劉 忠， 肖靜宇

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

均布荷載作用下四邊簡支單向筒芯空心樓蓋彈性分析*

劉 忠*， 肖靜宇

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

針對單向筒芯空心樓蓋兩個方向變截面剛度的問題，采用剛度均勻化的方法將空心薄板比擬成正交異性板.計算四邊簡支條件下，正交異性矩形薄板在豎向均布荷載作用下的撓度值，并分析在不同參數(shù)情況下板的撓度變化.可以得出：在一定范圍內(nèi)，板中心點處的撓度值隨著順筒方向筒間距的增加以近似線性的趨勢減??；撓度值隨著筒直徑的增大而逐漸增加，且增速由慢到快；隨著板厚的增加，撓度值減小速度由快到慢.

空心樓蓋；平均剛度；正交異性板；四邊簡支；撓度

樓蓋體系是建筑結(jié)構(gòu)的重要組成部分，為了更好地滿足建筑中高樓層、大跨度、多隔墻等特點，最大限度自由地進(jìn)行空間布置，就需要更經(jīng)濟(jì)合理的樓蓋形式出現(xiàn)在建筑中.單向筒芯內(nèi)?？招臉巧w是現(xiàn)澆空心樓蓋中的一種，即在現(xiàn)澆鋼筋混凝土樓蓋中采用埋芯成孔工藝，在樓蓋內(nèi)每隔一定距離放置圓形高強薄壁復(fù)合管，孔道是單向的，然后澆筑混凝土而成.其質(zhì)量輕、高度小、整體性好等性能可以更好地滿足當(dāng)代建筑要求.

一直以來學(xué)者們對空心樓蓋的理論分析開展了大量研究工作.1994年,青島建筑工程學(xué)院曲慶璋等通過經(jīng)典彈性理論求解出正交各向異性矩形薄板線彈性彎曲的一般解析解[1]；2001年，東南大學(xué)呂志濤院士、張繼文教授提出了變剛度雙向板內(nèi)力的能量法計算[2]；2003年，王茂、楊建軍提出了用虛擬交叉梁分析法分析現(xiàn)澆鋼筋混凝土空心無梁樓蓋[3]；2004年，張華剛、馬克儉等提出了空心板樓蓋的連續(xù)化分析方法[4]；2008年，管品武、唐國斌通過構(gòu)造比擬正交異性板法來計算空心樓蓋變形和內(nèi)力[5].

針對單向筒芯空心樓蓋兩個方向變截面剛度的問題，本文通過剛度均勻化的方法將空心薄板比擬成正交異性板.計算四邊簡支條件下，正交異性矩形薄板在豎向均布荷載作用下的撓度值，并分析在不同的參數(shù)(板厚，管端間距，筒直徑)情況下板中心點處的撓度變化.

1 基本假定、基本方程及求解

1.1 基本假定

單向筒芯內(nèi)?？招臉巧w[6]由于其筒芯及間肋的存在，導(dǎo)致兩個方向的剛度是變化的.這種結(jié)構(gòu)均勻化處理后的剛度在相互垂直的兩個方向上有所不同，造成構(gòu)造上的各向異性，實質(zhì)上是一種正交各向異性的矩形薄板.本文以不考慮剪切變形影響的經(jīng)典薄板理論[9]為基礎(chǔ)進(jìn)行討論，其基本假設(shè)如下：

(1) 位移變形是微小的，板的中平面不發(fā)生變形，即忽略板內(nèi)的薄膜力(板平面內(nèi)的軸力)，只考慮板受彎.

(2) 板變形后，法線仍為垂直于板中面的直線，即忽略板內(nèi)垂直于板平面方向的剪切應(yīng)力.

(3) 板中各個平行層間不擠壓，即忽略板內(nèi)垂直于板平面方向的正應(yīng)力.

(4) 在一般情況下，與結(jié)構(gòu)尺寸相比，距離微小的構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，其相鄰構(gòu)件間應(yīng)力、變形差異很小，可以作連續(xù)化處理.

(5) 板內(nèi)筒芯存在區(qū)域，截面的變化近似按線性處理.

1.2 基本方程與邊界條件

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]可知，正交異性板的撓曲微分方程為：

(1)

式中，H=D1+2Dk，為正交異性板折算剛度；Dx，Dy為薄板在彈性主方向的抗彎剛度；Dk為薄板在彈性主方向的抗扭剛度.

對于四邊簡支的矩形薄板，其中長為L，寬為B，當(dāng)薄板的彈性主向與邊界平行，坐標(biāo)軸如圖3所示.

(2)

當(dāng)空心樓蓋為四邊簡支時，利用納維法求解方法，求得方程(1)的解為：

(3)

可以滿足上述關(guān)于撓度和彎矩的邊界條件.

當(dāng)薄板受均布荷載時，q成為常量q0，可導(dǎo)出

(4)

1.3 剛度的均勻化

單向筒芯內(nèi)?？招臉巧w中圓形空心管在平面上的單向排列，使得板在縱、橫兩個方向上的截面是變化的，但由于這種變化是有規(guī)律的重復(fù)，可以用平均剛度來反映這種變截面的剛度[13].

一般所指的正交異性板，其特點是結(jié)構(gòu)材料在X和Y兩個方向的彈性性質(zhì)不同，如以彈性性質(zhì)的對稱面作為坐標(biāo)面，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系[12]為：

(5)

根據(jù)經(jīng)典彈性薄板理論，截面的應(yīng)變和撓度關(guān)系為：

(6)

根據(jù)式(5)，(6)積分可得空心樓蓋橫筒和順筒方面單元段的內(nèi)力：

(7)

(8)

肋梁的扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力關(guān)系為：

(9)

式中Jbw和Jbf分別為橫筒、順筒方向肋梁抗扭慣性矩.同理,對公式(9)進(jìn)行積分可得：

(10)

在公式H=D1+2Dk中：D1=(Dx1+Dx2)/2,2Dk=(Dkx+Dky)/2.

在空心板的橫肋與縱肋的截面處，其截面特征同實心板的截面相同，所以對一單元段截面：

(11)

由上可導(dǎo)出截面平均剛度：

(12)

式中:ν為泊松比；E為混凝土的彈性模量；G為混凝土的簡變模量.

對于簡支薄板來說，最大撓度發(fā)生在板的中心，即x=L/2，y=B/2，代入(4)可得：

(13)

由于上述級數(shù)收斂較快，可取其前四項進(jìn)行計算：m=1，n=1，3；m=3，n=1，3.

(14)

將式(12)代入式(14)中進(jìn)行相關(guān)撓度的計算.

2 結(jié)果分析

結(jié)合式(4)和式(12)可知：當(dāng)板的尺寸為B=4 m，L=5 m時，取x=2.5 m，順筒方向板中線處隨坐標(biāo)值Y變化的撓度值如圖4所示；取y=2.5 m，橫筒方向板中線處隨坐標(biāo)值X變化的撓度值如圖5所示.可知，在彈性階段順筒方向撓度值變化的趨勢較橫筒方向較快.

當(dāng)板的尺寸為B=4m，L=4m時，根據(jù)式(4)可得板的坐標(biāo)-撓度立面圖[8].可知：在均布荷載q=4.4 kN/m作用下四邊簡支正交異性板的變形圖近似漏斗狀，四邊撓度值為零，距離中心點越近，撓度值越大，并且在中心點處取得最大值wmax=0.545 69 mm.

從圖6可看出板中心點處的(即x=2 m，y=2 m)撓度值最大，本文取板的中心點進(jìn)行分析.利用上述公式計算在不同荷載作用下板中心點的撓度值，與試驗值[7]對比，驗證本文用正交異性板法對單向筒芯空心樓蓋進(jìn)行力學(xué)分析的可靠性.其中當(dāng)荷載為q=4.4 kN/m時，計算得到撓度值w=0.542 mm.

從圖7可以看出：在彈性階段不同荷載作用下的四邊簡支正交異性板的撓度曲線與實驗值有一定的吻合，說明用正交異形板法進(jìn)行單向筒芯空心樓蓋的力學(xué)分析有一定的可靠性.

從圖8～10中可以觀察到：在彈性階段，隨著筒端間距、筒直徑及板厚的增大，板中心點處撓度值依次隨之減小、增大、減小.從圖8中可以觀察到：當(dāng)管端間距控制在50～400mm范圍時，隨著筒端間距的增加，空心板中心點的撓度值以近似線性的趨勢減小，故隨管端間距增加，在一定程度上減少了板撓度值.從圖9可以看出,當(dāng)增大筒直徑時，空心板中心點處的撓度值以近似二次曲線的趨勢增加，增長速度越來越快，當(dāng)筒直徑超過80mm時，撓度值增速明顯加快.因此，單向筒芯空心樓蓋隨著筒直徑的增加，空心板中心點處撓度值增速由慢到快.由圖10可知，當(dāng)板厚在80～180mm范圍內(nèi)，隨板厚的增加，空心板中心點處撓度值減小速度由快到慢；當(dāng)空心板厚超過160mm時(接近筒直徑的兩倍)，撓度值變化較慢.因此，當(dāng)單向筒芯空心樓蓋筒芯直徑接近板厚的一半時達(dá)到最優(yōu)值.

3 小 結(jié)

以經(jīng)典薄板理論為基礎(chǔ)，采用剛度均勻化的方法將空心薄板比擬成正交異性板，進(jìn)行均布荷載作用下四邊簡支單向筒芯空心樓蓋的彈性分析，得到如下結(jié)論：

(1) 在彈性階段，單向筒芯空心樓板順筒方向撓度值變化的趨勢較橫筒方向較快.板中心點處的撓度值與所受豎向均布荷載呈線性關(guān)系.

(2) 隨著管端間距、筒直徑及板厚的增大，板中心點處撓度值也依次隨之減小、增大、減小.

(3) 當(dāng)管端間距控制在一定范圍內(nèi)時，板中心點處的撓度值以近似線性的趨勢減小，在一定范圍內(nèi)增加管端間距對減小板的撓度值有較好的效果.

(4) 單向筒芯空心樓蓋隨著筒直徑的增加，板中心點處的撓度值以近似二次曲線的趨勢增加，撓度值增速由慢到快.

(5) 隨板厚的增加，空心板中心點處撓度值減小速度由快到慢；當(dāng)空心板厚接近筒直徑的兩倍時，撓度值變化較慢.因此，當(dāng)單向筒芯空心樓蓋直徑接近板厚的一半時達(dá)到最優(yōu)值.

[1] 曲慶璋，梁興復(fù)，章權(quán)．正交各向異性矩形板彎曲問題的一般精確解[J]．青島建筑工程學(xué)院學(xué)報，1994,15(2)：53-59.

[2] 張繼文，呂志濤．變剛度雙向板內(nèi)力的能量法計算[J]．工業(yè)建筑，2001，31(12)：73-75.

[3] 王茂，楊建軍．現(xiàn)澆鋼筋混凝土空心無梁樓蓋的虛擬交叉梁分析法[J]．長沙鐵道學(xué)院學(xué)報，2003，21(2)：40-45.

[4] 張華剛，馬克儉．現(xiàn)澆鋼筋混凝土空心板樓蓋的連續(xù)化分析[J]．空間結(jié)構(gòu)，2004，10(4)：12-15.

[5] 管品武，唐國斌．正交異性板法分析現(xiàn)澆混凝土空心樓蓋[J]．四川建筑科學(xué)研究，2008，34(6)：58-60.

[6] 邱則有．現(xiàn)澆混凝土空心樓蓋[M]．中國建筑工業(yè)出版社，2007：103-133.

[7] 程文瀼，江韓．圓管式無柱帽空心無梁樓蓋的試驗研究[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，2004，25(5)：78-84.

[8] 張洪學(xué)，張云龍，白成祥．邊支承現(xiàn)澆空心板設(shè)計計算與軟件實現(xiàn)[J]．建筑結(jié)構(gòu)，2006，36(3)：91-94.

[9] 沈蒲生．樓蓋結(jié)構(gòu)設(shè)計原理[M]．北京：科學(xué)出版社，2003.

[10] 吳家龍．彈性力學(xué)[M]．北京．高等教育出版社，2003.

[11] 劉昭清.雙向筒芯現(xiàn)澆預(yù)應(yīng)力混凝土雙向空心樓板的受力性能研究研究[D]．成都：西南交通大學(xué)，2010.

[12] TAKABATAKE,YANAGISAWA N. A simplified analysis of rectangular cellular plates[J].Int J Solids Structrures,1999,33(14):789-804.

[13] Gee-Cheol, Joo-Won Kang.Calculation of voided slabs rigidities[J].World Academy of Science,Engineering and Technology,2012,6:664-667.

責(zé)任編輯：羅 聯(lián)

The Elastic Analysis of Four-Edge Simple Supported One-Way Cylinder Hollow Floor under Uniformly Distributed Load

LIUZhong*，XIAOJing-yu

(College of Civil Engineering and Mechanics, Xiangtan University, Xiangtan 411105 China)

For an one-way cylinder core hollow floor had different rigidities in two orthogonal directions, this paper converted a circular voided slabs into an equivalent orthotropic by the method of rigidity homogenization. The deflection of the orthotropic rectangular thin plate under uniformly distributed load,with simply supported on four sides was calculated ,and considering different parameters,we can draw a conclusion: in a certain range, the deflection of the plate of the midpoint decreased with increasing cylinder spacing along the tube direction to approximate linear trend; with the increase of tube diameter,the deflection gradually increased,and the increase speed is from slow to fast; with the increase of the thickness,the deflection decreases,and the decrease speed is from fast to slow.

hollow floor；the average stiffness；orthotropic plate；simply supported on four sides；deflection

2015-01-06

劉忠(1961— ),男，湖南 長沙人，博士，教授.E-mail:359328094@qq.com

TU311.1

A

1000-5900(2015)01-0009-05