何云強

摘 要：微分方程模型應用于解決實際問題有非常大的研究空間，本文重點討論了微分方程的原理，微分方程思想對于解決現實問題的啟示以及現實生活中利用微分方程模型解決具體問題的案例，旨在進行微分方程理論學習之余提出自己的一些思考。

關鍵詞：微分方程；模型；應用

對于現實世界的變化，人們關注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個（偏）微分方程或方程組。所以實際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數學模型，涉及的領域包括物理學、化學、天文學、生物學、力學、政治、經濟、軍事、人口、資源等等。

一、微分方程數學原理解析

在初等數學中，方程有很多種，比如線性方程、指數方程、對數方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實際問題。要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數方程。這類問題的基本思想和初等數學的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產生了微分方程。

微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設的基礎課程，微分方程與微積分是同時產生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工具，隨著生產實踐和科學技術的發(fā)展，該學科已經演變發(fā)展為數學學科理論中理論聯(lián)系實際的一個重要分支。隨著數學建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數學模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具。

而數學模型是對于現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構.簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。

二、微分方程模型應用于實際問題的方法和流程總結

在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或導數，這樣所得到變量之間的關系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關系，因此，要得到直接關系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數學、力學、物理、化學等學科中的定理或經過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數及其導數應用規(guī)律；其三是在生物、經濟等學科的實際問題中，許多現象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設下去模擬實際的現象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數學上求解或分析所建方程及其解的性質，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現象。

在建立數學微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實際問題進行分析，找出問題中的變化量和變量關系，接著進行模型假設，將實際問題的元素用數學概念代替，然后進行符號設定，簡化計算，從而建立模型，進行求解，最后用求解的結果對之前的問題分析和模型假設進行驗證，驗證合理后進行模型的應用和評估。

三、微分方程模型應用領域歸納和具體案例分析

從應用領域上講，微分方程大方向上的應用領域主要分社會及市場經濟、戰(zhàn)爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學這五個方面，如果細致來講，其中社會及市場經濟方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經濟調整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價格的微分方程模型；戰(zhàn)爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭的預測與評估模型；人口與動物世界領域包括單種群模型及進行開發(fā)的單種群模型、弱肉強食模型、兩個物種在同一生態(tài)龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預測與控制模型；疾病傳染與診斷領域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內碘的微分方程模型、藥物在體內的分布與排除模型；自然科學領域包括人造衛(wèi)星運動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。

盡管從上述微分方程應用領域的羅列和總結上，我們會覺得比較復雜，其實所有微分方程建模問題的流程都是嚴格按照問題分析、模型假設、符號設定、建立模型、模型求解和驗證模型這一流程進行的，下面就結合一個案例來具體分析：

比如弱肉強食微分方程模型。生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進行著殘酷的生存競爭。設想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數量增加吃掉大量兔子，狐群又進入饑餓狀態(tài)而使其總數下降，這時兔子相對安全，于是兔子總數回升。就這樣，狐兔數目交替地增減，無休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動態(tài)平衡。那么，如何用建立數學模型描述并預測下一階段情況呢？在這個問題上，某一時刻兔子數量和狐貍數量就存在變量關系：

其中ax表示兔子的繁殖速度與現存兔子數成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數成正比；dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

四、結語

微分方程模型的應用讓很多現實中難以具體計算的問題迎刃而解，通過對事物發(fā)展規(guī)律的掌控進行科學建模，是數學應用于生活的發(fā)展趨勢，作為廣大在校進行數學專業(yè)學習的同學來說，掌握好專業(yè)基本功，是將來就業(yè)工作，實現自身價值的重要途徑。

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