也不錯.但是從師資培養(yǎng)的角度講，我們的層次還可以提高一些，在對課程教材全面解讀，和教學深入研究的基礎上，把握數學知識的內涵，進而形成我們的培訓資料，發(fā)揮我們的學科研究和出版優(yōu)勢，作為教材培訓的必備圖書.這既是對我們教材培訓資料的提升和發(fā)展，更是提高我們教材編寫質量的重要途徑，促使我們更好地研究數學和教學，把二者有機地結合起來.在這方面，我們有很多工作要做，這是我們的責任.

2對學生學習基礎的思考：著眼于學生未來的發(fā)展

教育是未來的事業(yè)，我們必須著眼于學生未來的發(fā)展.從事基礎教育的我們，如何處理好打基礎與學生未來發(fā)展之間的關系，是工作中考慮的一個非常重要的問題.

學什么？為什么學？怎樣學？這是我們工作的出發(fā)點和落腳點.我們面對的是學生，我們服務于學生：學習的內容，學習的目的，學習的方法.我們不僅要做教材的編寫，而且要進行課程的研究，課程是上位的概念，教材編寫要在課程的指導下進行.由于編寫體制和工作性質的關系，現在我們依據課程標準進行教材編寫.但是內容的問題，設置內容目的是必須清楚的.

現在是信息社會、開放社會.整個社會、整個互聯網是個超級學校.但與過去相比，我們學習的內容沒有太大的變化，啥原因？我想主要是這些內容太基礎了，就像吃飯、喝水一樣，這些是米、水，不論社會如何發(fā)展，這些是必須的，老祖宗吃飯、喝水，我們現在仍然要吃飯、喝水，未來也是這樣，至少現在看是這樣，所以數學的基礎內容沒有太大的變化.但是從課程研究，從教育本身的屬性來說，從未來的發(fā)展來說，我們需要思考一些問題.

從數學課程研究的一個局部講，數學基礎內容是哪些東西？是課程標準規(guī)定的這些內容嗎？僅僅是這些內容，還是這些內容可以更精簡？毋庸置疑，抽象、推理和模型是最重要的數學思想方法.離散數學的內容：二進制、十進制、數列與遞推；開關電路與布爾代數，圖論：圖形的分類與拓撲；微積分等等，這些內容是不是可以成為我們的基礎內容？我們的數與式的運算，我們的幾何證明，我們的解析幾何，需要學習這么多嗎？！高中課標的一些專題有些很好，可以講的淺顯直觀一些，干嘛一定要講透、講所謂的數學家的清楚，不可能也沒必要.這方面的研究，其實很薄弱.

當我們在做具體工作的時候，需要有自己的想法，提出自己的建議，寫文章，闡述表達自己的觀點.對基礎內容的加入，我們的科學研究，需要有充分的論證.基于現在，更要基于未來的發(fā)展.也許有些專家認為，無所謂，只要把他們認為的基礎學好了，其他一切順理成章，駕輕就熟.是這樣嗎？其實有些高估了.

我們重要的是在學校的教育中給學生一扇窗戶，讓他們知道外面的世界，知道數學的廣闊.意識遠遠要大于技能，做任何事情都是這樣.但是思想意識的培養(yǎng)，需要靈感、悟性，需要過程、刺激，需要行萬里路、讀萬卷書；需要學，更需要思.

為什么學習這些內容？當然要有充分的論證，其實還有些東西是直覺，沒有太多的理由，第六感，這些其實也是非常重要的東西.經過一段時間的工作后，你會發(fā)現，演繹推理與合情推理并存，感性與理性并存，理智與情感并存，思辨與實證并存，這始終是矛盾的共同體，相依相存.它們可以在一個人頭腦中打架，但是沒有結果，沒有誰被另一個擊敗，沒有誰被另一個消滅.我們不能是非此即彼的思維方式.要論證內容的內涵是什么，要解讀其現在的價值，更要解讀其未來的價值.打開這扇窗戶后，要引導學生透過它大概能看到什么，大概在多遠的地方，大概什么時候能看到它，看到它后你又會看到什么等等.先邁出這一步，以后要靠自己，靠每個人的認識，更靠每個人的悟性.

怎么教？我們做了很多的研究、很多的工作，我們有很多這樣的機構，教育學、心理學就研究這些事.怎么學？有一次與幾位朋友聊天，說到9+6怎么算，就10個手指，低年級的小學生不靈了.我開玩笑說，脫了鞋，就沒問題了.但是19+6呢？這是個難點.當學生能用1個手指表示10時，那么他的思維就飛躍了，這個飛躍不是件容易的事.1個手指就是1個手指，為什么可以表示10個手指呢？！這時這個手指不僅是一個具體的手指，更是一個抽象的手指了，字母表示數的思想就來了.這些是我們認知心理需要研究的問題.具體的、更多的需要教師琢磨，需要專家提供指導，讓學生思考、理解、抽象、概括、推理.

多年來，我們對美國數學教育的一個基本看法是：基礎差，學的寬泛，但是要求不高，“一英里寬、一英寸深”說的就是這個事.但是仔細琢磨一下，“一英里寬、一英寸深”是否也有其價值和存在的土壤？為學生認識未來世界多打開幾扇窗戶，開闊視野，不也很好嗎？！我們需要辯證的看待這種提法.

3參觀中學、觀察課堂教學：深入體會教育是上層建筑

訪學期間參觀了三所中學，聽了兩節(jié)數學課，切實感受到教育是社會的上層建筑.

3.1教室&辦公室

單從學校的硬件看，好像都是一個模子里刻出來的.教室&辦公室、閱覽室、體育館、餐廳、洗手間、過道等等，都長的差不多.任課教師的辦公室就是這門課的教室，教師不動，學生走動.上八年級數學課了，我就到八年級數學A老師的教室兼辦公室.當然與國內的教室比，小了點，但是與國內老師的辦公室比，那是大多了.教室&辦公室的布置很有特點、很有氣息，勵志的話有，學生的作品有，教師的個人興趣愛好也能體現出來.總之，環(huán)境氛圍不像中國傳統(tǒng)意義的教室.我們的教室一般比較素雅，行為規(guī)范、勵志的話多，生活氣息的東西少.這其實也是東西方文化差異的一個表現，我覺得沒有啥好不好的問題，經濟、社會發(fā)展程度不一樣，文化背景也不一樣，就像我們吃饅頭，他們吃面包.教室&辦公室的這種設置，主要還是學生少，班額不大，好弄.每個學生在過道里面都有一個帶密碼鎖的大柜子，沒有固定教室和座位，學科教材都放在教室&辦公室里，學生走起來不費勁，自然沒有問題.實際上，對于學生來說，上不同的科目到不同的教室，感受不同的環(huán)境氛圍，從學生的角度看，色彩斑斕些，對大腦的刺激更深刻一些.這是從積極的角度說，學生沒有固定教室的有益之處.從教師的角度說，自己的辦公室是開放的，給了學生更多了解老師的機會，包括老師的性格和愛好.這是根深蒂固的文化.

3.2兩節(jié)數學課

兩節(jié)數學課：一節(jié)是全等的概念和性質，一節(jié)是兩點間距離公式.全等的概念和性質這堂課，首先給出全等的概念和全等的性質，然后讓學生標注全等圖形的對應邊和對應角，平移的三角形沒有太大的問題，關于軸對稱的兩個四邊形，出現些許問題；兩點間的距離公式主要是運用這個公式求平面上兩點間的距離，點的坐標都是有理數，沒有無理數和字母，而且可以運用計算器.只就教學內容本身來講，與國內比，教學容量小，教學要求不高.做比較研究，如果不放在政治、經濟、社會、文化的背景下考慮，沒啥太多可做的.但是，一旦放在這個背景下，這又不是教育本身的問題了.深入這兒的生活，漸漸體會到教育本身是社會的上層建筑，經濟基礎不同，差異大是必然的.物質決定精神，主觀服從客觀.說的真是太質樸、太有力了.來美國之前，盡管沒有直接經驗，但理性告訴我，沒有太多的可比性；來之后，加深了這方面的認識.僅僅從幾堂課的教學以及教育本身進行研究，沒有意義.這主要是美國的評價考試機制與國內有著天壤之別，這是大家都明白的事實；再一個就是當地，主要是各個州的課程標準的具體要求，達到基本要求即可.而這不是單純的一個教育本身的問題，我們的學習，在掌握知識的基礎上，還要參加考試，進入上一個層次的學習，只有好的成績才可以享受更多的優(yōu)質教育資源.為了爭取好的成績，反復演練、拔高要求成了不二的選擇，這就是現實的情況，這就是我們的上層建筑.

3.3教師與教學研究

由于教室&辦公室的特點，決定了老師都是單幫，不像我們同一學科的老師集體辦公、集體備課、集體教研，彼此之間至少從形式上說，探討多，用的是相對統(tǒng)一集中的教案，因為它是集體智慧的結晶.與教師交談，了解到這兒老師每天上課的時間，大概占了80%的時間，國內大概50%的時間.老師之間，即使同一學科的，彼此之間的業(yè)務交流都非常少.教師本身的資質，決定他們都能夠勝任他們的崗位.美國對中學數學教師資質的認證有嚴格的程序，遠比我們高，大學的寬進嚴出，決定了高質量的師資隊伍.我們完善的職后教師培訓體制，使我們教師專業(yè)水平和教學能力的提高成為終生學習的重要組成部分.

4多樣化教材的建設

目前美國中學數學教材基本是分科：代數、幾何和概率統(tǒng)計.訪學期間仔細翻閱了《Algebra 2》，編的很綜合，強調知識內容的聯系.比如y=kx+b這樣一個表達式，我們教材對這個問題的研究，肯定是從二元一次方程開始，然后到平面直角坐標系，再到一次函數，最后是直線的方程，按照這種順序，從方程到函數，再到方程與直線.一開始，強調它是表示現實問題的數學模型，研究它的解法，然后引進坐標系，通過變量等概念，指出它又是描述變化規(guī)律的數學模型——函數，最后從方程的角度研究它，它是一條直線.現在看到的這套教材的處理方式是，先說它的幾何表示，由點的坐標到直線，把它與形緊密結合起來，把它直觀化，逐步過渡到直線.這種處理方式，突出數形結合，雖然不系統(tǒng)、不完備，但是學生印象很深，容易把數量關系與空間形式有機結合起來.

這個簡單的例子促使自己思考，除了教材的系統(tǒng)性、完備性之外，我們是不是可以做一些改革步伐大、極具特色的教材？當前我們的教材版本雖然不少，但是同質化非常嚴重，彼此之間的差異不大.作為課程教材研究機構，我們需要在這方面進行有益的嘗試.

總之，經濟、社會發(fā)展的巨大差異，特別是人口、資源和環(huán)境的天壤之別，以及文化的不同，決定了中美數學教育之間沒有太多可比性.但是他們的一些做法，對于我們有借鑒意義，值得我們學習和思考.