田玲玲 祝家麟

（山西財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院1） 太原 030006） （重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院2） 重慶 400030）

0 引 言

滲流問題是流體力學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域，也是巖土、水電工程設(shè)計(jì)中的重要課題之一.這類問題可歸結(jié)為Laplace方程（包括非齊次的）或Possion方程.邊界元法在滲流計(jì)算研究中有著廣泛的應(yīng)用，用邊界元法研究滲流問題也比較早，20世紀(jì)70年代后期邊界元法得到了較快的發(fā)展.由于科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們遇到了許多大規(guī)模的科學(xué)和工程計(jì)算問題，如何快速更有效的求解這些問題，成了工程技術(shù)人員和學(xué)者的一大難題.

區(qū)域分解算法是20世紀(jì)80年代崛起的新方向，由于該方法能將大型問題分解為小型問題﹑復(fù)雜邊值問題分解為簡單邊值問題﹑串行問題分解為并行問題，再加上并行計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用，這些問題得到了更有效的解決，區(qū)域分解算法作為并行計(jì)算和處理這類問題的主要方法，愈來愈受到人們的重視.

1 滲流問題描述及算法構(gòu)造

根據(jù)水量守恒原理和達(dá)西定律［1－3］進(jìn)行推導(dǎo)，考慮如下描述的滲流問題：

總邊界Γ1＋Γ2，Γ1上位勢u已知，Γ2上是滲流量q已知，n1，n2分別是x1，x2方向上的余弦.k1，k2為滲透系數(shù)，并且滿足Q／A＝kH／L.式中：Q／A為單位時(shí)間內(nèi)滲過材料試件單位面結(jié)的水量；H／L為壓力水頭和滲透距離（試件的厚度）的比值.當(dāng)介質(zhì)是各向同性時(shí)，各個(gè)方向上k1，k2相等.

為簡明地說明該方法，僅討論將區(qū)域分解成2個(gè)非重疊區(qū)域的子區(qū)域［4］的情況（見圖1），假定區(qū)域Ω1，Ω2為正交各向異性介質(zhì)滲流.計(jì)算步驟如下.

步驟1 首先任意給定公共邊界Γ0上的初始值u0（或q），設(shè)定循環(huán)控制誤差ε.

步驟2 在2個(gè)子區(qū)域上分別用直接邊界元法同時(shí)求解如下a和b 2個(gè)問題.

圖1 非重疊區(qū)域分解圖

取τ0＝＋（1－α）（0＜α＜1）作為公共邊界上的新的已知條件，再次求解如下c和d問題：

步驟4 此時(shí)2個(gè)問題分別求出

步驟5 若｜u0－u1｜＜ε，停止計(jì)算，u1即為所求.否則重復(fù)重復(fù)上述步驟直到前后2次求得的值相差小于給定的ε.

步驟2和步驟5步利用通用的直接邊界元法求解，其邊界積分方程為

2 邊界積分方程的數(shù)值解法

用常單元離散求解［5］，邊界積分方程為

按照常單元的特性，以每一單元上的節(jié)點(diǎn)之值u＊，q＊（i＝1，2，…，n）代替單元上的值，即在每一單元上uj，qj是常量，則有

式中：u＊，q＊為基本解及其法向?qū)?shù)，它們在每一單元上的積分應(yīng)視為已知.設(shè)

這就是離散后得到的代數(shù)方程組.內(nèi)部點(diǎn)的位勢的離散形式為

設(shè)（xi，yi）是i點(diǎn)坐標(biāo)，（x，y）則是邊界上任一點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)u滿足Laplace方程，在Ω內(nèi)及Γ上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù).由是基本解［6］，由u＊的表達(dá)式知

要求解給出的線性方程組，必須求解上面推出的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng).

由

因?yàn)槭笍絩的變化方向總是與Γi的法向n垂直，故＾Hii＝0，于是

如果設(shè)單元長度為Γi，則在量綱一的量坐標(biāo)ξ下

式中：d為矢徑r在單位法向n方向上的投影，即為i點(diǎn)到單元Γj的距離；wm為給定的權(quán)，也稱求積系數(shù).

非對(duì)角元Gij利用如下的解析法計(jì)算.

3 算 例

一個(gè)混凝土水壩如圖2所示，計(jì)算水壩下水經(jīng)過2種介質(zhì)的滲流，上層介質(zhì)為均質(zhì)的，下層介質(zhì)為正交各向異性的，利用編制的非重疊區(qū)域分解邊界元程序計(jì)算公共層面的流速，繪制等勢線圖并與文獻(xiàn)［7］的等勢圖做比較.

圖2 通過混凝土水壩底部的滲流圖（單位：m）

將研究區(qū)域分2個(gè)子區(qū)域，整個(gè)內(nèi)外邊界劃分了70個(gè)常單元，計(jì)算結(jié)果見表1.

表1 公共邊界上若干點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果

另外還可以畫出壩基等勢線如下圖3，圖中x軸為水壩底部橫向位置，y軸為水壩下層介質(zhì)區(qū)域縱向位置.

圖3 水壩基地等勢線圖

計(jì)算結(jié)果等勢線圖與文獻(xiàn)［7］的比較，可以看出基本吻合，說明本文所用方法是可行的.

4 結(jié) 論

本文就非重疊區(qū)域分解和邊界元結(jié)合起來用于求滲流方程做了一些嘗試，構(gòu)造了求解滲流問題的邊界元非重疊區(qū)域分解的并行算法，最后利用自己編寫的程序，做了數(shù)值算例.得以下主要結(jié)論.

1）邊界元法需要準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)比較少，具有降維作用，可以解決奇異性問題特別適合解無限域問題以及遠(yuǎn)場計(jì)算精度高等特點(diǎn).

2）用邊界元法求解流體力學(xué)問題，因?yàn)椴恍枰趦?nèi)部剖分單元，程序處理一般比有限元法容易.

3）非重疊區(qū)域分解并行算法僅在邊界上交換數(shù)據(jù)，比有限元法簡單，該法直接利用這些邊界量作為子區(qū)域聯(lián)系的紐帶.

［1］張有天，王 鐳，陳 平.邊界元方法及其在工程中的應(yīng)用［M］.北京：水利電力出版社，1989.

［2］楊德全，趙忠生.邊界元理論及應(yīng)用［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2002.

［3］錢孝星.水文地質(zhì)計(jì)算［M］.北京：水利電力出版社，1993.

［4］呂 濤，石濟(jì)民，林振寶.區(qū)域分解算法：偏微分方程數(shù)值解新技術(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，1992.

［5］祝家麟.橢圓邊值問題的邊界元分析［M］.北京：科學(xué)出版社，1991.

［6］BREBBIA C A.The boundary element method for engineers［M］.London：Pentech Press，1978.

［7］BREBBIA C A.Heat transfer，fluid flow and electrical applications［M］.London：Computational Mechanics Publications，1988.