戴建華,于春龍

（南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210094）

0 引言

在群決策過程中，由于問題的復(fù)雜性、決策時(shí)間的緊迫性和所具備專業(yè)技能的局限性，一些專家可能很難給出某方案的某個(gè)屬性判斷值——評價(jià)信息出現(xiàn)殘缺。對于殘缺判斷矩陣排序問題的研究，目前國內(nèi)外提出的解決方案較多的是基于填補(bǔ)的思想。例如，較早的殘缺判斷矩陣研究者Laarhoven與Pedrycz[1]，他們給出了殘缺三角模糊判斷矩陣的最小二乘排序方法。國內(nèi)以徐澤水、樊治平、姜艷萍[2～4]等為代表，基本也是通過各種方法估算矩陣中的殘缺元素，對殘缺矩陣進(jìn)行補(bǔ)全，進(jìn)而在完整的判斷矩陣上對方案進(jìn)行排序。而不填補(bǔ)殘缺信息，利用現(xiàn)有的評價(jià)信息直接對多屬性方案進(jìn)行排序的研究還比較少，本文嘗試在信息補(bǔ)全的思路之外，結(jié)合前景理論，在不補(bǔ)全信息而直接排序方面進(jìn)行一些探索。

1 相關(guān)概念

1.1 前景理論的涵義

Kahneman和Tversky于1997年提出前景理論[5]，后來發(fā)展成為累積前景理論。前景理論的前景價(jià)值是由價(jià)值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)共同確定的，即：

1.2 殘缺矩陣的描述

其中：α和β分別表示受益和損失區(qū)域價(jià)值冪函數(shù)的凹凸程度[6]，α，β＜1表示敏感性遞減；θ表示損失區(qū)域比受益區(qū)域更陡的特征，θ＞1表示損失厭惡。

（2）決策函數(shù)。

Tversky等給出的決策權(quán)重的公式為[7]：W(Ai)=π(p(Ai))。其中：w為權(quán)重函數(shù)，p為判斷概率，Ai為考慮的事件，π為風(fēng)險(xiǎn)下的概率權(quán)重函數(shù)。判斷概率p(Ai)由決策專家給出，但在某些風(fēng)險(xiǎn)不確定的決策中，判斷概率會(huì)出現(xiàn)違法概率二元互補(bǔ)關(guān)系的情況。因此，在風(fēng)險(xiǎn)決策權(quán)重的分析中，有必要考慮由于決策者對不確定源的偏好及對未知概率事件的判斷所帶來的影響[8]。可有如下函數(shù)獲得權(quán)重函數(shù)[9]：

2 基于前景理論的殘缺矩陣排序方法

2.1 原始判斷矩陣的規(guī)范化處理

對于多準(zhǔn)則決策問題，常見的準(zhǔn)則類型是效益型和成本型。為消除不同物理量綱對決策的影響[10]，決策時(shí)需要對殘缺決策矩陣Ak中的元素進(jìn)行規(guī)范化處理。本文采用[-1,1]線性變換方法對Ak進(jìn)行規(guī)范化處理，令：

其中有殘缺元素的矩陣，上述公式需要做一定的修正。假設(shè)對應(yīng)上述的殘缺判斷矩陣Ak，如上式（4），在準(zhǔn)則uj下，有l(wèi)個(gè)殘缺評價(jià)值，則在計(jì)算時(shí)需將殘缺元素當(dāng)成0，即上述式（5）需修正為：

2.2 正負(fù)理想方案的確定

根據(jù)前景理論，決策者在進(jìn)行決策時(shí)，往往會(huì)根據(jù)某些參考點(diǎn)來衡量決策的收益和損失。本文運(yùn)用TOPSIS方法的思想，令：

則正負(fù)理想方案為：

2.3 前景價(jià)值矩陣的建立

由灰色關(guān)聯(lián)分析方法可知，在專家ek的評價(jià)下，方案xi與正負(fù)理想方案x+和x-關(guān)于準(zhǔn)則uj的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

2.4 最優(yōu)綜合前景值模型的修正

根據(jù)前景理論相關(guān)知識可知，在單個(gè)專家ek的評價(jià)下，如果評價(jià)矩陣中沒有出現(xiàn)殘缺元素時(shí)，方案xi的綜合前景值為正前景值與負(fù)前景值之和，即：

2.5 群體意見下最優(yōu)綜合前景值的計(jì)算及方案排序

3 算例分析

假設(shè)有4個(gè)方案x1，x2，x3，x4，每個(gè)方案有4個(gè)準(zhǔn)則（均為效益型準(zhǔn)則），準(zhǔn)則的權(quán)重為W：

4 結(jié)論

針對多屬性群決策殘缺矩陣的排序問題，本文提出一種基于前景理論的解決方法，在已有評價(jià)信息的基礎(chǔ)上，對方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型進(jìn)行相應(yīng)修正，最終以最優(yōu)綜合前景值對方案進(jìn)行排序。在一定程度上減少了信息填補(bǔ)方法帶來的主觀性，是對群決策排序理論中殘缺信息處理方法的補(bǔ)充。當(dāng)然，盡管本文對評價(jià)矩陣由于殘缺元素的缺失帶來的誤差進(jìn)行了控制，但是該方法的決策精度會(huì)不會(huì)因?yàn)槿笔г財(cái)?shù)目的增多而受影響？殘缺元素的個(gè)數(shù)應(yīng)該控制在怎樣的范圍？本文將對此做相應(yīng)的后續(xù)研究。

[1]Van Laarhoven P J M,Pedrycz W.A Fuzzy Extension of Saaty's Priority Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1983,11(1).

[2]徐澤水.殘缺互補(bǔ)判斷矩陣[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2004,24(6).

[3]Xu Z S.Goal Programming Models for Obtaining the Priority Vector of Incomplete Fuzzy Preference Relation[J].International Journal of A-pproximate Reasoning,2004,36.

[4]姜艷萍,樊治平.基于模糊判斷矩陣的一種方案排序方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),2000,21(4).

[5]Kahneman D,Tversky A.Prospect theory：An Analysis of Decision Under Risk[J].Economica,1979,47(2).

[6]余德建,吳應(yīng)宇等.基于前景理論的信息不完全的區(qū)間型多屬性決策方法[J].軟科學(xué),2011,(3).

[7]Tversky A,Fox C R.Weighting Risk and Uncertainty[J].Psychological Review,1995,102(2).

[8]萬樹平.區(qū)間型多屬性決策的心態(tài)指標(biāo)法[J].控制與決策,2009，(1).

[9]Wu G,Gonzalez R.Curvature of the Probability Weighting Function[J].Management Science,1996,42(12).

[10]徐澤水,達(dá)慶利.區(qū)間排序的可能度法及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2003,18(1).

[11]Tversky A,Kahneman D.Advances in Prospect theory：Cumulative Representation of uncertai-nty[J].J of Risk and Uncertainty,1992,5(4).

[12]李武,岳超源等.最小化序數(shù)偏好距離的多屬性群決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(2).