☉上海市松江一中 李志成

基于PCK淺談信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用*

☉上海市松江一中 李志成

一、概念綜述

1.PCK介紹

這一概念最早是由斯坦福大學(xué)教授Shulman（美國(guó)教育研究會(huì)主席）提出的，他認(rèn)為構(gòu)成教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)有7類，其中的“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”逐步成為教師知識(shí)的重心與核心.學(xué)科教學(xué)知識(shí)是“Pedagogical Content Knowledge”（簡(jiǎn)稱為PCK）的翻譯，也有些研究者將其翻譯成“教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”或者“學(xué)科教育知識(shí)”.其內(nèi)涵是指所教的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)與教育學(xué)知識(shí)的有機(jī)融合，針對(duì)具體要教的內(nèi)容所使用的教學(xué)方法和教學(xué)策略.學(xué)科教學(xué)知識(shí)包含四個(gè)成分：學(xué)科知識(shí)、一般教學(xué)法知識(shí)、關(guān)于學(xué)生的知識(shí)和關(guān)于學(xué)習(xí)情境的知識(shí).

2.信息技術(shù)

凡是能擴(kuò)展人的信息功能的技術(shù)，都是信息技術(shù).可以說，這就是信息技術(shù)的基本定義.它主要是指利用電子計(jì)算機(jī)和現(xiàn)代通信手段實(shí)現(xiàn)獲取信息、傳遞信息、存儲(chǔ)信息、處理信息、顯示信息、分配信息等的相關(guān)技術(shù).計(jì)算機(jī)技術(shù)與現(xiàn)代通信技術(shù)一起構(gòu)成了信息技術(shù)的核心內(nèi)容.人們獲取信息的途徑有很多，可以直接從生產(chǎn)、生活、科研活動(dòng)中收集和獲取信息，也可以從網(wǎng)絡(luò)、電視、廣播、報(bào)刊雜志等獲取間接的信息.其中計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上收集和獲取信息是極其重要的一條途徑.

本文研究信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用，信息技術(shù)與課程整合絕不是簡(jiǎn)取地將信息技術(shù)與課程進(jìn)行功能上的疊加，也不僅僅是把信息技術(shù)作為技術(shù)手段在課程層面的應(yīng)用，而是如何將信息技術(shù)實(shí)際地融入課程的有機(jī)整體中，使其成為整體不可缺少的部分，或成為一個(gè)新的統(tǒng)一體.

二、課堂實(shí)錄及設(shè)計(jì)說明

為了更好地說明信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)用的特點(diǎn)及作用，我們選擇“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的第一課時(shí)為例.

1.學(xué)情了解，教材分析

“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的前一個(gè)知識(shí)是“圓”，是運(yùn)用“曲線和方程”理論解決二次曲線問題的又一實(shí)例.它是對(duì)前面所學(xué)的運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次演練，同時(shí)它也是研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ).

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識(shí)，在教師的合理引導(dǎo)下學(xué)生有獨(dú)立探究有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力.但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度也較淺，思維上會(huì)存在障礙.特別是缺乏數(shù)形結(jié)合能力，不善于簡(jiǎn)化平面幾何問題.

在教學(xué)上本課以多媒體和演示板作為教學(xué)手段，教師應(yīng)用好自己的專業(yè)知識(shí)，找好橢圓定義及橢圓方程相關(guān)課件，以學(xué)生為主體，結(jié)合自己的學(xué)科知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考并自己學(xué)習(xí)分析.課堂上使用多媒體輔助教學(xué)與自制教具相結(jié)合的信息技術(shù)應(yīng)用方案，實(shí)現(xiàn)多媒體形象、大容量的優(yōu)勢(shì)，既突出了知識(shí)的產(chǎn)生過程，又增加了課堂的趣味性.體現(xiàn)學(xué)生是一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極探索的個(gè)體，盡可能增加學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的思維空間.

2.視頻引入，激發(fā)興趣

（1）展示神舟十號(hào)相關(guān)視頻資料（如圖1），并演示飛船飛行動(dòng)畫，由此引出橢圓.從課堂上的表現(xiàn)可以看出，學(xué)生對(duì)上課伊始就看圖片和視頻動(dòng)畫很感興趣，注意力迅速集中到課堂.

圖1

（2）生活中，你見過哪些形狀是橢圓，你能舉出實(shí)例嗎？（繼續(xù)用圖片展示，特別展示一些生活中常見的橢圓圖片，如圖2）.學(xué)生各種歡樂的回答，迅速帶動(dòng)了課堂氣氛.

圖2

請(qǐng)學(xué)生觀看橢圓相關(guān)的圖片和動(dòng)畫，以及舉出所看到有關(guān)橢圓的實(shí)例，目的是使學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)能得到進(jìn)一步加深，同時(shí)在學(xué)生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個(gè)不同的幾何圖形.通過動(dòng)畫演示也會(huì)更加形象生動(dòng)，能引起學(xué)生的興趣.

3.動(dòng)畫演示，定義歸納

（1）利用課前準(zhǔn)備好的圖釘和細(xì)繩合作畫圖，請(qǐng)兩名同學(xué)到黑板上演示畫圖過程（做法：用圖釘穿過準(zhǔn)備好的無彈性細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并且把圖釘固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng)，直至畫出一條曲線）.因?yàn)檎伊藘蓚€(gè)負(fù)責(zé)認(rèn)真的同學(xué)，所以課堂上畫出的橢圓比較標(biāo)準(zhǔn)，而且費(fèi)時(shí)較少.

（2）再通過演示幾何畫板動(dòng)畫，點(diǎn)B是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以定點(diǎn)F1、F2為圓心，|AB|、|BC|為半徑作圓，如圖3，觀察兩圓交點(diǎn)M的軌跡.引導(dǎo)學(xué)生探求橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，并從直觀上認(rèn)識(shí)橢圓.

此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，可以鍛煉學(xué)生的合作能力，并使學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中對(duì)于橢圓上點(diǎn)的性質(zhì)深刻理解.利用課件的動(dòng)畫操作演示，使橢圓定義更加形象生動(dòng)，學(xué)生更易接受.這樣，讓學(xué)生加深對(duì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的體會(huì)，為下一個(gè)環(huán)節(jié)得到“橢圓的定義”做準(zhǔn)備的同時(shí)，也鍛煉學(xué)生從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化能力.

圖3

（3）動(dòng)畫輔助，歸納定義.

師：橢圓上的點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？

生：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).

師：那么能不能說，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓？

生：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，才是橢圓.

師：還有補(bǔ)充嗎？先來觀察一個(gè)動(dòng)畫，如圖4.

圖4

學(xué)生通過課件觀察隨著F1、F2距離的改變，軌跡的變化情況.從而發(fā)現(xiàn)：

2a＞|F1F2|時(shí)，軌跡是橢圓；

2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是線段|F1F2|；

2a＜|F1F2|時(shí)，無軌跡.

師：橢圓應(yīng)如何定義？

生：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.

這一環(huán)節(jié)，學(xué)生通過對(duì)動(dòng)畫的觀看和操作，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時(shí)，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.教師利用自己已有的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，提前做好動(dòng)畫，幫助和引導(dǎo)學(xué)生更好地理解了橢圓的定義.

4.推導(dǎo)方程，展示成果

本環(huán)節(jié)主要目的是通過學(xué)生獨(dú)立建立直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)方程，從中選擇比較簡(jiǎn)潔的形式確定為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是本節(jié)課的第二個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，講授時(shí)，教師讓學(xué)生自主探究、分組討論，教師在這個(gè)過程中加以引導(dǎo).

師：要想得到橢圓的方程，首先要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，如何建立坐標(biāo)系呢？

方案1：以F1、F2所在的直線為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

方案2：以F1、F2所在的直線為y軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

教師首先肯定了學(xué)生的方案的正確性，然后請(qǐng)學(xué)生求出在方案1所建立的坐標(biāo)系下橢圓的方程（在這里規(guī)定線段AC的長(zhǎng)度為2a，線段F1F2的長(zhǎng)度為2c），匯報(bào)結(jié)果.按照方案1得到的方程為對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行進(jìn)一步化簡(jiǎn).而化簡(jiǎn)這個(gè)方程是本節(jié)課的難點(diǎn)所在，其關(guān)鍵是怎樣去掉等式中的根號(hào)，通過以下兩個(gè)問題來突破難點(diǎn).

師：化簡(jiǎn)含有根號(hào)的等式時(shí)，我們通常采用什么方法？對(duì)于本式是直接平方好呢，還是恰當(dāng)?shù)卣碇笤倨椒胶媚兀?/p>

生：這個(gè)方程直接平方不利于化簡(jiǎn)，而整理后再平方比較簡(jiǎn)潔.

通過學(xué)生自己計(jì)算化簡(jiǎn)，最后得到橢圓的方程為（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

教師打開投影儀，請(qǐng)幾名學(xué)生上臺(tái)展示演算過程并講解，全班一起從中選出最優(yōu)方法.

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)環(huán)節(jié)，教師已有對(duì)平方相關(guān)知識(shí)的儲(chǔ)備，通過問答和展示學(xué)生成果，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)精神.學(xué)生的上臺(tái)講解，既能提高學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)，又能提高他們的語(yǔ)言表達(dá)能力，更是學(xué)生相互教育和相互學(xué)習(xí)的一種重要途徑.教師利用自己的教育專業(yè)知識(shí)和心理學(xué)知識(shí)，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓更多的學(xué)生參與到課堂中，也是PCK知識(shí)應(yīng)用的一個(gè)表現(xiàn).

5.例題講解，提高效率

例1下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？

（2）9x2-25y2-225=0；

（3）-3x2-2y2=-1；

注意：分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，反之亦然.

例2寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10

變式1：將上題焦點(diǎn)改為（0，-4）、（0，4），結(jié)果如何？

變式2：將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？

例3寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析：（法一）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，如圖5，

因?yàn)閏=2，且c2=a2-b2，所以4=a2-b2.①

圖5

聯(lián)立①②可求得a2=10，b2=6.

由橢圓的定義知，

又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：

（1）首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（先定位）.

（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a、b（后定量）.

6.練習(xí)小結(jié)，動(dòng)畫輔助

（1）已知△ABC的一邊BC長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程

（2）一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生的學(xué)習(xí)即可以延伸到課下，動(dòng)畫的設(shè)計(jì)可以使學(xué)生清晰記憶動(dòng)點(diǎn)軌跡，增強(qiáng)直觀性，從而使兩圓相切這一思維難題得到了更好的解決.

三、分析總結(jié)

教師利用自己已有的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，有意識(shí)地制作多媒體課件及教具，充分利用多媒體手段，以輕松愉快的動(dòng)畫演示，化抽象為形象，創(chuàng)設(shè)了直觀的課堂教學(xué)效果，化解了知識(shí)的難點(diǎn).借助信息技術(shù)的應(yīng)用，希望對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的建立、心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用.筆者以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，基于PCK的相關(guān)知識(shí)簡(jiǎn)要分析信息技術(shù)在高中課堂中的應(yīng)用.

1.有利于課堂中數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)情境的設(shè)計(jì)在高中課堂中有很多體現(xiàn)，比如引入環(huán)節(jié)，比如某些抽象性概念或者嚴(yán)密的過程推理等內(nèi)容，學(xué)生往往難以理解，無法準(zhǔn)確把握，導(dǎo)致教學(xué)很難達(dá)到預(yù)期的效果.

如果不借助于教師的學(xué)科專業(yè)知識(shí)，不借助于信息技術(shù)，學(xué)生往往無法激發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，難以形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí).信息技術(shù)作為理想的數(shù)學(xué)教學(xué)情境設(shè)計(jì)工具，可以運(yùn)用演示動(dòng)畫進(jìn)行圖文并茂的情境教學(xué)，教師可以利用自己的學(xué)科專業(yè)知識(shí)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)模擬軌跡的形成過程來描述復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象關(guān)系，使學(xué)生更容易地理解數(shù)學(xué)抽象知識(shí)的形成和發(fā)展過程，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，給學(xué)生提供了更多親自參與實(shí)踐的機(jī)會(huì)，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

2.有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取

多媒體提供的圖形、視頻、動(dòng)畫等多種類型的信息能給予學(xué)生多種感官的刺激，根據(jù)科學(xué)理論，外部刺激是產(chǎn)生學(xué)習(xí)的前提條件，刺激有利于學(xué)生在認(rèn)知過程中對(duì)信息進(jìn)行加工，有利于加工過程各階段的強(qiáng)化，有利于新知識(shí)體系的建構(gòu).

信息技術(shù)還可應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)?zāi)M和難點(diǎn)突破，從而更容易獲取知識(shí)，更有效的學(xué)習(xí).例如，高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與幾何部分正好是難點(diǎn)，教師對(duì)這兩部分知識(shí)的講解，學(xué)生由于各種原因無法直觀獲取，抽象的理解使學(xué)習(xí)大打折扣.如果教師能利用自己掌握的學(xué)科知識(shí)和信息技術(shù)，借助FLASH或幾何畫板等軟件，設(shè)計(jì)制作課件，即幫助學(xué)生克服這一難題，更快更易鞏固掌握知識(shí).

另外，網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用也是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的又一大途徑.教師可以利用自己的知識(shí)，建立QQ群、博客、空間、微信等交流平臺(tái)，在課后繼續(xù)同學(xué)生探討數(shù)學(xué)問題，學(xué)生之間也可以借助這些工具進(jìn)行討論，師生還可以在里面共享自己的信息.學(xué)生在課內(nèi)課外都能進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，不僅有助于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，而且從某種程度上還能促進(jìn)師生關(guān)系的良性發(fā)展.

3.有利于課堂效率的提高

高效的課堂教學(xué)要求教師備好課，合理安排好各個(gè)環(huán)節(jié)，有大容量的教學(xué)內(nèi)容.而眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)少不了板書、作圖等常規(guī)的教學(xué)手段，容量有限.一節(jié)課的時(shí)間是有限的，如果常規(guī)手段占據(jù)了太多時(shí)間，就沒辦法分出太多時(shí)間供學(xué)生練習(xí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容與練習(xí)量不成正比非常不利于學(xué)生的學(xué)習(xí).信息技術(shù)在課堂中的應(yīng)用可以把教師從一些重復(fù)勞動(dòng)中解放出來，使其有更多的時(shí)間投入到概念講解、解題分析和方法指導(dǎo)上.借助信息技術(shù)，教師可以對(duì)一些難點(diǎn)問題，把畫面定格，在某一位置進(jìn)行分析、歸納，運(yùn)算推理，再通過必要的板書或板演充分地展現(xiàn)給學(xué)生，既省時(shí)又省力，從而大大提高教學(xué)效率.

4.有助于教師教學(xué)水平的促進(jìn)

隨著網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)的發(fā)展和成熟，基于因特網(wǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)特別適合學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，但網(wǎng)絡(luò)只是工具，學(xué)習(xí)方面應(yīng)用的關(guān)鍵在教師，教師需熟練掌握教材及網(wǎng)絡(luò)方面的應(yīng)用.作為教學(xué)中的指導(dǎo)者，教師是信息技術(shù)應(yīng)用成功與否的關(guān)鍵因素.所以教師必須先完善自己的學(xué)科專業(yè)知識(shí)，掌握了扎實(shí)的信息技能和專業(yè)知識(shí)，就能在教學(xué)上不斷進(jìn)步并促進(jìn)學(xué)生高效地學(xué)習(xí).

對(duì)教師而言，要改善教學(xué)效果，必須提高自身的素養(yǎng)及教學(xué)工具.由于信息的社會(huì)化程度高，作為高中數(shù)學(xué)教師，就要讓學(xué)生邊學(xué)邊用，而自己也需要不斷學(xué)習(xí)，成為學(xué)生的“合格導(dǎo)師”.教師在使用多媒體技術(shù)的過程中，需要應(yīng)用某些教學(xué)軟件，而這些軟件的使用就需要教師有較為良好的計(jì)算機(jī)使用技能.因此，教師在這一過程中，其信息技術(shù)的操作技能也得到了進(jìn)一步的提高.

另外，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，各種網(wǎng)上教育交流平臺(tái)的建立，為各地的教師提供了更多的交流機(jī)會(huì).各地優(yōu)秀教師的工作經(jīng)驗(yàn)在網(wǎng)上都可以得到共享，先進(jìn)的教學(xué)思想教學(xué)理念及教學(xué)方法可以在網(wǎng)上得到共贏.

當(dāng)然，信息技術(shù)在高中課堂的應(yīng)用雖給數(shù)學(xué)教育帶來了許多有利的改變，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了更多的選擇，但在實(shí)際的課堂教學(xué)應(yīng)用過程中，仍存在不少問題，如有些教師片面追求信息技術(shù)，忽視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的探討，忽視學(xué)生的主體能動(dòng)性的發(fā)揮.所以，我們要重視學(xué)生的主體性，也要重視教師的學(xué)科專業(yè)知識(shí)，重視這些專業(yè)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.F

*上海市松江區(qū)立項(xiàng)課題《基于PCK的高三數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究》（編號(hào)：B1379）.