宋駿琛

SONG Jun-chen

（南京工業(yè)大學，南京 211816）

0 引言

隨著磁軸承技術(shù)的不斷發(fā)展，并以其無磨損、轉(zhuǎn)速高、能效快等特點，已廣泛應(yīng)用于能源、航空等領(lǐng)域。磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子動態(tài)性能的好壞更直接關(guān)系到系統(tǒng)運作的穩(wěn)定性和安全性，所以對其進行動力學分析是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計、特性的研究以及故障時的分析等的關(guān)鍵。在磁軸承轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)的過程中隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)子振幅不斷變大，當達到臨界轉(zhuǎn)速時達到最大值。此時會引起劇烈的共振，從而對操作人員的人身安全和操作過程的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴重的威脅。在磁軸承轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)的過程中，隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)子振幅不斷變大，當達到臨界轉(zhuǎn)速時達到最大值。此時會引起劇烈的共振，從而對操作人員的人身安全和操作過程的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴重的威脅。因此有效控制其工作轉(zhuǎn)速通過臨界轉(zhuǎn)速的動力學研究刻不容緩。通常分析磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的動態(tài)特性包括傳遞矩陣法和有限元法[1]，傳統(tǒng)的傳遞矩陣法編程繁瑣、復(fù)雜、精度低，且對形狀復(fù)雜的模型不具備很有效的運算和分析，尤其是遇到求解高速大型轉(zhuǎn)子的動力學問題時數(shù)值很有可能不穩(wěn)定[2]。而有限元法容易上手，整個操作過程通俗易懂，一目了然，且適用性強，可以有效的在分析環(huán)境不同的狀態(tài)下對分析體的不同零部件做出很形象的振動分析，從中得到有效的結(jié)論來處理科研人員實際操控中的缺陷。文獻[3]以磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)組成及工作原理為基礎(chǔ)，用ANSYS建立模型，采用Subspace法得到了前四階固有頻率和振型，并用錘擊法驗證了上訴分析的可行性和有效性；文獻[4]利用NASTRAN有限元軟件分析了磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性，研究了阻尼參數(shù)變化對性能的影響，識別了磁軸承的動態(tài)特性參數(shù)；文獻[5]使用SolidWorks在有無偏心載荷與偏心質(zhì)量的情況下分別進行了薄膜蒸發(fā)器轉(zhuǎn)子的模態(tài)及穩(wěn)態(tài)不平衡分析，結(jié)果表明偏心對固有頻率影響較小，很有效的為其安全性能提供了監(jiān)測的依據(jù)；文獻[6]采用SISO的模態(tài)參數(shù)識別法，用NASTRAN軟件建立了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的三維有限模型成功獲得了前4階固有頻率與振型，在考慮了懸浮條件下磁軸承剛度及阻尼對系統(tǒng)的影響下，同樣用錘擊法對系統(tǒng)進行了試驗?zāi)B(tài)分析；文獻[7]基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的剛度與阻尼特性的理論建立了用來研究磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的方法，對一個實用型的制氧機的研制進行了驗證。綜上所述，有限元軟件在動力學分析中應(yīng)用廣泛，可以很有效的研究磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性；而ANSYS經(jīng)典等軟件需要很復(fù)雜的命令流以及一定的編程基礎(chǔ)，操作較難。SolidWorks軟件建?？旖荨⒎奖?，結(jié)合COSMOSWorks環(huán)境分析下的有限元法，可以劃分很精密的網(wǎng)格得到很高的精度；自帶的FFE技術(shù)分析時占用內(nèi)存少，時間短，效率高，很巧妙地兼顧到了模型的完整性。故本文以SolidWorks建模結(jié)合內(nèi)置的COSMOSWorks插件為例對磁軸承轉(zhuǎn)子部件做了結(jié)構(gòu)模態(tài)分析。分別考慮了自由狀態(tài)和受迫狀態(tài)下的模態(tài)分析：利用磁懸浮軸承支撐剛度可調(diào)節(jié)的特點分別對柔性和剛性下的兩種約束做出了分析和對比；考慮了離心力、電機扭矩等引起的受迫振動對固有頻率的影響，以達到最優(yōu)動態(tài)特性下的穩(wěn)定懸浮。

1 建立轉(zhuǎn)子模態(tài)方程

轉(zhuǎn)子模態(tài)分析是動力學分析的基礎(chǔ)，也是瞬態(tài)響應(yīng)分析，諧響應(yīng)分析的開始。所以模態(tài)分析質(zhì)量的好壞直接決定整個動力學分析的精度，更是為接下來的動力學分析創(chuàng)造一個良好的開端[7]。這里將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散成為有限個數(shù)的單元體，根據(jù)彈性力學理論，動力學微分方程為：

2 三維模型的建立

使用SolidWorks根據(jù)磁軸承轉(zhuǎn)子二維工程圖的尺寸分別建立磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子、電機轉(zhuǎn)子、飛輪等零件。考慮到轉(zhuǎn)子部件間的材料不同，故不可將整個磁軸承轉(zhuǎn)子視為一體。這里分別完成零件三視圖以后進行無縫無摩擦裝配，彼此間的裝配關(guān)系為過盈配合。忽略分析環(huán)境的影響或者內(nèi)能產(chǎn)生的熱磨損影響，加工精度裝備質(zhì)量的載荷等外界因素的干擾。因為模態(tài)分析的時候倒角、圓角等微小的細節(jié)在接下來零部件接觸的時候不能很順利的符合分析的條件，且劃分網(wǎng)格的時候難于定義，而這些細節(jié)對分析結(jié)果幾乎造成不了誤差，故忽略不計以減少不必要的麻煩[8]。模態(tài)分析必須的材料具備密度、楊氏模量、泊松比三個條件。具體材料分別定義轉(zhuǎn)子材料系數(shù)如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子材料系數(shù)

轉(zhuǎn)子部件三維圖如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子部件三維圖

3 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分是對裝配三維幾何體進行離散化的一個過程。根據(jù)實際運轉(zhuǎn)中可能造成的影響對不同的零件部位施加不同精度的網(wǎng)格。這些網(wǎng)格有長方形、三角形等，為相對小而形狀簡單的有限單元。為了得到較高的分析精度，這里采用二階實體四面體單元。即每個2階四面體單元具有10個節(jié)點（4個角點，6個中間節(jié)點）每個節(jié)點分布三個自由度。劃分網(wǎng)格后單元總數(shù)48518。線性分析下的模態(tài)分析不考慮轉(zhuǎn)子部件彼此間的摩擦與接觸[9]，這里選擇COSMOSWorks自帶的高效率的FFEPlus求解器。

圖2 劃分網(wǎng)格后的轉(zhuǎn)子部件

4 自由模擬算例分析

如上所述本算例分析的目的是求解自由狀態(tài)下的模態(tài)分析，而無阻尼自由振動模態(tài)分析是分析體固有的特性，故無需附加任何載荷，這里重力的因素也忽略不計。但實際操作過程中的模態(tài)分析必須加載約束條件。不同的約束條件會造成很大差異的分析結(jié)果?？紤]到磁軸承支撐的支撐剛度是可以調(diào)節(jié)的，故這里以此為出發(fā)點分別考慮理想狀態(tài)下的剛性和實際運轉(zhuǎn)中的柔性兩種不同狀態(tài)下的情景。

4.1 柔性支承狀態(tài)下的算例模擬

磁懸浮軸承支撐和普通機械軸承支撐相比具有剛度可調(diào)節(jié)優(yōu)勢，實際運轉(zhuǎn)過程中一般為柔性支撐，即彈性支撐。這里磁懸浮軸承起到了剛度和阻尼的作用，即左右磁軸承支撐力不妨可以視為兩個彈簧的彈性阻尼支撐。又因為本算例為自由狀態(tài)，因而忽略阻尼。根據(jù)磁軸承實際工作原理，將彈簧單元定義為外端固定，內(nèi)端自由約束[10]。分析過程中對磁軸承轉(zhuǎn)子部件進行彈性支撐。

圖3 彈性支撐示意圖

圖4 彈性支撐約束

由于實際操作過程中剛度可以靈活調(diào)節(jié)，這里設(shè)軸承座彈性支撐為50N/um，作為典型的柔性狀態(tài)下的支撐。得出的轉(zhuǎn)子振型圖和固有頻率如圖5所示。

圖5 彈性支撐前四階振型圖

表2 基于柔性支撐的前四階固有頻率

為了更完善的分析支承剛度對轉(zhuǎn)子一階固有頻率的影響，這里設(shè)以25N/um為初始狀態(tài)的支承剛度，步長為25N/um依次遞增，研究不同支撐剛度狀態(tài)下一階固有頻率的變化。

表3 支撐剛度小幅度遞增時的一階固有頻率

圖6 支撐剛度小幅度遞增一階固有頻率變化曲線圖

圖中橫坐標設(shè)置的為6個支撐剛度，縱坐標為一階固有頻率。如圖所示，當支撐剛度變化較小時，一屆固有頻率在300Hz～400Hz間逐漸遞增，斜率逐漸變小。

4.2 剛性支承狀態(tài)下的算例模擬

理想狀態(tài)中的剛度視軸承為絕對剛性。這里為了更好地得出支撐剛度對整個固有特性的影響，故考慮剛性狀態(tài)下的情況[11]。軟件操作中將磁軸承轉(zhuǎn)子的圓柱面進行徑向位移約束，這里將模態(tài)坐標下的兩個徑向方向X、Y方向固定。

圖7 剛性支撐約束

添加約束之后選擇運行，結(jié)果如表4所示。

表4 基于剛性支撐的前四階固有頻率

圖8 剛性支撐前四階振型圖

5 受迫模擬算例分析

在轉(zhuǎn)子實際的旋轉(zhuǎn)過程中，由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡及高速旋轉(zhuǎn)時不可避免的離心力，會對轉(zhuǎn)子部件造成受迫振動。同樣的結(jié)構(gòu)在不同應(yīng)力狀態(tài)下或是有無外部載荷的情況下表現(xiàn)出不同的動力學特性。另如上所述，受到的離心力需施加，這里離心力的受力點位于轉(zhuǎn)子質(zhì)心的位置；由于電機的通電才造成轉(zhuǎn)子部件的運作，這里電機定子對電機轉(zhuǎn)子必有一扭矩的作用；轉(zhuǎn)軸在穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時與磁懸浮軸承定子沒有接觸，彼此間電磁力中和，故沒有軸承載荷的作用力。綜上所述，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時的受迫振動主要由離心力、電機扭矩等產(chǎn)生。

圖9 受迫振動下所受外力示意圖

圖10 受迫狀態(tài)柔性支撐前四階振型圖

使用如自由振動下同樣的約束條件也分別在剛性、柔性狀態(tài)下的模擬算例進行分析。

表5 受迫狀態(tài)下基于柔性支撐的前四階固有頻率

圖11 受迫狀態(tài)剛性支撐前四階振型圖

表6 受迫狀態(tài)下基于剛性支撐的前四階固有頻率

5.1 離心力載荷對固有頻率的影響

由于轉(zhuǎn)子材料不統(tǒng)一，形狀不對稱，裝配過程產(chǎn)生誤差等因素，難免會造成轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡的后果，從而產(chǎn)生偏心[12]。轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心會造成不可避免的離心力。即使有很高的加工精度，質(zhì)量不平衡也難于避免。而旋轉(zhuǎn)機械在實際運轉(zhuǎn)狀態(tài)時有保持其旋轉(zhuǎn)方向（旋轉(zhuǎn)軸的方向）的慣性，迫使這種慣性持續(xù)發(fā)生的作用力也是離心力。根據(jù)離心力公式：

其中，F(xiàn)為離心力，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，w為自身旋轉(zhuǎn)角速度。

可得知離心力和角速度、偏心距有關(guān)。且角速度越高，離心力越大。當磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達到一定程度時，不平衡振動的幅值有越過保護氣隙的危險，造成系統(tǒng)失控，甚至嚴重影響動態(tài)性能的安全運作。因此這里從不同角速度下產(chǎn)生的離心力為出發(fā)點，研究其對固有頻率的影響，也是為磁軸承轉(zhuǎn)子動態(tài)性能的提升做出參考。啟用COSMOSWorks環(huán)境下的設(shè)計算例，這里不妨設(shè)初始旋轉(zhuǎn)角速度頻率為300Hz，步長為200Hz，即公差為200的等差數(shù)列單調(diào)遞增。

表7 不同角速度下離心力對一階固有頻率的影響

圖12 不同離心力狀態(tài)下一階固有頻率變化曲線圖

如圖12所示，橫坐標為12個不同設(shè)置情形下的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度，縱坐標為一階固有頻率對應(yīng)的值；表7算出了具體對應(yīng)值的大小。由曲線圖可知在離心力隨著角速度遞增的情況下，一階固有頻率在300Hz～1700Hz的范圍內(nèi)遞增速度很快，1700Hz～2500Hz范圍內(nèi)遞增速度緩慢，趨于平緩，接近臨界值。

5.2 電機扭矩對固有頻率的影響

磁軸承轉(zhuǎn)子在啟動的過程中需要依靠電機扭矩才能正常運轉(zhuǎn)。隨著電機負載的變化，扭矩可以在合理的范圍內(nèi)作出相應(yīng)的調(diào)整。當扭矩達到15Nm時所對應(yīng)的電機功率通常為950w左右。這里以1N.M扭矩為初始值，步長設(shè)為2N.M，分析不同扭矩狀態(tài)下，磁軸承轉(zhuǎn)子一階固有頻率的變化。

表8 不同扭矩狀態(tài)下的一階固有頻率

圖13 一階固有頻率隨扭矩變化的曲線圖

由表8及圖13分析結(jié)果表明，隨著電機扭矩的不斷增大，固有頻率只在393.5Hz該值的左右范圍內(nèi)變動，因此對磁軸承轉(zhuǎn)子一階固有頻率幾乎造成不了影響，只是在特別微小的范圍內(nèi)隨著扭矩的增大，一階固有頻率單調(diào)遞減，由此可以得出扭矩的變化對固有頻率的影響是可以忽略不計的。

6 結(jié)論

1）磁懸浮軸承支承剛度的不同對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階臨界轉(zhuǎn)速影響較大，由本文所分析選取的兩個剛度可以很明顯的看出：支撐剛度是造成轉(zhuǎn)子固有頻率巨大變化的因素之一。因此合適的剛度是精確計算固有頻率的重要因素。

2）柔性支撐狀態(tài)下的約束變形幅度較小，固有頻率的調(diào)整可以通過改變轉(zhuǎn)子軸承支撐剛度的方法有效調(diào)整。一階固有頻率下飛輪變化程度較大，可提升其自身剛度或改變材料系數(shù)避免實際運轉(zhuǎn)時超過一階臨界轉(zhuǎn)速。前三階主要Z-Y平面發(fā)生幅度變化，第四階在Z-X平面形變。振幅主要出現(xiàn)在飛輪及電機轉(zhuǎn)子。

3）剛性支承約束條件下前三階變化幅度主要在飛輪和主軸末端，第四階發(fā)生劇烈形變。說明前三階變化幅度小，第四階驟然大幅度提升。前三階主要為Z-X平面的共振變化，第四階為Z-Y，與柔性狀態(tài)正好相反。

4）剛性條件下的固有頻率比柔性狀態(tài)下的大的多，總體數(shù)值變化上升程度更為厲害。由此可以通過加大支撐剛度的方式來提高臨界轉(zhuǎn)速，以此提升安全性能。

5）當考慮離心力等外力引起的拉伸應(yīng)力的時候，轉(zhuǎn)子固有頻率有逐漸增大的趨勢，且變化幅度較大。

6）隨著角速度的增加，離心力逐漸變大。一階固有頻率隨著轉(zhuǎn)子自身角速度的增大而增大，轉(zhuǎn)速小的狀態(tài)下變化幅度很大，當轉(zhuǎn)速大到一定值的時候趨于平緩，變化幅度小，達到臨界值狀態(tài)。

7）電機扭矩引起的受迫振動對轉(zhuǎn)子一階固有頻率幾乎產(chǎn)生不了影響，故在實際運轉(zhuǎn)中可以忽略扭矩的作用。

8）本文對磁軸承轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析為進一步實現(xiàn)接下來的動力學分析奠定了基礎(chǔ)，也為磁軸承開關(guān)磁阻電機的安全運行提供了監(jiān)測依據(jù)。

[1] 鐘一諤,何衍宗,等.轉(zhuǎn)子動力學[M].北京∶清華大學出版社.1987.

[2] 剛憲約.多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動分析的整體傳遞矩陣法研究[D].大連∶大連理工大學,2002.

[3] 李克雷,謝振宇.基于ANSYS的磁懸浮轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析[J].機電工程,2008,(25)1∶1-3

[4] 張寶強.磁軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型修正及相關(guān)問題研究[D].南京∶南京航空航天大學,2009.

[5] 楊玉強,賀小華.薄膜蒸發(fā)器轉(zhuǎn)子動力學性能的有限元分析[J].機械設(shè)計與制造,2010,(10)∶45-47.

[6] 周瑾,蔡永飛.磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的理論與試驗?zāi)B(tài)分析[J].武漢理工大學學報,2010,32(6)∶889-891.

[7] 聞邦春,顧家柳,夏松波,等.高等轉(zhuǎn)子動力學∶理論、技術(shù)及應(yīng)用[M].北京∶機械工業(yè)出版社,1999.

[8] 汪希平,朱禮進,等.主動磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的研究[J].機械工程學報,2001,37(11)∶7-12.

[9] 王加峰,王樹林,等.旋葉式壓縮機轉(zhuǎn)子的有限元模態(tài)分析[J].機械設(shè)計,2009,26 (2)∶68-70.

[10] 張海波,楊昌茂,等.徑向永磁偏置磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子模態(tài)分析[J].機械制造,2011,49(599)∶26-28.

[11] 趙鵬,王曉光.儀表磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性研究[D].武漢∶武漢理工大學,2005.

[12] 魏莉,胡業(yè)發(fā),等.磁懸浮轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對動態(tài)特性的影響[A].第二屆中國磁懸浮軸承學術(shù)會議論文集[C]∶57-61,2007.