魏東輝，水尊師，徐 騁

（北京機(jī)電工程研究所，北京100074）

BTT導(dǎo)彈地形跟蹤/地形回避控制器設(shè)計(jì)方法

魏東輝，水尊師，徐 騁

（北京機(jī)電工程研究所，北京100074）

針對(duì)傾斜轉(zhuǎn)彎（BTT）導(dǎo)彈地形跟蹤/地形回避控制任務(wù)，在彈體坐標(biāo)系下建立了導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，將滾轉(zhuǎn)通道獨(dú)立解耦，俯仰-偏航通道耦合設(shè)計(jì)；依據(jù)H∞混合靈敏度理論，設(shè)計(jì)了俯仰-偏航通道過載控制器和滾轉(zhuǎn)通道滾轉(zhuǎn)角控制器；通過六自由度非線性仿真，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

傾斜轉(zhuǎn)彎；地形跟蹤/地形回避；H∞混合靈敏度

0 引言

巡航導(dǎo)彈射程遠(yuǎn)、飛行時(shí)間長，容易被敵方防御系統(tǒng)探測跟蹤，進(jìn)而實(shí)施攔截。超低空飛行能夠降低導(dǎo)彈的被探測概率，增大敵方防御系統(tǒng)的攔截難度，從而大幅提升導(dǎo)彈的突防能力。通常情況下，巡航導(dǎo)彈采用基于BTT的地形跟蹤/地形回避技術(shù)來實(shí)現(xiàn)超低空飛行。如何設(shè)計(jì)良好的地形跟蹤/地形回避控制器是該技術(shù)的關(guān)鍵之一。

1 傾斜轉(zhuǎn)彎導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

傾斜轉(zhuǎn)彎(BTT)導(dǎo)彈在實(shí)現(xiàn)地形跟蹤/地形回避(TF/TA)時(shí)存在縱側(cè)向同時(shí)機(jī)動(dòng)的飛行狀態(tài)，BTT導(dǎo)彈側(cè)向機(jī)動(dòng)是通過滾轉(zhuǎn)使主升力面迅速轉(zhuǎn)到期望平面上實(shí)現(xiàn)的。而滾轉(zhuǎn)角速度的存在，使導(dǎo)彈俯仰和偏航通道存在較強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合、動(dòng)力學(xué)耦合、氣動(dòng)耦合以及控制耦合。并且，當(dāng)導(dǎo)彈做大傾斜的轉(zhuǎn)彎，即γ>15°時(shí)，過大的傾斜角會(huì)使得縱向運(yùn)動(dòng)和側(cè)向運(yùn)動(dòng)耦合增強(qiáng)[1]，在這種條件下，基于小偏差線化的三通道獨(dú)立建模方法已失去其合理性。針對(duì)BTT導(dǎo)彈的這一特點(diǎn)，本節(jié)通過在彈體系下建立導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)模型，解決上述問題。

1.2 彈體系下導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

1.2.1重要假設(shè)

1）將導(dǎo)彈抽象為質(zhì)量恒定的剛體；2）忽略重力的影響（在導(dǎo)引律中補(bǔ)償），僅考慮推力和空氣動(dòng)力作用；3）導(dǎo)彈的攻角α、側(cè)滑角 β均為小量；4）發(fā)動(dòng)機(jī)推力P與彈體縱軸重合；5）忽略下洗延遲引起的附加俯仰、偏航力矩；6）將導(dǎo)彈的飛行速度ν視為常數(shù)。

1.2.2作用在導(dǎo)彈上的力和力矩

基于1.2.1中的假設(shè)，作用在導(dǎo)彈上的力投影到彈體系下的表達(dá)式為：

作用在彈體系三軸上的力矩表達(dá)式為：

1.2.3彈體系下導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

哥氏定理用于描述絕對(duì)變化率與相對(duì)變化率間的關(guān)系，選取彈體坐標(biāo)系為活動(dòng)坐標(biāo)系，據(jù)哥氏定理有：

將式（3）展開得：

其中νχ,νy,νz是彈體系三軸上的速度分量。當(dāng)α<15°,β<15°時(shí)，ν與νχ的差小于10%，故有下述近似成立：

式中近似直接利用 α≈sinα≈(-vy)v對(duì)式（4）做如下變換：

整理得

同理可得：

1.2.4彈體系下導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

因?yàn)閺楏w所有的慣性積為零，且Iz=Iy，展開后的方程為[2]：

1.2.5舵機(jī)模型

舵機(jī)模型用如下一階慣性環(huán)節(jié)近似

其中，δi為實(shí)際舵偏角，δic為舵偏角指令，俯仰、偏航、滾動(dòng)舵均采用上述模型。

1.2.6導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

將力、力矩表達(dá)式（1）、式（2）帶入式（5）～式（7），并據(jù)動(dòng)力系數(shù)定義[2]化簡、整理，可得本文BTT導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型如下：

1）俯仰-偏航通道：

2）滾動(dòng)通道:

由式（8）、式（9）可以看出，滾動(dòng)通道可單獨(dú)解耦，但俯仰-偏航通道存在耦合，且耦合強(qiáng)度與滾轉(zhuǎn)角速度ωχ成正比。

1.2.7全狀態(tài)可測的BTT導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于俯仰-偏航通道，要精確測量模型的狀態(tài)變量攻角α、側(cè)滑角 β是比較困難的，從控制器設(shè)計(jì)的實(shí)用性角度考慮，加速度計(jì)可以方便地測出彈體系下的縱向和側(cè)向過載nyt、nzt，因此可以用彈體系下的過載nyt和nzt來代替α和 β。將式（8）中的、、α、 β用、、nyt、nzt代替，可得俯仰-偏航通道的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型見式（10）。

至此，由式（9）和式（10）就組成了BTT導(dǎo)彈全狀態(tài)可測的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。

1.2.8 BTT導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)空間描述

令式（10）中ωχ為常值1，將實(shí)際飛行中ωχ的變化視為模型的不確定性，利用所設(shè)計(jì)控制器的魯棒性克服ωχ變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)帶來的影響，利用此方法便得到了BTT導(dǎo)彈的線性數(shù)學(xué)模型。其狀態(tài)空間描述如下。

俯仰-偏航通道：狀態(tài)變量，輸出變量，控制量依次為：

可見，俯仰-偏航通道為2入2出的多變量被控對(duì)象。

滾轉(zhuǎn)通道：狀態(tài)變量，輸出變量，控制量依

次為：X=[ωχγ δχ]T，Y=γ,u=δχc。

2 混合靈敏度魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 問題描述

從上節(jié)BTT導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過程中可得出如下結(jié)論：導(dǎo)彈在進(jìn)行側(cè)向機(jī)動(dòng)時(shí)存在一定的滾轉(zhuǎn)角速度ωχ，從而導(dǎo)致俯仰-偏航通道存在較強(qiáng)耦合，并且耦合強(qiáng)度與滾轉(zhuǎn)角速度ωχ的大小成正比。因此，我們希望設(shè)計(jì)的TF/TA控制器能夠克服彈體滾轉(zhuǎn)造成的嚴(yán)重耦合對(duì)彈體控制帶來的影響，同時(shí)還希望它能克服氣動(dòng)參數(shù)變化、傳感器噪聲以及干擾力、干擾力矩等不確定性因素對(duì)導(dǎo)彈控制帶來的影響。

魯棒控制理論能有效解決被控對(duì)象不確定性問題，本節(jié)主要針對(duì)第一節(jié)中建立的俯仰-偏航通道2入2出過載數(shù)學(xué)模型和滾動(dòng)通道數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用多變量系統(tǒng)魯棒控制理論中的混合靈敏度設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)BTT導(dǎo)彈全狀態(tài)控制器。

2.2 俯仰-偏航通道過載控制器設(shè)計(jì)

2.2.1控制回路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)已建立的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)俯仰-偏航通道的過載控制回路結(jié)構(gòu)如下圖所示：

圖1 俯仰-偏航通道過載控制回路框圖Fig.1 Overload control loop structure for pitch-yaw channel

2.2.2權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)[3]

1）設(shè)計(jì)不確定性界函數(shù)W2(S)

補(bǔ)靈敏度函數(shù)T表示r到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，本文選擇理想的Ti為一階對(duì)角陣形式，這樣可保證在階躍指令輸入下，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出無超調(diào)。設(shè)Ti=1(τs+1)I2×2，其單位階躍響應(yīng)為 y(t)=1-e-t/τ，在tr時(shí)刻，期望y(tr)要達(dá)到終值的m%，由此確定慣性時(shí)間常數(shù)為τ=-tr/1n(1-m%)。

本文針對(duì)被控對(duì)象的特點(diǎn)，選取tr=0.6，m=90，計(jì)算得τ=0.26，再根據(jù)帶寬Wb與τ的反比關(guān)系取期望的閉環(huán)帶寬Wb=4rad/s。

首先，令W2(s)=，其中選取k2<1。其次，利用Matlab工具箱設(shè)計(jì)H∞控制器時(shí)，需滿足當(dāng) s→∞時(shí)W2(s)有界，所以要在分母上乘以τ1s+1，得

最后，通過調(diào)整參數(shù)k2、τ1以滿足W2(s)的高通濾波性以及與0dB線交叉頻率的要求。經(jīng)調(diào)試，確定k2=0.6，τ1=0.0001。

2）設(shè)計(jì)性能權(quán)函數(shù)W1(s)

因?yàn)镾+T=I，Ti=1(τs+1)I2×2，所以理想的靈敏 度 函 數(shù) 為 Si=s(s+1 τ)I2×2。 同 上 ， 令W1(s)=，其中k1<1，其次為滿足W1(s)不同頻段的幅值要求以及與0dB線交叉頻率的要求，對(duì)W1(s)做如下修正，W1(s)=[k1(s+1 τ)](s+τ2)I2×2。經(jīng)調(diào)試，確定k1=0.4，τ2=0.001。

2.2.3控制器求取

1）求取廣義被控對(duì)象P(s)：由于求取H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)的算法定義在標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題框架下，所以欲求得控制器需首先求出廣義被控對(duì)象P(s)[4]。

2）求解H∞控制器K(s)：利用Matlab魯棒控制工具箱可以計(jì)算得到控制器K(s)。但直接利用上述方法得到的控制器為一個(gè)2×2的傳遞函數(shù)矩陣，且矩陣的每一個(gè)元素階次高達(dá)14階，由于過高的階次實(shí)現(xiàn)起來比較困難，所以需要對(duì)求得的控制器K(s)進(jìn)行降階處理。降階處理分三步完成，首先求K(s)的最小實(shí)現(xiàn)Km(s)，其次求Km(s)的均衡模型Kb(s)，最后求出降階模型Kr(s)。

3）求K(s)的最小實(shí)現(xiàn)：對(duì)一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)來說，有無窮多個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)與其對(duì)應(yīng)，其中維數(shù)最小的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)稱為該傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)[4]。

4）基于Gram矩陣的均衡降階處理：基于Gram矩陣的均衡降階方法的理論依據(jù)和均衡實(shí)現(xiàn)的基本思想可參見文獻(xiàn)[5]。

至此，本文得到一個(gè)6階的控制器Kr(s)

另外，控制器Kr(s)也可以用一個(gè)2入2出6狀態(tài)的狀態(tài)空間形式描述，其中2個(gè)輸入為彈體系下縱、側(cè)向過載指令與實(shí)際輸出過載的差，2個(gè)輸出為俯仰舵偏角和偏航舵偏角指令。

5）控制器離散化處理：考慮到后續(xù)非線性仿真的需要，現(xiàn)利用Matlab中的函數(shù)c2d，采用零階保持器的方法，以5ms作為采樣周期，對(duì)上述得到的控制器狀態(tài)空間描述做離散化處理，得到一個(gè)2入2出6狀態(tài)的離散控制器狀態(tài)空間描述。

2.3 滾轉(zhuǎn)通道控制器設(shè)計(jì)

滾轉(zhuǎn)通道控制器設(shè)計(jì)方法同俯仰-偏航通道，這里不再贅述，僅給出滾轉(zhuǎn)通道的權(quán)函數(shù)和控制器設(shè)計(jì)結(jié)果。

不確定性界函數(shù)

性能權(quán)函數(shù)

控制器

離散化后的控制器可用一個(gè)單入單出3狀態(tài)的狀態(tài)空間形式描述，輸入為滾轉(zhuǎn)角指令與實(shí)際滾轉(zhuǎn)角輸出的差，輸出為副翼偏角指令。

2.4 線性仿真結(jié)果及分析

用設(shè)計(jì)好的離散控制器來控制名義被控對(duì)象，采樣周期為5ms?？v向過載指令nytc=1，側(cè)向過載指令nztc=0，滾轉(zhuǎn)角指令γ=0.5rad，指令信號(hào)均為階躍輸入。

仿真結(jié)果表明，兩通道都實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入指令信號(hào)的漸進(jìn)跟蹤，且無超調(diào)，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值70%時(shí)的調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.6s，滿足快速性要求。

圖2 俯仰-偏航通道過載階躍響應(yīng)曲線Fig.2 Overload step response curve for pitch-yaw channel

圖3 滾轉(zhuǎn)通道滾轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)曲線Fig.3 Roll angle step response curve for roll channel

3 地形跟蹤/地形回避制導(dǎo)指令設(shè)計(jì)

3.1 地形跟蹤/地形回避制導(dǎo)策略簡介

3.1.1適應(yīng)角法

本文研究重點(diǎn)在于BTT導(dǎo)彈建模和TF/TA控制器設(shè)計(jì)，故關(guān)于TF/TA制導(dǎo)策略的研究，本文暫且引用一些參考文獻(xiàn)的研究成果?；谶m應(yīng)角法的TF生成彈道傾角指令θFL，其具體形式為：θFL=K(λ+?+HsR-Fs)。如圖4所示：P點(diǎn)為前方地形最高點(diǎn)，Hs為安全偏置高度，R為導(dǎo)彈到P點(diǎn)的斜距，λ為雷達(dá)掃描角，?為當(dāng)前導(dǎo)彈的俯仰角，權(quán)函數(shù)K用來控制發(fā)揮導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力，抑制函數(shù)Fs用來推遲拉起提高隱蔽性[5-8]。因此，實(shí)現(xiàn)對(duì)θFL指令的跟蹤也就實(shí)現(xiàn)了TF飛行。類似地可以通過跟蹤ψvFL指令實(shí)現(xiàn)TA飛行。

3.1.2 TF/TA制導(dǎo)控制回路設(shè)計(jì)

要實(shí)現(xiàn)跟蹤期望彈道傾角θFL，可以通過控制彈道傾角θ或控制縱向過載ny來實(shí)現(xiàn)。由于控制過載較控制彈道傾角，相位上更加提前，另外通過對(duì)過載指令信號(hào)nyc限幅，可便于達(dá)到限制過載的目的?；谝陨戏治?，本文采取通過控制縱向過載ny來實(shí)現(xiàn)TF飛行，TA飛行實(shí)現(xiàn)方法類似。

從彈道傾/偏角指令到彈道系下過載指令的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下（ay為彈道系下縱向加速度）：

其中， gcosθ為重力加速度補(bǔ)償。同理nzc=k2vg(ψvFL-ψv)。經(jīng)仿真調(diào)試 k1取2， k2取 0.7。制導(dǎo)控制回路結(jié)構(gòu)如圖5所示，其中第一步指令換算在本節(jié)已完成推導(dǎo)，第二步指令換算環(huán)節(jié)見本文3.2節(jié)。

圖5 制導(dǎo)控制回路結(jié)構(gòu)圖Fig.5 The guidance and control loop structure

3.2 制導(dǎo)指令換算

欲利用本文設(shè)計(jì)的魯棒控制器實(shí)現(xiàn)BTT導(dǎo)彈的TF/TA，需將本文3.1節(jié)中得到的彈道系下的縱側(cè)向過載指令nyc、nzc，轉(zhuǎn)換為彈體系下的縱側(cè)向過載指令nytc、nztc以及滾轉(zhuǎn)角指令。

1）將彈道系下過載指令轉(zhuǎn)換到準(zhǔn)彈體系下

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)可得，由彈道系到準(zhǔn)彈體系的坐標(biāo)變化矩陣為：，則得：其中為準(zhǔn)彈體系三軸上的指令過載分量。

2）將過載指令由準(zhǔn)彈體系轉(zhuǎn)換到彈體系下

根據(jù)準(zhǔn)彈體系和彈體系的定義[3]可知，兩者僅差一個(gè)滾轉(zhuǎn)角γ，則彈體系下的過載指令和滾轉(zhuǎn)角指令可表示為：

另外，為了實(shí)現(xiàn)較為理想的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎，彈體系下側(cè)向過載指令應(yīng)為nzc=0。沿彈體縱軸過載的控制可以通過調(diào)節(jié)發(fā)動(dòng)機(jī)油門來實(shí)現(xiàn)，本文不予考慮。至此，TF/TA指令已轉(zhuǎn)換為彈體系下過載指令和滾轉(zhuǎn)角指令。

4 六自由度非線性仿真

仿真時(shí)假定導(dǎo)彈保持恒速200m/s，仿真步長5ms，導(dǎo)彈起初為平飛狀態(tài)，仿真時(shí)間t0=15s時(shí)，導(dǎo)彈接收正弦彈道傾角指令信號(hào)θpr=0.12sin[0.1π(t-t0)]，和斜坡彈道偏角指令ψvpr=0.02(t-t0)，ψvprmax=0.2，仿真飛行水平距離為10km。干擾力和干擾力矩 ΔFyt=500N,ΔFzt=200N，ΔMyt=500N·m,ΔMzt=200N·m，仿真結(jié)果見圖6～圖9，可以看出，所設(shè)計(jì)的TF/TA控制器能夠控制導(dǎo)彈跟蹤期望的彈道角指令，并能有效抑制干擾。

圖6 無干擾時(shí)彈道傾角跟蹤曲線Fig.6 The following curve of trajectory inclination angle in no disturbance

圖7 無干擾時(shí)彈道偏角跟蹤曲線Fig.7 The following curve of trajectory deflection angle in no disturbance

圖8 有干擾時(shí)彈道傾角跟蹤曲線Fig.8 The following curve of trajectory inclination angle in disturbance

圖9 有干擾時(shí)彈道偏角跟蹤曲線Fig.9 The following curve of trajectory deflection angle in disturbance

5 結(jié)論

本文針對(duì)BTT導(dǎo)彈的特點(diǎn)，在彈體坐標(biāo)系下建立了導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了滾轉(zhuǎn)通道獨(dú)立解耦，俯仰-偏航通道耦合設(shè)計(jì)，并將俯仰—偏航通道轉(zhuǎn)換為過載數(shù)學(xué)模型，以便于工程應(yīng)用?；谝呀⒌哪Ｐ?，應(yīng)用H∞混合靈敏度理論設(shè)計(jì)了俯仰-偏航通道的過載控制器和滾轉(zhuǎn)通道的滾轉(zhuǎn)角控制器。針對(duì)TF/TA適應(yīng)角法給出的制導(dǎo)指令為彈道傾/偏角的情況，推導(dǎo)了將彈道傾/偏角指令轉(zhuǎn)換為彈體系下縱側(cè)向過載指令和滾轉(zhuǎn)角指令的指令變換算法。最后，將設(shè)計(jì)的魯棒控制器應(yīng)用到TF/TA中，并通過6DOF非線性仿真驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的有效性。

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BTT Missile Controller DesignApproach forTerrain Following and TerrainAvoiding

WEI Dong-hui,SHUI Zun-shi,XU Cheng
（Beijing Electro-mechanical Engineering Institute，Beijing 100074，China）

For BTT missile terrain following and terrain avoiding requirements,the missile dynamic mathematical model is established in the body coordinates.The roll channel is decoupled from pitch-yaw channel.Based on H-infinite mixed sensitivity theory,overload controller for pitch-yaw channel and roll angle controller for roll channel are designed.Finally.The ndinear6-DOF simulation is performed to verify the validity of the method in this article.

Bank to turn;Terrain following/terrain avoiding;H-infinite mixed sensitivity

V24

A

2095-8110（2015）02-0013-07

2014-11-18；

2015-01-09。

魏東輝（1987-），男，碩士，主要從事飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制方面的研究。E-mail:weidonghui2652@sina.com