譯者按 懷爾德（Raymond L.Wilder， 1896.11.3 - 1982.7.7），美國(guó)著名拓?fù)鋵W(xué)家，曾任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)（AMS）主席（1955-1956）和美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）主席（1965 -1966）。受其好友也是他女兒的導(dǎo)師、著名人類學(xué)家懷特（Leslie A. White）的影響，逐步產(chǎn)生了對(duì)哲學(xué)、人類學(xué)的興趣。從20世紀(jì)50年代起，在長(zhǎng)達(dá)三十年的時(shí)間里，他一直致力于把數(shù)學(xué)描繪成一個(gè)進(jìn)化的文化體系。本文是作者應(yīng)邀在1950年召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上所作的大會(huì)報(bào)告。在這篇報(bào)告中，懷爾德提出了數(shù)學(xué)一部分是文化的產(chǎn)物的觀點(diǎn)。他試圖把社會(huì)科學(xué)，特別是人類學(xué)、社會(huì)學(xué)和歷史學(xué)的方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)上。數(shù)學(xué)知識(shí)被視為一種集體財(cái)富，也即本質(zhì)上是一種公共知識(shí)，懷爾德的文化進(jìn)路的核心正是這種公共知識(shí)的增長(zhǎng)和交流。懷爾德關(guān)注的是把數(shù)學(xué)描繪成遵循文化進(jìn)化的普遍原理，更強(qiáng)調(diào)文化環(huán)境對(duì)數(shù)學(xué)的更一般的影響，而未涉及數(shù)學(xué)進(jìn)化的內(nèi)部因素。除發(fā)表數(shù)學(xué)文化的一系列論文和演講外，懷爾德還撰寫了“數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化：初步的研究”（The Evolution of MathematicalConcepts： an Elementary Study。Wiley，New York，1968）和“作為文化體系的數(shù)學(xué)”（Mathematics as以Cultural System，Pergamon，Oxford，1981）兩部專著。在這些后續(xù)著作中，懷爾德進(jìn)一步完善了他的數(shù)學(xué)文化觀，并且作了更加系統(tǒng)的闡述。他提出數(shù)學(xué)是由“遺傳力量”和“環(huán)境力量”共同作用而處于不斷發(fā)展和變化之中的文化系統(tǒng)。懷爾德的數(shù)學(xué)文化思想被大部分致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的哲學(xué)家所忽視。只有當(dāng)哲學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義產(chǎn)生懷疑并轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗(yàn)主義之后，他們才開(kāi)始認(rèn)識(shí)到懷爾德思想的哲學(xué)意義。一旦我們致力于數(shù)學(xué)實(shí)踐，我們就會(huì)承認(rèn)：如同其他任何復(fù)雜的人類活動(dòng)一樣，數(shù)學(xué)是文化的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)實(shí)踐，易受到內(nèi)部和外部的壓力，是不斷進(jìn)化的。肖運(yùn)鴻譯。

我想，在世紀(jì)過(guò)半之際召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，花點(diǎn)時(shí)間從整體上考察一下數(shù)學(xué)應(yīng)該是合適的。在各種會(huì)議和專題討論會(huì)上發(fā)表的講話和論文，一般關(guān)注的是數(shù)學(xué)的特殊領(lǐng)域或分支。本篇報(bào)告的目的，可謂跳出數(shù)學(xué)的圈子以期獲得一個(gè)新視角。從抽象的哲學(xué)角度，對(duì)數(shù)學(xué)已經(jīng)有了大量的研究，數(shù)學(xué)也從這些研究中受益——盡管數(shù)學(xué)家們對(duì)這些哲學(xué)的看法是比較持懷疑態(tài)度的。越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家正致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。其中許多是男性數(shù)學(xué)家，他們因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)而贏得敬重。其中一些人在不同程度上把自己的理論當(dāng)作教條來(lái)看待，而彼此對(duì)立的理論支持者們之間有時(shí)又會(huì)發(fā)生激烈的爭(zhēng)論。這不免使人懷疑，難道沒(méi)有一些更高明的觀點(diǎn)，讓人們更客觀公正地審視此類問(wèn)題。

如今，普遍認(rèn)為人類正處于糟糕的狀態(tài)，因?yàn)樗堰^(guò)多的精力投入到專業(yè)技能上，而對(duì)自身的研究卻少得可憐。在文明的早期，人類研究了天文學(xué)和其它自然科學(xué)，連同這些學(xué)科隱含的數(shù)學(xué)在內(nèi)。但是，對(duì)于諸如解剖學(xué)這樣的學(xué)科，人類卻不易保證客觀。就具有隱私性的個(gè)體而言，人自身似乎被認(rèn)為是不可觸摸的。事實(shí)上，僅在我們這個(gè)時(shí)代，諸如心理學(xué)那樣更個(gè)人化的學(xué)科得到了適當(dāng)?shù)淖鹬?。但是，在人類整體行為的研究方面我們卻沒(méi)什么進(jìn)步。顯然可以歸于以下原因：

（1）無(wú)法把群體和個(gè)體的行為區(qū)分開(kāi)來(lái)；

（2）盡管普通人勉強(qiáng)愿意被外科醫(yī)生解剖，或由精神病醫(yī)生進(jìn)行分析，但是諸如國(guó)家、教會(huì)、俱樂(lè)部等這些決定其價(jià)值觀的群體組織卻仍然被認(rèn)為是不可觸摸的，這是事實(shí)。

幸運(yùn)的是，正如解剖學(xué)家最終可以接觸死刑犯的尸體，人類學(xué)家也可以接觸澳大利亞、太平洋島、非洲和美國(guó)等地的原始部落。在過(guò)去的50年間，人類學(xué)家在人類群體行為的研究方面有了巨大的進(jìn)步，因?yàn)樗麄兪褂昧酥档脛澣胱匀豢茖W(xué)的無(wú)感情色彩的、客觀的方法，而不是諸如歷史學(xué)這樣的社會(huì)研究法。也許，文化概念的發(fā)展以及文化力的研究可列為人類精神的最高成就之一。這個(gè)概念盡管受到非議，但是近幾年來(lái)還是得到了長(zhǎng)足的應(yīng)用。不僅心理學(xué)家、精神病專家和社會(huì)學(xué)家應(yīng)用它，而且那些意在加強(qiáng)海外勢(shì)力的政府也已認(rèn)可。各種各樣的人類苦難都是起源于對(duì)文化的忽視。例如，殖民地人民的遭遇以及美洲印第安人受到的控制。

現(xiàn)在我提出文化這個(gè)概念，并不打算把它作為解決所有數(shù)學(xué)問(wèn)題的藥方。但我相信，只有承認(rèn)數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ)，才能對(duì)它的本質(zhì)有更好的理解。此外，還可以對(duì)各種問(wèn)題特別是有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問(wèn)題提供啟示。我并不是說(shuō)它可以解決這些問(wèn)題，而是說(shuō)它不僅顯示出可以期待有多少種答案，而且能夠指出獲得這些答案的途徑。此外，我們業(yè)已相信并且將之歸于某種模糊的“直覺(jué)”的許多事情，在文化的基礎(chǔ)上獲得了真正的合法性。

為完整起見(jiàn)，首先我將大致解釋一下這個(gè)概念。顯然，它與以“K”來(lái)拼讀的文化（Culture），或者與來(lái)自頂尖大學(xué)的學(xué)位，或者上流社會(huì)的內(nèi)涵無(wú)關(guān)。文化就是由一群人，如原始部落或北美人，所具有的習(xí)慣、禮儀、信仰、用具等等可稱之為文化元素的集合。一般而言，它不是固定不變的，而是因時(shí)而變，形成所謂的“文化流”。它代代相傳，形成一個(gè)外表充滿活力的傳統(tǒng)體系。在控制力方面，它比希特勒之于納粹德國(guó)更加專斷；事實(shí)上，在一些原始部落，每一種行為，甚至于諸如日常的穿衣吃飯，都有規(guī)定的儀式。許多人類學(xué)家將文化視為一個(gè)有其自身發(fā)展規(guī)律的超級(jí)有機(jī)體。實(shí)際上，大部分人類學(xué)家似乎都把文化本身視為一個(gè)事物，而不必參照擁有它的群體或個(gè)體（除了某些目的之外）。

作為文明人，我們很少思考我們?cè)诙啻蟪潭壬媳晃幕刂埔灰晃覀儼炎约旱脑S多行為都視為是自然的。但是，如果你向一個(gè)普通的美國(guó)男人建議他應(yīng)該戴耳環(huán)，那么當(dāng)你挨打后從地上爬起來(lái)的時(shí)候，就應(yīng)該考慮一下剛剛被挨打的原因。難道是因?yàn)樗谝郧暗哪硞€(gè)日子就已決定了，每當(dāng)有人建議他戴耳環(huán)時(shí)他就要向那人的鼻子揮以一拳？當(dāng)然不是。那是因?yàn)槊绹?guó)的文化使然。因此，他總是說(shuō)，他所做的是一件很自然的事情。然而，在有些社群里，諸如納瓦霍人、普偉布洛和亞馬遜部落，男人戴耳環(huán)卻是件自然的事情。實(shí)際上，我們所謂的人之天性只不過(guò)是這樣一些文化特性的集合。納瓦霍人的人之天性無(wú)疑與霍屯督人不同。

作為數(shù)學(xué)家，我們共同享有所謂“數(shù)學(xué)的”那部分文化。我們受之影響，反之我們也影響它。作為個(gè)體，我們吸收文化的一部分。通過(guò)老師、雜志、書(shū)籍、諸如今天這樣的會(huì)議以及我們的同事，我們與文化接觸。通過(guò)對(duì)所吸收的那部分進(jìn)行綜合，我們對(duì)文化的發(fā)展作出自己的貢獻(xiàn)。

如今，把數(shù)學(xué)看作文化元素并不時(shí)髦。人類學(xué)家已經(jīng)這樣做。但是，由于他們的數(shù)學(xué)知識(shí)一般而言非常有限，他們通常所做的只是對(duì)原始文化中所發(fā)現(xiàn)的算術(shù)種類進(jìn)行零散的評(píng)注。然而，有一個(gè)例外。三年前，有一個(gè)叫懷特（L.A.White）的人類學(xué)家發(fā)表了一篇題為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)之軌跡”的文章。它受到了各種數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家表述的有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的表面上似乎相互矛盾的思想的啟發(fā)。于是，哈代（G.H.Hardy）提出了一個(gè)信條：“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)在我們外部，我們的作用是發(fā)現(xiàn)它或觀察它，我們所證明的并被我們夸張為我們的創(chuàng)造的定理僅僅是我們觀察的記錄。”另一方面，布里奇曼（P.W. Bridgman）提出了一種觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)是人類的發(fā)明，這一點(diǎn)是最純粹的真實(shí)，是稍微觀察一下就能發(fā)現(xiàn)的事實(shí)。”這些陳述盡管表面上互不兼容，但當(dāng)它們得到合適的解釋時(shí)就不是這樣了。就數(shù)學(xué)是我們文化的一部分而論，正如哈代（Hardy）所言，它“在我們外部?！本臀幕静淮嬖?，它是人類思維的產(chǎn)物而論，正如布里奇曼（P.W. Bridgman）所言，數(shù)學(xué)是“人類的發(fā)明”。

作為一門知識(shí)體系，數(shù)學(xué)不是我知、你知或任何個(gè)人所知道的東西：它是我們的文化、我們集體財(cái)富的一部分。隨著時(shí)間的流逝，我們可能會(huì)把我們個(gè)人對(duì)它的一些貢獻(xiàn)遺忘掉。盡管我們會(huì)健忘，但這些貢獻(xiàn)仍將保留在文化流之中。正如許多其它文化元素的情形一樣，自從牙牙學(xué)語(yǔ)起我們就接受數(shù)學(xué)的教育，并從一開(kāi)始給留下了我們所稱的“絕對(duì)真理”的印象。其真實(shí)性的意義和類別或許就像原始人對(duì)待神靈和儀式那樣。例如，埃爾米特（Hermite）似乎就是這樣認(rèn)為的。根據(jù)阿達(dá)瑪（ Hadamard）的觀點(diǎn)，埃爾米特說(shuō)：“我們是數(shù)學(xué)的仆人而不是主人；”在致柯尼西貝格（Konigsberger）的一封信中又說(shuō)道：“這些分析的概念不依賴于我們而存在，”“它們構(gòu)成一個(gè)整體，只向我們顯露了一部分，雖然毫無(wú)疑問(wèn)它與我們通過(guò)感覺(jué)所認(rèn)識(shí)的其它事物的整體有著神秘的聯(lián)系?！憋@然，埃爾米特意識(shí)到到了他為之作出諸多貢獻(xiàn)的文化流的強(qiáng)有力的影響。

在其名著“西方的沒(méi)落”（Der Untergang des Abendlandes）中，斯賓格勒（O. Spengler）以很長(zhǎng)的篇幅討論了數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其在他的文化有機(jī)論中的重要性。受該著的影響，凱塞爾（C.J.Keyser）發(fā)表了有關(guān)數(shù)學(xué)作為文化線索的一些觀點(diǎn)，包括對(duì)這個(gè)論題的解釋和辯護(hù)：“在任何主流文化中，其數(shù)學(xué)的類型是文化整體不同特征的線索或鑰匙?！睌?shù)學(xué)是文化的一部分，它受到其賴于創(chuàng)立的文化的影響。從這點(diǎn)來(lái)看，我們可以期待發(fā)現(xiàn)二者之間的關(guān)系。然而，關(guān)于它為文化提供了一把多好的鑰匙，我不發(fā)表意見(jiàn)；其實(shí)，它是人類學(xué)家回答的問(wèn)題。因?yàn)槲幕渲脑?，特別地支配著數(shù)學(xué)，所以，對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，從這種觀點(diǎn)去考察它們的關(guān)系似乎會(huì)更有效。

讓我們花幾分鐘時(shí)間考察一下數(shù)學(xué)史。我承認(rèn)我對(duì)此知之甚少，因?yàn)槲也皇菤v史學(xué)家。然而，我總是想到，歷史學(xué)家在撰寫數(shù)學(xué)史的時(shí)候，他會(huì)時(shí)常面臨該包括哪些素材的問(wèn)題。為了作出一個(gè)更清楚的案例，讓我們假設(shè)有一個(gè)假想的人A開(kāi)始撰寫一部綜合史，希望把所有可得到的數(shù)學(xué)史素材全都包括進(jìn)去。顯然，他將不得不采用一些素材而拋棄另一些素材。顯而易見(jiàn)，他的選擇標(biāo)準(zhǔn)必須依賴于哪些是構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識(shí)。如果我們所指的是給數(shù)學(xué)下定義，當(dāng)然他的任務(wù)是毫無(wú)希望的。雖然已經(jīng)有了很多定義，但是沒(méi)有一個(gè)被接受。從數(shù)量上來(lái)看，可以期望，每一個(gè)有自尊心的數(shù)學(xué)家都會(huì)給后人留下一個(gè)數(shù)學(xué)的定義。因此，我猜想，我們假想的數(shù)學(xué)家A將不僅受到他的文化中稱之為數(shù)學(xué)的影響，這些數(shù)學(xué)存在于現(xiàn)存的歷史（以前撰寫的）和被稱之為“數(shù)學(xué)的”著作中；而且也受到由所謂的數(shù)學(xué)家們發(fā)表的那類東西的影響。于是，他將承認(rèn)我們業(yè)已表述過(guò)的，數(shù)學(xué)是他的文化的某個(gè)部分，并由此受到影響。

例如，假設(shè)A是一個(gè)生活在1200年（500年或1500年也一樣）的中國(guó)歷史學(xué)家。他將收錄有關(guān)籌算和解方程的大量素材；但是象歷史上希臘人所理解的那樣的幾何學(xué)卻一片空白，僅僅是因?yàn)樗鼪](méi)有融人到他的文化中的數(shù)學(xué)里去。另一方面，如果A是一個(gè)生活在公元200年的希臘人，他的數(shù)學(xué)史就會(huì)有豐富的幾何內(nèi)容，但是關(guān)于代數(shù)或者甚至有關(guān)中國(guó)人使用的籌算的內(nèi)容卻很少。但如果A是一個(gè)當(dāng)代人，他將收錄幾何與代數(shù)，因?yàn)樗鼈兪俏覀兎Q為數(shù)學(xué)的一部分。然而，我想知道他對(duì)邏輯學(xué)會(huì)怎么辦呢？

盡管希臘人依賴于邏輯演繹，盡管諸如萊布尼茨（Leibniz）和帕斯卡（Pascal）這樣的數(shù)學(xué)家為其貢獻(xiàn)了很多時(shí)間，這是事實(shí)，但是這門學(xué)科在數(shù)學(xué)史中并沒(méi)有什么地位。作為一個(gè)嘗試，我拜讀了本世紀(jì)兩位很著名的歷史學(xué)家博爾（Ball）和卡約黎（Cajori）的著作，它們都寫于1900年前不久。在博爾的著作第一版（1888）的索引中，根本沒(méi)有提到“邏輯”；但在第四版（1908）中，在“符號(hào)邏輯與數(shù)理邏輯”條目下有一條單獨(dú)的引文，經(jīng)證實(shí)這是關(guān)于喬治·布爾（ GeorgeBoole）的一個(gè)偶然注記的引證，其大意是他“是符號(hào)邏輯或數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人之一”。于是符號(hào)邏輯被勉強(qiáng)擠在線下是因?yàn)椴紶柺且粋€(gè)數(shù)學(xué)家！在卡約黎的著作第一版（1893）的索引中，在“邏輯”條目下有四個(gè)引文，都是文中的偶然注記。在第二版（1919）中，這些引文沒(méi)有再出現(xiàn)，在“邏輯”條目下的索引只有三個(gè)引文（其中兩個(gè)也是“符號(hào)邏輯”條目下僅有的引文），它們也僅在文中的簡(jiǎn)短注記中出現(xiàn)。然而，通過(guò)對(duì)正文的檢查發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)理邏輯”的標(biāo)題下差不多有四頁(yè)的內(nèi)容，盡管這個(gè)學(xué)科在索引中沒(méi)有任何引文，在“邏輯”和“符號(hào)邏輯”條目下也沒(méi)有被引。（盡管在索引中沒(méi)有任何引文，但是到了1919年，這個(gè)學(xué)科的重要性似乎足以使之進(jìn)入數(shù)學(xué)史的素材?。?/p>

我懷疑在關(guān)于過(guò)去50年的數(shù)學(xué)史中，類似的情形是否很普遍。我所熟悉的關(guān)于這一時(shí)期的唯一一部這樣的數(shù)學(xué)史，是貝爾（Bell）的“數(shù)學(xué)的進(jìn)化”。翻到該著的索引，我發(fā)現(xiàn)關(guān)于“邏輯”的引文多得我不想去數(shù)它們。特別地，關(guān)于他所稱的“數(shù)理邏輯”的進(jìn)化，貝爾至少花了25頁(yè)的篇幅。是否有這樣一種可能，這門學(xué)科在1900年盡管有了皮亞諾（Peano）及其同事的開(kāi)創(chuàng)性工作，但還沒(méi)有被視為我們文化的一部分，而現(xiàn)在其地位已如此之高以致任何一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的公正定義都必須擴(kuò)展到足以把它納入進(jìn)去。

雖然數(shù)學(xué)史傾向于傳記體的方式，但是現(xiàn)在一般也會(huì)注意到文化力的影響。例如，博爾在關(guān)于文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)這一章的開(kāi)頭，就指出了印刷機(jī)的引入帶來(lái)的影響。在最近出版的的歷史著作，即在已經(jīng)提及的貝爾的著作和斯特洛依克（Struik）的兩卷本的優(yōu)秀小冊(cè)子中，證據(jù)尤其明顯。例如，斯特洛依克在序言中就表達(dá)了這樣的遺憾：由于受篇幅所限，沒(méi)有充分涉及數(shù)學(xué)在某個(gè)時(shí)期達(dá)到成熟或者被扼殺時(shí)的文化與社會(huì)的整體環(huán)境。他繼續(xù)說(shuō)道：“數(shù)學(xué)受到了農(nóng)業(yè)、商業(yè)和制造業(yè)，軍事、工程與哲學(xué)，物理學(xué)與天文學(xué)的影響。（在本書(shū)中），只指出了流體力學(xué)對(duì)函數(shù)論的影響，康德哲學(xué)和測(cè)量對(duì)幾何學(xué)的影響，電磁學(xué)對(duì)微分方程的影響，笛卡爾哲學(xué)對(duì)力學(xué)的影響，經(jīng)院哲學(xué)對(duì)微積分的影響。但是，只有把所有這些決定因素都考慮進(jìn)去，才能理解數(shù)學(xué)這門課程及其內(nèi)容?！痹谠摃?shū)第三章，斯特洛依克對(duì)希臘數(shù)學(xué)的興起提出了富有啟發(fā)性的解釋，他把希臘數(shù)學(xué)與當(dāng)時(shí)的文化環(huán)境聯(lián)系起來(lái)。我希望將來(lái)的數(shù)學(xué)史同樣能更多關(guān)注作為文化元素的數(shù)學(xué)，更加強(qiáng)調(diào)它與根植其中的文化二者之間的聯(lián)系。

在討論一般的文化概念時(shí)，我尚未提到文化變遷的兩個(gè)主要過(guò)程，即進(jìn)化與傳播。所謂傳播，是指由于人類群體的某種接觸而導(dǎo)致的一種文化特征從一種文化向另一種文化的轉(zhuǎn)移。例如，隨著諾曼底人（對(duì)英格蘭）的軍事征服，法國(guó)人的語(yǔ)言和習(xí)俗被傳播到盎格魯·撒克遜人的文化中。至于我們所稱的文化進(jìn)步有多少是由進(jìn)化所致，有多少是由傳播所致，或有多少是二者結(jié)合所致，通常是難以確定的，因?yàn)檫@兩個(gè)過(guò)程高度融合在一起。例如，考察一下計(jì)數(shù)法。人類學(xué)家稱之為一種普遍的特征一而我在與數(shù)學(xué)家交談的時(shí)候，寧愿稱之為文化不變量一在每一種文化中至少可以找到它的初級(jí)形態(tài)。數(shù)基可能是10，12，20，25，60，所有這些都很普遍，顯然是由其它（變量）文化元素所決定的——但是，正如直覺(jué)主義者所言，計(jì)數(shù)法本質(zhì)上是一個(gè)不變量。如果我們考察更先進(jìn)的文化，某個(gè)時(shí)候就出現(xiàn)了零的概念。正如人類學(xué)家克羅伯（A.L.Kroeber）所指出的，零的概念至少產(chǎn)生于三種人類文明，如：新巴比倫人（使用60進(jìn)制）、瑪雅人（使用20進(jìn)制）、印度人（十進(jìn)制起源于他們）。在他的人類學(xué)中，他稱（零的概念的產(chǎn)生）為“文明的里程碑”。極端傳播論者試圖把它們聯(lián)系起來(lái)，但尚未成功。待他們成功之時(shí)，我們就可以推測(cè)，在任何的文化中終究都可以產(chǎn)生出零的概念。

在這里，中國(guó)與日本的數(shù)學(xué)是令人感興趣的。顯然，正如三上義夫（Mikami）和其它人所指出的，中國(guó)人從印度人那里學(xué)到了零的概念。至少早在公元1世紀(jì)，他們之間就有接觸，這是通過(guò)傳播而引入的一個(gè)例子。但是，即使沒(méi)有這樣的接觸，零也可能在中國(guó)數(shù)學(xué)中產(chǎn)生出來(lái)，主要是因?yàn)樗麄円呀?jīng)使用了算籌。從另外一個(gè)立場(chǎng)來(lái)看，中國(guó)數(shù)學(xué)也是令人感興趣的。其發(fā)展似乎更多是由其在自身文化的內(nèi)部的進(jìn)化而導(dǎo)致的，而傳播的影響甚微。數(shù)世紀(jì)以來(lái)，它是沿著狹隘的算術(shù)和代數(shù)方向發(fā)展的，而沒(méi)有如希臘人所發(fā)展的幾何學(xué)的跡象。17和18世紀(jì)的日本數(shù)學(xué)家可以欣喜地求解高達(dá)3000或4000次的方程，那時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)已經(jīng)通過(guò)傳播過(guò)程進(jìn)入日本。這或許為那些認(rèn)為不從傳播中受益的文化終將停滯不前的人提供了某種證據(jù)。有人會(huì)想：假如巴比倫人的零和位值制方法被融入到希臘數(shù)學(xué)中，那將發(fā)生什么一難道這意味著希臘數(shù)學(xué)將會(huì)轉(zhuǎn)向代數(shù)？它被傳人中國(guó)當(dāng)然沒(méi)有產(chǎn)生什么效果，只是對(duì)已有的計(jì)算傾向稍有推動(dòng)。

普遍承認(rèn)，希臘數(shù)學(xué)不僅是產(chǎn)生小亞細(xì)亞地區(qū)文化的進(jìn)化和傳播的自然產(chǎn)物，而且是與希臘文化的其它元素相伴出現(xiàn)的。希臘文化不僅有助于在希臘產(chǎn)生的那種數(shù)學(xué)，而且也可能阻礙了希臘數(shù)學(xué)與巴比倫人的計(jì)數(shù)法的融合。因?yàn)檎缒承┤苏J(rèn)為的那樣，即使某些希臘學(xué)者知道了巴比倫人的計(jì)數(shù)法，他們也并不清楚它的價(jià)值。

我們熟悉印度一阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)文化的傳播方式，它通過(guò)非洲到達(dá)西班牙，再進(jìn)入西歐文化。經(jīng)歷了停滯不前的時(shí)代之后，解析幾何、微積分誕生了，數(shù)學(xué)的洪流滾滾而來(lái)。這一時(shí)期數(shù)學(xué)文化的發(fā)展是一個(gè)令人著迷的課題，有待文化史學(xué)家去研究。對(duì)大量“巨人”突然登場(chǎng)所作的簡(jiǎn)單化的解釋，事實(shí)上已被所有人類學(xué)家所拋棄。造就“偉人”的必要條件是具備合適的文化環(huán)境，包括機(jī)遇、外部動(dòng)力和原料。誰(shuí)會(huì)懷疑希臘潛藏著偉大的代數(shù)學(xué)家？然而，雖然希臘具備了機(jī)遇和外部動(dòng)力，但其文化原料中卻并沒(méi)有合適的符號(hào)機(jī)制。人類學(xué)家拉爾夫·林頓（Ralph Linton）評(píng)論道：“數(shù)學(xué)天才只能從其文化中的數(shù)學(xué)知識(shí)業(yè)已到達(dá)之處繼續(xù)前進(jìn)。因此，假如愛(ài)因斯坦出生在一個(gè)計(jì)數(shù)不超過(guò)3的原始部落，那么即使他終身應(yīng)用數(shù)學(xué)也不可能使他超越基于手指和腳趾的十進(jìn)制制?！贝送?，證據(jù)也強(qiáng)烈支持所述條件的充分性：就是說(shuō)，合適的文化環(huán)境必然造就出偉人。如果你的哲學(xué)依賴于自由意志的臆斷，那么你就可能接受這一點(diǎn)。因?yàn)槟愕囊庵井?dāng)然沒(méi)有比表述意志的機(jī)會(huì)更自由；今晚你可能去月球走一遭，但你做不到。這間房子里有可能正坐著偉大的布蘭科顱相學(xué)家。但是，如果果真如此，那么他們就注定永遠(yuǎn)都將默默無(wú)聞，也不會(huì)有什么發(fā)展，因?yàn)椴继m科顱相學(xué)至今還不是我們的文化元素。

斯賓格勒這樣寫道：“我們沒(méi)有去這里或去那里的自由，但是有做必然之事或什么都不做的自由。具有歷史必然性的事件將由個(gè)人或其對(duì)手所完成?！笔聦?shí)上，當(dāng)文化或文化元素發(fā)展到準(zhǔn)備要作重要變革的時(shí)候，后者可能在多個(gè)地點(diǎn)出現(xiàn)。一個(gè)經(jīng)典的例子就是生物進(jìn)化論，它先由斯賓塞（Spencer）所預(yù)言。即使不是由達(dá)爾文（Darwin）來(lái)宣布，也將會(huì)由華萊士（Wallace）或之后不久由其它人來(lái)宣布。其它大多數(shù)情形也和本例一樣。在數(shù)學(xué)中你可以回想出許多這樣的例子。事后，通過(guò)本領(lǐng)域有關(guān)人物的蛛絲馬跡，人們可以回顧并描繪該理論的進(jìn)化。

為什么今天這么多人會(huì)獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)；為什么數(shù)學(xué)在過(guò)去的50年碩果累累？由我們的前輩、大學(xué)、協(xié)會(huì)、基金會(huì)、圖書(shū)館等等奠定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工作提供了獨(dú)特的機(jī)遇、動(dòng)力和文化原料。此外，進(jìn)化和傳播的過(guò)程也極大加快了。在近來(lái)的活動(dòng)中，這兩者中的后者起了更大的作用。因?yàn)楸娝苤?，在過(guò)去50年中，不同的數(shù)學(xué)分支之間出現(xiàn)了許多出人意料的融合。在過(guò)去的30年間，影響數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)最不尋常的文化因素就是，德國(guó)、波蘭及其它國(guó)家的杰出數(shù)學(xué)家移民到了美國(guó)。對(duì)數(shù)學(xué)不同分支感興趣的人集中到了一起，為了他們的共同利益來(lái)探討如何把這些分支融合在一起。新的分支往往都產(chǎn)生于這樣的會(huì)議。過(guò)去50年間的數(shù)學(xué)文化史將古希臘、中國(guó)和西歐的數(shù)學(xué)融合在一起。這令人信服地說(shuō)明，沒(méi)有哪個(gè)分支可以永遠(yuǎn)孤立地發(fā)展下去而不最終達(dá)到一種靜止?fàn)顟B(tài)。

對(duì)數(shù)學(xué)的傳播來(lái)說(shuō)，或許沒(méi)有任何一種工具比期刊更重要。如果研究的結(jié)果沒(méi)有充分的機(jī)會(huì)發(fā)表和合適的傳播，數(shù)學(xué)的進(jìn)步就會(huì)遭到嚴(yán)重的阻礙。任何借期刊阻止國(guó)際交流的做法，例如對(duì)使用不廣的語(yǔ)言加以限制，無(wú)疑是反數(shù)學(xué)的行為。因?yàn)榻裉斓臄?shù)學(xué)是國(guó)際性的，這已是老生常談。

這促使我們考察一下符號(hào)。因?yàn)樗^數(shù)學(xué)的國(guó)際性特征，在很大程度上歸結(jié)于業(yè)已實(shí)現(xiàn)的符號(hào)

或者考察一下這個(gè)論題，所有數(shù)學(xué)都可以從某些似乎可看成原始的或普遍的邏輯原理和方法推導(dǎo)出來(lái)?！霸嫉摹被颉捌毡榈摹碧卣鱽?lái)自哪里呢？如果這些術(shù)語(yǔ)暗示了，這些原理就像計(jì)數(shù)法一樣也有著文化不變量的基礎(chǔ)，那么就應(yīng)該指出，文化的存在是沒(méi)有任何合法性的，即使是以定性的非符號(hào)化的形式。例如，在包含神秘元素（這些元素成為某些原始文化的相當(dāng)重要的組成元素）的文化中，矛盾律是失效的。此外，認(rèn)為我們的思維形式是文化不變量的信念不再保留。作為一個(gè)著名哲學(xué)家，約翰·穆勒（John S.Mill）說(shuō)：“語(yǔ)法的原理和規(guī)則是為了使語(yǔ)言形式與思維的普遍形式相一致而制定的工具?！比绻吕帐煜びW之外的其它語(yǔ)系，他就不會(huì)犯如此的錯(cuò)誤。例如，特羅布里恩島人沒(méi)有因果的思維模式；他們的語(yǔ)言就沒(méi)有包含表達(dá)事件相互關(guān)系的方法。正如馬林諾夫斯基（Malinowski）所指出的，這些人沒(méi)有關(guān)于此事與彼事前后相繼的概念，時(shí)間上的先后順序是不重要的。（然而，康德的追隨者們應(yīng)注意到他們會(huì)數(shù)數(shù)）但我?guī)缀鯖](méi)必要對(duì)此再嘮叨。正如盧卡塞維茨（Lukasciewiez）和其他人所注意到的，甚至連亞里士多德也沒(méi)有像后來(lái)的邏輯學(xué)家那樣對(duì)排中律表達(dá)敬意！就此而論我想做的就是指出：我相信，在文化的基礎(chǔ)上我們確立了對(duì)數(shù)理邏輯學(xué)家們正普遍接受之物的信心；即，如《數(shù)學(xué)原理》中這樣的材料，其意義和有效性與其它純形式系統(tǒng)是完全一樣的。

下列說(shuō)法可能是合理的：由數(shù)理邏輯學(xué)家構(gòu)想且目前正在研究的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在文化的基礎(chǔ)上得到了極大的支持。因?yàn)榫湍軌虼嬖诘暮鸵呀?jīng)存在的不同文化、不同思維形式、以致不同的數(shù)學(xué)而言，似乎不可能認(rèn)為數(shù)學(xué)如我已指出的那樣，它不是人工的、也沒(méi)有比其它文化特征更多的必然性或真理性。例如，數(shù)學(xué)存在性問(wèn)題訴諸任何的數(shù)學(xué)信條都永遠(yuǎn)不能得到解決。的確，除了與特殊的基礎(chǔ)理論有關(guān)外，它們沒(méi)有任何的有效性。例如，關(guān)于選擇集的存在性問(wèn)題，對(duì)直覺(jué)主義者和對(duì)形式主義者而言是不一樣的。直覺(jué)主義者可以有理由聲稱“象連續(xù)統(tǒng)這樣的問(wèn)題是不存在的”，假如他補(bǔ)上“對(duì)直覺(jué)主義者而言”——否則他就是在胡扯。由于其文化基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)就沒(méi)有絕對(duì)的事物，只有相對(duì)的。

但是，我們不應(yīng)被這些因素所誤導(dǎo)而草草作出如下的結(jié)論：我們文化中的數(shù)學(xué)的組成成分是完全任意的。例如，它可以定義為“p蘊(yùn)含q的科學(xué)”，或者公理系統(tǒng)的科學(xué)。盡管文化群體中的個(gè)體允許有一定程度上的變異性，但它同時(shí)易受到他的文化的控制。作為個(gè)體的數(shù)學(xué)家可以隨心所欲地和公理系統(tǒng)打交道，但是只有當(dāng)它們與他的文化中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)聯(lián)系在一起時(shí)，它們才能被視為習(xí)以為常。類似的紐帶，雖然沒(méi)有這么明顯，也將數(shù)學(xué)和其它文化元素連在一起。我們不能忽視這些紐帶以及將我們每個(gè)人與各自的數(shù)學(xué)興趣連在一起的紐帶，即使我們想這樣做。它們可能非常公開(kāi)地施加影響，正如最近，數(shù)學(xué)家們都投身于高速計(jì)算機(jī)，或者投身于發(fā)展其它新的前所未見(jiàn)的數(shù)學(xué)，它們都是由于我們文化中的戰(zhàn)爭(zhēng)需要的刺激而產(chǎn)生的。或者它們的影響也可以是隱蔽的，正如由文化導(dǎo)致了某些數(shù)學(xué)習(xí)慣并且在反應(yīng)上已經(jīng)達(dá)到了符號(hào)反射的水平。因此，雖然公理法可能成為建立理論的最普遍接受的模式，但是務(wù)必慎重使用；否則，所建立的理論就不是作為我們文化的數(shù)學(xué)成分一部分的數(shù)學(xué)。

但是，我該結(jié)束我的評(píng)論了。研究一下時(shí)尚和文化模式在數(shù)學(xué)中的印跡是令人感興趣的。這些對(duì)數(shù)學(xué)家或人類學(xué)家來(lái)說(shuō)可能是令人感興趣的研究主題?？梢栽O(shè)想，還能為該領(lǐng)域?qū)?lái)的可能課程提供一些線索。然而，我將發(fā)表一個(gè)簡(jiǎn)短的結(jié)論：

在人類的各種文化中，都發(fā)現(xiàn)了某些所謂“數(shù)學(xué)的”文化元素。在人類文明的早期，一種文化與另一種文化的差異如此之大，以致在一種文化中的所謂“數(shù)學(xué)”卻在其它文化中幾乎得不到認(rèn)可。隨著傳播的擴(kuò)大，這首先是由于探險(xiǎn)和發(fā)明，其次是由于合適符號(hào)的應(yīng)用的增加及其后來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)化，以及在期刊中的傳播，除了微小的文化差異外，如意大利注重幾何，法國(guó)注重函數(shù)論，最先進(jìn)文化中的數(shù)學(xué)元素逐步融合在一起，直至產(chǎn)生了所有文明文化共有的、本質(zhì)上一致的所謂“數(shù)學(xué)”的元素。然而，這并不是固定不變的，而是經(jīng)常遭到改變。并非所有的變化都標(biāo)志著新素材的增加；由于有影響的文化變遷，有些變化是材料的脫離，不再被認(rèn)為是數(shù)學(xué)。例如，有些所謂“分界線”的著作就難以放在數(shù)學(xué)之內(nèi)或數(shù)學(xué)之外。

19世紀(jì)后半葉，數(shù)的概念擴(kuò)充到超限數(shù)，大約在世紀(jì)之交產(chǎn)生了某些矛盾。結(jié)果，在過(guò)去的50年間，關(guān)于基礎(chǔ)問(wèn)題的研究得到了加強(qiáng)，并伴隨著數(shù)理邏輯的巨大發(fā)展。旨在數(shù)學(xué)真理的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)或者固定的數(shù)學(xué)方法而尋求令人滿意的基礎(chǔ)理論，就此而論似乎注定要失敗，因?yàn)槌姓J(rèn)數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ)就不得不承認(rèn)其可變的和不斷發(fā)展的特征。然而，象其它文化特征那樣，數(shù)學(xué)并不是數(shù)學(xué)家個(gè)體完全任意的構(gòu)造，因?yàn)閿?shù)學(xué)家個(gè)體在表面上自由的創(chuàng)造中，受到他所處時(shí)代的數(shù)學(xué)現(xiàn)狀和發(fā)展方向的制約。正是后者決定了當(dāng)時(shí)什么才是“重要的”。

相應(yīng)地，數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和發(fā)展方向是由數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部文化力的總的綜合體所決定的。在過(guò)去的50年間，引人注目的外部作用力就是主要文化正在渡過(guò)的危機(jī)。這些作用力促使大批數(shù)學(xué)家從西歐移民到美國(guó)。在諸如應(yīng)用數(shù)學(xué)的某些分支的新方向的確立或者原有方向的加速發(fā)展上，由于數(shù)學(xué)思想的傳播和交流，他們建立了新的聯(lián)系。

下一個(gè)50年將會(huì)帶來(lái)什么，因能力所限我無(wú)法預(yù)測(cè)。斯賓格勒在他的《西方的沒(méi)落》一書(shū)中斷言：就群體來(lái)看，西方數(shù)學(xué)作出了“最后的、決定性的創(chuàng)造”，又在題為“數(shù)的意義”的第二章結(jié)尾寫道：“偉大數(shù)學(xué)家的時(shí)代已經(jīng)一去不復(fù)返了。我們今天的任務(wù)是保存，加工，提煉和選擇——而不是充滿活力的偉大創(chuàng)造，就如希臘晚期亞歷山大數(shù)學(xué)所作的靈巧而精細(xì)的工作那樣。”該書(shū)出版于1918年-32年前——他說(shuō)得正確與否，留待你去判斷。如今，處于數(shù)學(xué)活動(dòng)中心的那些國(guó)家分成兩個(gè)對(duì)立陣營(yíng)的危險(xiǎn)，似乎不可能長(zhǎng)久持續(xù)下去而導(dǎo)致兩種不同的數(shù)學(xué)文化的出現(xiàn)——盡管在其它領(lǐng)域，例如植物學(xué)，這種分裂似乎正在發(fā)生。然而，作為數(shù)學(xué)家我們就像植物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家或農(nóng)民一樣，易受到文化力的影響，不同文化的長(zhǎng)久分離會(huì)導(dǎo)致個(gè)性的變化，這不會(huì)不反映在我們的數(shù)學(xué)行為中。讓我們期待，數(shù)學(xué)在50年后的世紀(jì)之交就像今天一樣，仍然是一個(gè)活躍的、獨(dú)特的文化力，仍然具有思想的自由傳播，這是發(fā)展和活力的主要決定因素。