魏 然，鮑福廷，劉 旸

(西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072)

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嵌金屬絲推進劑燃燒起始階段增速特性研究①

魏 然，鮑福廷，劉 旸

(西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072)

考慮了使用嵌金屬絲裝藥的發(fā)動機工作過程中的多種因素，建立了金屬絲與藥柱、燃氣間相互作用的控制方程組，并對方程組進行了數(shù)值求解，得到了嵌金屬絲推進劑在燃燒起始階段，增速比隨時間的詳細變化過程。結(jié)果表明，金屬絲的熱擴散率、熔點、直徑和黑度以各自不同的方式影響金屬絲的增速效果，熔點相對較低的金屬絲可能會在內(nèi)彈道曲線的初始階段形成一個輕微的壓強峰，固有燃速較低、著火溫度較低的推進劑對嵌入金屬絲較為敏感。文中數(shù)值方法計算量小，結(jié)果可靠，適于工程應(yīng)用。

固體火箭發(fā)動機；藥柱；嵌金屬絲；燃速；數(shù)值仿真

0 引言

在固體火箭發(fā)動機推進劑中嵌入金屬絲，利用金屬絲遠高于推進劑的導熱能力提前加熱推進劑，以提高藥柱的整體燃速、增大推力，是廣泛用于固體火箭發(fā)動機設(shè)計的手段。尤其對于需要盡量提高裝填比的發(fā)動機，采用端燃嵌金屬絲裝藥是一種較好方案。

一般而言，發(fā)動機點火之后，包埋在推進劑中的金屬絲隨著燃面退移而暴露于高溫燃氣中，金屬絲在燃氣中吸熱、溫度升高，熱量傳入尚未暴露的金屬絲中，再向外傳導，提高尚未被點燃的推進劑的初溫，由此提高推進劑沿金屬絲方向的燃速。燃速的增加反過來加速金屬絲的暴露，增加了金屬絲暴露于燃氣中部分的長度，進一步增強吸熱效果；另一方面，暴露于燃氣中的金屬絲，其溫度會逐步增高直至達到熔點，最終形成“暴露-熔化”動態(tài)平衡。此時，金屬絲的增速作用達到最強，并相對穩(wěn)定，直至推進劑燃盡。

金屬絲對推進劑燃燒的增強作用，自點火時刻起，經(jīng)歷了一個從幾乎沒有直至達到最大的連續(xù)變化過程，此過程影響了燃面退移過程。按恒定加速比計算時，金屬絲附近的推進劑將形成錐形燃面；但實際情況下，由于加速比隨著金屬絲的暴露逐步增大，形成的燃面將略帶彎曲，縱剖面呈鐘形且較上述錐形燃面更淺，實際燃去的推進劑更少。這一差異直接影響到對發(fā)動機在起飛加速段的內(nèi)彈道特性和推力特性的預測。

然而，對此過程細節(jié)的研究并不多，文獻[1]使用多種推進劑和金屬絲進行了測試，但現(xiàn)有實驗設(shè)備無法測定沿金屬絲方向燃速的實時變化，且燃速測試設(shè)備中的燃燒環(huán)境(尤其輻射傳熱環(huán)境)與實際發(fā)動機中的并不完全相同，也不可能用所有種類的推進劑、金屬絲組合均進行實驗測量，實驗數(shù)據(jù)并不能直接用于發(fā)動機設(shè)計；文獻[2-3]忽略了藥柱內(nèi)部沿軸向的導熱，并對徑向的導熱也作了簡化假設(shè)，計算結(jié)果誤差較大；文獻[4]就此問題建立了數(shù)值方法，可預測指定情況下嵌入金屬絲的最大增速比，但未考慮推進劑性質(zhì)(尤其是固有燃速)的影響，且計算是基于特定發(fā)動機進行，用于通用發(fā)動機設(shè)計仍有困難。

導彈對起飛加速段推力的要求一般是適當高一些，而嵌金屬絲裝藥在這方面表現(xiàn)不佳，有時甚至需要在端面開槽來增大起飛段推力，研究這種裝藥在起始階段的燃燒性質(zhì)十分必要；另一方面，在涉及嵌金屬絲裝藥的燃面退移仿真、藥柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化等工作中，裝藥在起始階段的燃燒性質(zhì)也已經(jīng)成為阻礙仿真精度繼續(xù)提高的瓶頸之一。為了解決這些問題，本文對嵌金屬絲裝藥在燃燒起始階段的增速特性進行了數(shù)學建模和數(shù)值仿真。

1 數(shù)學模型

1.1 基本假設(shè)

固體火箭發(fā)動機燃燒室是一個隨推進劑燃燒不斷變化的高溫、高壓、強熱輻射環(huán)境，但其中相當一部分因素對本文所研究的問題影響甚微。為簡化模型，減小數(shù)值仿真中的計算量，本文做出如下假設(shè)：

(1)金屬絲與燃氣間的換熱方式為對流換熱與輻射換熱。

(2)金屬絲與推進劑間的換熱方式為熱傳導。

(3)對于不接觸金屬絲的推進劑，推進劑的燃燒遵循平行層燃燒規(guī)律，燃燒表面的溫度為推進劑的著火溫度；對于直接接觸金屬絲的推進劑，則在金屬絲上某一段附近的推進劑溫度達到推進劑著火溫度時，該處推進劑被立即點燃[5]。

(4)金屬絲上某段的溫度達到其熔點時，由于氣流沖刷作用，該段立即從金屬絲上脫落，不考慮其相變吸熱；在發(fā)動機內(nèi)部的貧氧環(huán)境中，尚未熔化脫離金屬絲主體的金屬難以發(fā)生自持燃燒，且實際使用的金屬絲外層往往存在保護層，故本模型不考慮金屬絲被點燃和嚴重氧化的情況。

(5)金屬絲直徑較小，認為其徑向上的溫度沒有差異，即溫度梯度僅存在于長度方向上。

(6)推進劑的導熱系數(shù)僅為金屬絲的數(shù)千分之一。因此，僅靠近金屬絲的推進劑顯著地受其導熱影響[6]。據(jù)仿真計算，遠離金屬絲10倍直徑以外的推進劑，已幾乎不受金屬絲加熱的影響，而實際發(fā)動機中，顯然不可能布置密度如此之高的金屬絲。因此，可忽略其他金屬絲(距離較遠)的影響，認為推進劑中的導熱過程是以金屬絲為中心的軸對稱傳熱過程。

(7)不考慮侵蝕燃燒的影響。

1.2 控制方程

由上述假設(shè)，劃分微元體見圖1，金屬絲只沿長度方向作一維劃分，推進劑以金屬絲軸心為中心劃分為軸對稱微元，并保持二者網(wǎng)格對齊。兩種微元體在x方向上的長度均為dx，推進劑軸對稱微元體在徑向上的長度為dr。

圖1 微元體劃分Fig.1 Schematic diagram of meshing

對于暴露在燃氣中的金屬絲，取圖1所示的微元，則微元體橫截面方向傳入熱量Qx為

(1)

式中 下標f表示金屬絲；λf為導熱系數(shù)；Tf為金屬絲的溫度；Af為金屬絲橫截面面積；dt為時間微元。

類似地，橫截面方向傳出熱量Qx+dx：

(2)

側(cè)向傳入熱量Q：

Q=qsdxdt

(3)

式中q為吸熱熱流密度；s為金屬絲橫截面周長。

側(cè)面熱交換方式為對流和輻射[5]，則有

(4)

式中h為對流換熱系數(shù)；Tg為燃氣溫度；ε為金屬絲的黑度；σ為波爾茲曼常量。

另一方面，由溫升可知熱容量凈增為

(5)

式中ρf為金屬絲密度；cf為金屬絲比熱容；V表示金屬絲微元的體積。

則有

(6)

若令

(7)

其中，R為金屬絲半徑?？傻玫饺細鈧?cè)金屬絲控制方程：

(8)

對于燃氣側(cè)第一個微元體，橫截面?zhèn)魅霟崃繛閷α鲹Q熱，則式(6)中Qx應(yīng)修正為Qx=qAf，將新的Qx代入式(6)，化簡可得：

(9)

式中 dx為微元體在x方向上的長度。

對于埋在藥柱中的金屬絲，上述過程類似，僅側(cè)面吸熱變?yōu)榉艧?，此時控制方程為

(10)

其中，q＇為金屬絲向推進劑的放熱熱流密度：

(11)

式中 各符號與上文對金屬絲的推導類似；下標p表示推進劑。

可見，為求解q＇，需要知道推進劑中的溫度分布。這里將推進劑視為無限大軸對稱體，取微元體如圖1所示，則有

dQ=Qr1-Qr2+Qx1-Qx2

(12)

式中dQ表示微元體的熱容量變化；Qr1、Qr2、Qx1和Qx2分別為微元體在內(nèi)外柱面、前后底面上的換熱量。

代入導熱基本方程與微元體幾何參數(shù)，得到：

(13)

其中

(14)

即得推進劑微元體溫度微分方程。

上述方程僅涉及傳熱現(xiàn)象，并未考慮推進劑的幾何退移現(xiàn)象。事實上，在燃燒過程中，推進劑-燃氣界面隨燃燒逐步向發(fā)動機頭部退移，而不與金屬絲接觸處的界面將落后于接觸金屬絲的部分，加之推進劑的導熱系數(shù)僅為金屬絲的數(shù)千分之一數(shù)量級，故遠離金屬絲處推進劑-燃氣界面上的傳熱作用對上述方程所描述的傳熱過程幾乎沒有影響，忽略之則可大大簡化計算量，提高計算速度。綜上，本文在計算時不考慮推進劑的燃面退移。根據(jù)燃速在燃燒過程中發(fā)生的非線性變化，推進劑的燃面退移過程可使用文獻[7]所述的數(shù)值方法求解，具體方法則已經(jīng)超出了本文的討論范圍。

2 仿真計算

將上述方程組轉(zhuǎn)換為差分方程組，使用matlab求解。求解范圍設(shè)定為一根金屬絲及其周圍10倍金屬絲直徑范圍內(nèi)的圓柱體，初始形面為端燃推進劑內(nèi)嵌1根初始暴露長度為0的金屬絲。為方便描述金屬絲對推進劑燃燒的促進效果，定義“增速比”Ra如下：

(15)

式中Wn為Δt時間內(nèi)以固有燃速燒掉的肉厚；Wf為有金屬絲情況下，Δt時間內(nèi)實際沿金屬絲方向燃去的肉厚。

仿真進行時，首先按照正常的燃燒過程，計算沿金屬絲的燃燒與傳熱，同時程序持續(xù)監(jiān)測因為金屬絲的傳熱作用而點燃推進劑的事件，每次發(fā)生后，不考慮推進劑固有燃速而將燃面推進到被點燃位置，分別計算上次與本次“點燃”之間的Wn和Wf，輸出當前時刻的Ra值。

為驗證仿真程序的正確性，首先將仿真結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行了比對，使用基于文獻[5]實驗數(shù)據(jù)的仿真參數(shù)，具體如表1和表2所示。后文的所有仿真數(shù)據(jù)，除特別說明用于比較的因素外，其他參數(shù)均按上述數(shù)據(jù)設(shè)置。

按上述參數(shù)運行仿真程序，得到的最終增速比為5.042 9，接近文獻[5]中5.3的試驗實測值，可認為程序結(jié)果可信。

使用數(shù)值仿真程序，本文從金屬絲物性、形態(tài)與推進劑物性3個方面，對金屬絲在起始階段的增速特性進行了研究。

表1 仿真中使用的物性參數(shù)Table 1 Physical parameters used in simulation

表2 傳熱性質(zhì)參數(shù)Table 2 Heat transfer properties used in simulation

2.1 金屬絲物性的影響

具體來說，影響到增速特性的金屬絲物性，包括導熱系數(shù)、比熱、密度、熔點等因素。其中，導熱系數(shù)、比熱、密度三者的影響可總結(jié)為熱擴散率：

(16)

一般認為，熱擴散率越大、熔點越高的金屬絲，越能將熱量有效地導入推進劑，其增速效果也就越明顯。為探究兩者的具體影響，采用控制變量法進行了仿真分析，計算結(jié)果與分析如下：

其中， 金屬絲熱擴散率對增速特性的影響與預期一致，即熱擴散率越高的金屬絲，其最終增速比越大，但由于熱量擴散較快，難以達到熱平衡，因而增速比趨于穩(wěn)定所用的時間也越長，見圖2。

然而， 金屬絲熔點對增速特性的影響，則與上述分析略有出入。由圖3可看出，其他條件不變的情況下，當熔點低于某一數(shù)值時，最終增速比隨熔點的升高而增大；但熔點高于某一數(shù)值之后，最終增速比則不再隨之增大。

出現(xiàn)這種情況的原因在于金屬絲熔點之所以能夠影響到其增速比，是因為高熔點的金屬絲不易熔化，因而保留在燃氣中的部分更長，可更有效地吸收熱量。但對于遠離燃面的金屬絲而言，其吸收的熱量實際上難以傳導到推進劑中，對于加速燃燒起到的作用很小。保留在燃氣中的金屬絲越長，這種效應(yīng)就越明顯?？梢姡埸c對金屬絲增速效果的促進作用是有上限的。

值得注意的是圖3中增速比在達到最大值之后，可能會有一個輕微的下降，最終趨于穩(wěn)定。這在圖3中Mf=800～1 100 K的4條曲線中表現(xiàn)得較明顯。

圖2 金屬絲熱擴散率對增速特性的影響Fig.2 Effect of thermal diffusivity on acceleration rate

圖3 金屬絲熔點對增速特性的影響Fig.3 Effect of melting point on acceleration rate

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是整條金屬絲的溫度分布在開始時，溫度較低且均勻，與穩(wěn)定狀態(tài)下從高到低有所區(qū)別。在2種狀態(tài)的過渡中，會有一個短暫的時期，暴露燃氣中的部分金屬絲因為溫度尚未升高到熔點，因而仍在發(fā)揮吸熱作用。但當傳熱狀態(tài)趨于穩(wěn)定時，這段金屬絲將被燒熔，暴露在燃氣中的金屬絲長度隨之縮短，吸熱效果下降，增速比也會略微降低。這在熔點相對較低的金屬絲中表現(xiàn)得尤為明顯。圖4為仿真中800 K熔點金屬絲暴露長度與增速比隨時間變化的情況。圖4中，Le表示暴露金屬絲長度。容易看出，增速比與金屬絲暴露長度的變化情況幾乎同步，增速比變化略有延遲是由于熱量從金屬絲到推進劑的傳遞需要時間。圖3中出現(xiàn)的上述2種現(xiàn)象，都可從暴露金屬絲長度的變化中得到解釋，這從側(cè)面證明了本文仿真算法的正確性。

2.2 金屬絲尺寸與黑度的影響

除了物性的影響，金屬絲的外觀形態(tài)，如金屬絲的尺寸與表面黑度也可影響其增速特性。類似上面，固定其他條件，改變這2種因素進行仿真計算，結(jié)果見圖5和圖6。

圖4 金屬絲暴露長度對增速特性的影響Fig.4 Effect of length of exposed wire on acceleration rate

圖5 金屬絲半徑對增速特性的影響Fig.5 Effect of fiber radius on acceleration rate

圖6 金屬絲黑度對增速特性的影響Fig.6 Effect of fiber blackness on acceleration rate

由圖5可看出，其他條件不變的情況下，存在著一個最佳半徑，使金屬絲的增速比達到最大。對于銀絲，這一最佳半徑約是0.06 mm，這與文獻[4]中算得的0.05 mm和文獻[5]中的0.063 5 mm基本一致。

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因有兩方面：(1)小直徑的金屬絲，其表面積/體積比較大，在對流換熱的條件下升溫很快，加速其熔化，從而減小暴露于燃氣中金屬絲的最大長度，最終減弱增速效果；(2)較小的直徑限制了其導熱功率，不能將很多熱量傳入推進劑，難以將附近的推進劑加熱到點火溫度，削弱增速效果。

對于過粗的金屬絲，剛好與上面相反：具有較小的表面積/體積比，因而升溫較慢，且其周長更大，傳入推進劑的熱量將被分散到較大體積的推進劑中，同樣不利于對推進劑燃燒的促進作用。

由圖6則容易看出，金屬黑度對增速作用的影響是單調(diào)的。這一點容易理解，黑度越高，則金屬絲表面越接近于黑體，越有利于通過輻射作用吸收熱量，從而增速效果越明顯。

2.3 推進劑物性的影響

推進劑物性中，能夠影響到增速作用的因素包括推進劑固有燃速和推進劑著火溫度。二者對增速作用的影響見圖7與圖8。理論上，推進劑的熱擴散率也可影響到增速效果，但實際上，推進劑的熱擴散率僅僅是金屬絲的數(shù)千分之一[8]。計算證明，其對增速比幾乎沒有影響，計算結(jié)果在此不再列出。

圖7 推進劑固有燃速對增速特性的影響Fig.7 Effect of the inherent burning rate of propellant on acceleration rate

圖8 推進劑著火溫度對增速特性的影響Fig.8 Effect of the ignition temperature of propellant on acceleration rate

由圖7可看出，推進劑固有燃速對增速特性有較大的影響。這一點可解釋為固有燃速較大的推進劑，其本身有著較高的燃面退移速度。所以，靠近燃面處較熱的金屬絲會因為燃面的退移被暴露出來，從而失去了加速燃燒的作用，或者說，部分增速作用被較高的固有燃速“掩蓋”了。

從這里可得出一個結(jié)論：嵌入金屬絲對低燃速推進劑的增速效果明顯，對于固有燃速本來就較高的推進劑，則意義不大。

由圖8可知，著火溫度對增速比的影響同樣是單調(diào)的，著火溫度越低，最大增速比越大。這一點同樣容易理解：金屬絲的增速作用，實質(zhì)上是通過將推進劑加熱到其著火溫度實現(xiàn)的，此溫度越低，增速過程就越容易實現(xiàn)，宏觀表現(xiàn)就是增速比變大。

2.4 敏感性分析

上文仿真分析了金屬絲熱擴散率、熔點、黑度、半徑、推進劑固有燃速與點火溫度共計6個因素對增速比的影響。其中，每次仿真均以表1和表2中所列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，改變其中一個因素做控制變量法仿真。以每一組仿真中變量的相對值(相對于上述兩表中數(shù)據(jù))為橫坐標，以相應(yīng)增速比為縱坐標，作敏感性分析，見圖9。

由圖9可知，金屬絲熱擴散率、黑度、熔點三者與增速比呈現(xiàn)正相關(guān)。其中，增速比對熔點的敏感度較低，且熔點上升引起的增速比上升是有上限的，熔點超過某一溫度后，更高的熔點對增速作用便幾乎沒有貢獻；熱擴散率與黑度的增加，均可引起增速比的顯著上升，二者圖線在圖9中幾乎重合，若以數(shù)值而論，二者敏感度相差不大。金屬絲半徑則存在一個最佳值，過高或過低都將引起增速比的下降。

2種與最大增速比呈現(xiàn)負相關(guān)的因素是推進劑的固有燃速與點火溫度，若所選推進劑這2項指標相對較高，則增速作用將受到抑制。其中，增速比對固有燃速的敏感度較大，說明對于速燃推進劑，金屬絲的增速將在一定程度上被“掩蓋”。

圖9 參數(shù)敏感性分析Fig.9 Parameter sensitivity analysis

3 結(jié)論

(1)在燃燒的最起始階段，推進劑中嵌入的金屬絲幾乎沒有增速效果；隨后，增速比會經(jīng)歷一次較快的攀升，之后可能略微下降，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)。

(2)金屬絲熱擴散率、熔點、黑度與直徑均對金屬絲的增速特性有影響，應(yīng)根據(jù)需要對這些因素進行合理選擇搭配；對于固有燃速較高的推進劑，金屬絲的增速效果相對較弱。

(3)熔點相對較低的金屬絲，其增速比可能在達到最高后又出現(xiàn)輕微下降，從而可能在點火壓強峰后形成另一個壓強峰，設(shè)計時應(yīng)予注意。

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(編輯：崔賢彬)

Acceleration effect on initial stage of burning rate of grain with embedded metal wires

WEI Ran,BAO Fu-ting,LIU Yang

(College of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China)

The paper takes a variety of factors during the functioning period of a solid rocket motor that uses grain with embedded wire into consideration in the establishment of a system of equations that describes the governing equations for the metal wire,the rocket grain and the gas. The equations were solved numerically to obtain the detailed change of the embedded wire over time during the initial stage of propellant combustion,and the acceleration stage. The results indicate that properties such as thermal diffusivity,melting point,diameter and blackness of the wire all affect the acceleration effect of the wire differently. Metals with relatively low melting point may produce a slight pressure peak during the initial formation of the internal ballistic curve. Previous research has shown that the propellants with slow burning rate and relatively low ignition temperature are more sensitive to the embedded wire. The calculations of the presented numerical method are simple,reliable,and suitable for engineering applications.

solid rocket motor;grain;embedded metal wires;burning rate;numerical simulation

2013-12-25；

：2014-08-02。

國家自然科學基金(51005179)。

魏然(1991—)，男，碩士生，研究方向為發(fā)動機總體設(shè)計。E-mail:wdyqq@126.com

V435

A

1006-2793(2015)01-0055-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.01.010