高 磊，解培中

GAO Lei,JIE Peizhong

南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，南京210003

College of Telecommunications& Information Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China

1 引言

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技術(shù)因其能極大提高無(wú)線通信系統(tǒng)容量而成為未來(lái)通信的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。然而在多用戶的通信系統(tǒng)中，多用戶使用同一頻帶通信，會(huì)在用戶的接收端造成共信道干擾（Co-channel Interference，CCI）。當(dāng)基站通過(guò)互易或者反饋獲得CSI 信息時(shí)，通過(guò)協(xié)作多個(gè)共信道中相互干擾的發(fā)射器，可以抑制共信道干擾，從而達(dá)到提高和速率的目的[2]，這也就是預(yù)編碼技術(shù)。

經(jīng)典的預(yù)編碼算法如迫零算法[3]和塊對(duì)角化算法[4]能完全消除共信道干擾，但缺點(diǎn)在于基站的發(fā)射天線數(shù)不得小于各空間復(fù)用用戶接收天線之和，這不符合現(xiàn)代通信的要求。為解決這一問(wèn)題，研究者們開(kāi)辟了新的研究方向。文[5]指出博弈論是無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中分析資源沖突最合適的方法，并指出兩用戶干擾條件下（MISO-IC）信道的納什均衡解是兩個(gè)極限解，文[2]將信道擴(kuò)展到MIMO條件下，并給出了分布式信道優(yōu)化波束成形解。文獻(xiàn)[6]分析了基于信道反轉(zhuǎn)的BD 算法與基于SVD 分解的算法之間的聯(lián)系，并提出了適用于MIMO 廣播信道條件下的預(yù)編碼設(shè)計(jì)。另一個(gè)研究的熱點(diǎn)是干擾對(duì)齊，干擾對(duì)齊是將期望信號(hào)與干擾信號(hào)約束到各自子空間的方法，文獻(xiàn)[7]根據(jù)干擾對(duì)齊的概念，在三個(gè)用戶的構(gòu)架下利用全局搜索和最小弦距離的方法設(shè)計(jì)預(yù)編碼，接收端濾波器則用迫零法設(shè)計(jì)，這樣就不可避免有上述迫零法的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[8-11]運(yùn)用子空間的思想，通過(guò)分布式迭代泄漏的干擾功率量或信號(hào)空間距離使得期望信號(hào)空間與干擾信號(hào)空間的距離最大來(lái)實(shí)現(xiàn)算法的設(shè)計(jì)，需要特別指出的是文[10]中算法迭代的目標(biāo)函數(shù)是信號(hào)功率和干擾功率的組合，兩者的組合系數(shù)依托于經(jīng)驗(yàn)值，信道的時(shí)變性為算法實(shí)現(xiàn)帶來(lái)很大挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[12]是在文[11]的基礎(chǔ)上引入了格拉斯曼流型的思想來(lái)尋找迭代的最快的下降方向，但算法中對(duì)步長(zhǎng)的選擇較為苛刻。文獻(xiàn)[13]中提出了基于最小均方誤差準(zhǔn)則的算法，在天線數(shù)目較多的時(shí)候，拉格朗日乘子的計(jì)算量大幅增加。文獻(xiàn)[14]綜合了文[8]和[13]的想法，通過(guò)最小噪聲泄漏的方法求得發(fā)送端預(yù)編碼，并根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)接收端的濾波器。除此之外，文獻(xiàn)[15]根據(jù)矩陣擾動(dòng)理論，在慢衰落信道情況下，將波束跟蹤思想引入干擾對(duì)齊算法設(shè)計(jì)中，然而該設(shè)計(jì)方法并不適用于信道快速變化的情況。

本文主要研究多用戶MIMO 干擾信道下行鏈路的預(yù)編碼設(shè)計(jì)，假設(shè)一個(gè)中心單元已知全部的CSI，即預(yù)編碼和接收濾波矩陣是在已知基站和用戶之間所有CSI 的情況下協(xié)作運(yùn)算獲得，這是一種分布式的思想。文中將多數(shù)據(jù)流的預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換成單數(shù)據(jù)流的預(yù)編碼矢量設(shè)計(jì)[16]，受文獻(xiàn)[2]啟發(fā)本文根據(jù)虛擬信干噪比和實(shí)際信干噪比最大原則（為了和虛擬信干噪比這個(gè)概念相對(duì)應(yīng)，文中將通常所說(shuō)的接收端接收信號(hào)的信干噪比稱為實(shí)際信干噪比，這樣第3 章所提算法可稱為最大虛實(shí)信干噪比迭代算法），提出了MIMO 干擾信道下分布式預(yù)編碼算法。此外，在最大虛擬信噪比和最小均方誤差的條件下給出了另一種迭代算法。

全文中，黑斜體小寫字母表示向量，黑斜體大寫字母表示矩陣，I表示是單位陣，C表示復(fù)數(shù)域，E(·)表示期望，‖A‖ 表示求矩陣A的F范數(shù)，AH表示A的共軛轉(zhuǎn)置，Vmax{A}表示A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。

2 系統(tǒng)模型

文中使用的K用戶MIMO 干擾信道下行鏈路模型如圖1 所示。

設(shè)有K個(gè)發(fā)送接收對(duì)，每個(gè)發(fā)射機(jī)對(duì)應(yīng)一個(gè)接收機(jī)，第l個(gè)發(fā)射機(jī)配置Nl根天線，第l個(gè)接收機(jī)配置Ml根天線，為簡(jiǎn)化分析，設(shè)M1=Ml=…=M，N1=Nl=…=N。發(fā)射機(jī)k發(fā)送的數(shù)據(jù)流表示為sk，一次發(fā)送數(shù)據(jù)流為dk，則，其中dk≤min(M，N)。

圖1 三用戶MIMO 干擾信道

發(fā)射機(jī)k先用線性預(yù)編碼器，將符號(hào)sk映射到N根發(fā)送天線上，則有：

然后將維數(shù)為N×1 的矢量xk廣播到信道中。

本文考慮窄帶MIMO 干擾信道，每條通信鏈路在發(fā)送數(shù)據(jù)期間是靜態(tài)的，但數(shù)據(jù)成功發(fā)送后可以改變，即塊衰落模型，假設(shè)系統(tǒng)中所有發(fā)射機(jī)同步發(fā)送且通信網(wǎng)絡(luò)中無(wú)頻率偏移。式（1）中sk是獨(dú)立同分布的且滿足，預(yù)編碼矩陣滿足，為簡(jiǎn)化分析，設(shè)發(fā)送功率P1=Pk=…=P，數(shù)據(jù)流d1=dk=…=d，則接收端k所接收到的信號(hào)為：

式中Hki∈CM×N發(fā)射機(jī)i到接收機(jī)k之間的信道矩陣，本文假設(shè)信道為瑞利衰落分布，Hki中元素是零均值、方差為1 的獨(dú)立同分布復(fù)高斯變量。vk是均值為零方差為的復(fù)加性高斯白噪聲，滿足。Uk∈CM×d表示接收端k的接收濾波矩陣滿足。式中第一項(xiàng)表示期望信號(hào)，第二項(xiàng)為用戶間干擾信號(hào)，第三項(xiàng)為噪聲信號(hào)。

將多數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)換為單數(shù)據(jù)流，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，式（1）可以改寫為：

3 算法設(shè)計(jì)

3.1 最大虛擬信干噪比和實(shí)際信干噪比的迭代算法

干擾對(duì)齊這一技術(shù)的出現(xiàn)為現(xiàn)代通信中的干擾管理提供了新的思路，滿足干擾對(duì)齊的預(yù)編碼矩陣和接收濾波器需要滿足式（5）～（6）的條件[16]：

然而現(xiàn)有干擾對(duì)齊的算法大多都專注于信號(hào)空間的對(duì)齊（即將期望信號(hào)和干擾信號(hào)盡可能地約束到各自的子空間）和尋找更多維數(shù)的抗干擾子空間[16]，而對(duì)于如何使得期望信號(hào)子空間內(nèi)的期望信號(hào)功率最大，并沒(méi)有做過(guò)多的研究和嘗試。本文考慮一種干擾對(duì)齊算法的自然擴(kuò)展，優(yōu)化的目標(biāo)從最小噪聲泄漏轉(zhuǎn)變?yōu)樾鸥稍氡茸畲螅墨I(xiàn)[16]中給出一種最大信干噪比算法，但是該算法要求信道互易，這使得算法應(yīng)用有一定的局限性，下面介紹本文的方法。

根據(jù)式（4）可得到接收機(jī)k接收到目標(biāo)發(fā)射機(jī)發(fā)送的第m個(gè)數(shù)據(jù)流的信干噪比為：

上式給出了接收端實(shí)際信干噪比表達(dá)式，其中分子表示接收端接收到的期望鏈路的信號(hào)功率，分母表示其他通信鏈路對(duì)期望鏈路的干擾功率之和，下面給出虛擬信干噪比的概念，仿照式（7）在發(fā)送端定義一個(gè)虛擬的信干噪比，即分子為期望鏈路信號(hào)功率不變，而分母變?yōu)榘l(fā)射機(jī)k發(fā)送的信號(hào)對(duì)其他通信鏈路的干擾功率之和，那么發(fā)射機(jī)k發(fā)射第m個(gè)數(shù)據(jù)流時(shí)的虛擬信干噪比可表示為：

當(dāng)場(chǎng)景為噪聲受限時(shí)式（8）退化為信干比SIR，當(dāng)場(chǎng)景為干擾受限時(shí)式（8）退化為SNR。虛擬信干噪比可以近似看作系統(tǒng)的上行鏈路，即基站k用處理接收信號(hào)時(shí)的SINR；從另一角度來(lái)看，發(fā)射機(jī)發(fā)送的信號(hào)在目標(biāo)接收端被視為有用的信號(hào)接收，在其他接收端被視為無(wú)用的干擾濾除，如此虛擬信干噪比亦在某種程度上近似地反映了基站發(fā)送的信號(hào)功率在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的利用率。在實(shí)際優(yōu)化中希望干擾噪聲功率盡可能小，期望信號(hào)功率盡可能大，即發(fā)送端預(yù)編碼向量要使式（8）最大：

求式（9）可得發(fā)射機(jī)k第m個(gè)數(shù)據(jù)流對(duì)應(yīng)的預(yù)編碼向量為式（10）。

證明式（8）可以改寫為式（11），觀察式（11）可知這是個(gè)求解廣義瑞利商的問(wèn)題，則式（10）得證。

同理可以得到接收機(jī)k接收到的信號(hào)的第m個(gè)數(shù)據(jù)流對(duì)應(yīng)的濾波向量為式（13）。

算法迭代步驟如下：

最大虛實(shí)信干噪比迭代算法

1.初始化接收濾波矩陣Uk∈CM×d，Uk的列向量是線性獨(dú)立同分布的單位向量。

2.根據(jù)式（10）以及步驟1 中的Uk求得發(fā)送端k第m個(gè)數(shù)據(jù)流的預(yù)編碼向量，并對(duì)所得的進(jìn)行施密特正交化，?k∈{1，2，…，K}，?m∈{1，2，…，d}。

4.重復(fù)步驟2～3，直至迭代結(jié)束。

5.輸出Fk，Uk，?k∈{1，2，…，K}。

3.2 虛擬信干噪比和MMSE 混合迭代算法

由虛擬信干噪比的定義式（8）可知，虛擬信干噪比可視作發(fā)送信號(hào)在目標(biāo)接收端的利用率，通過(guò)使發(fā)送信號(hào)在目標(biāo)接收端的利用率最大，就相對(duì)地減少了對(duì)其他接收端的干擾，實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制。在接收端使用MMSE 算法可使接收信號(hào)誤差最小，通過(guò)兩者的迭代可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的抑制，文獻(xiàn)[14]中所述的算法亦是利用該方法，通過(guò)最小噪聲泄漏和MMSE 混合迭代以實(shí)現(xiàn)算法設(shè)計(jì)。

利用以上思想，本章用虛擬信干噪比最大的方法獲得預(yù)編碼，同時(shí)滿足接收端接收信號(hào)與期望信號(hào)之間均方誤差最小的可表示為：

由式（13）得

算法迭代步驟如下：

虛擬信干噪比和MMSE 混合算法

1.初始化接收濾波矩陣Uk∈CM×d，Uk的列向量是線性獨(dú)立同分布的單位向量。

2.根據(jù)式（10）以及步驟1 中的Uk求得發(fā)送端k第m個(gè)數(shù)據(jù)流的預(yù)編碼向量，并對(duì)所得的Fk進(jìn)行施密特正交化，?k∈{1，2，…，K}，m∈{1，2，…，d}。

4.重復(fù)步驟2～3，直至迭代結(jié)束。

5.輸出Fk，Uk，?k∈{1，2，…，K}。

3.3 算法復(fù)雜度和收斂性分析

根據(jù)兩種算法的推導(dǎo)，相同情況下虛擬信干噪比和MMSE 混合算法的復(fù)雜度比最大虛實(shí)信干噪比算法低一些，因?yàn)樗苊饬饲蠼饩仃囂卣髦档倪\(yùn)算。與文獻(xiàn)[8]中經(jīng)典的最優(yōu)子空間算法相比，當(dāng)天線數(shù)M=N、發(fā)送數(shù)據(jù)流d=1 時(shí)，最大虛實(shí)信干噪比算法在每次迭代中比子空間最優(yōu)算多4 次矩陣相乘運(yùn)算和一次矩陣求逆運(yùn)算對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度分別為3?O(N3)+O(N2)和O(N3)，由下一章節(jié)仿真結(jié)果部分可知，算法收斂所需迭代次數(shù)與最優(yōu)子空間算法相近，和速率性能較后者有大幅度的提高。當(dāng)數(shù)據(jù)流數(shù)大于1 時(shí)，提出的兩種算法較之其他算法性能仍有較大的提升，但是其復(fù)雜度也會(huì)隨之提高。

文中算法的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為信干噪比，在使分子盡可能大的同時(shí)希望分子盡可能的小，該情況下很難用理論方法證明算法的收斂性，本文參照了文獻(xiàn)[14]中說(shuō)明算法收斂性的方法，通過(guò)仿真得出算法的和速率隨迭代次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定，出現(xiàn)了平臺(tái)效應(yīng)，由此可以說(shuō)明算法是收斂的。

4 仿真

本章對(duì)所提出的算法進(jìn)行仿真分析，所有的仿真結(jié)果都是在每個(gè)信道為獨(dú)立同分布方差為1 的復(fù)高斯系數(shù)前提下評(píng)估期望和速率。為了給算法性能提供一個(gè)統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)以方便性能的比較，文章中沿用文獻(xiàn)[8]和速率的公式如式（18）：

圖2 顯示的是最大虛實(shí)信干噪比迭代法、虛擬信干噪比與MMSE混合法與子空間最優(yōu)算法[8]、AMIA算法[11]以及最小干擾泄漏和MMSE 混合算法[14]的和速率隨信噪比變化趨勢(shì)，為公平起見(jiàn)，圖中迭代算法的迭代次數(shù)均為100 次，使用MIMO 信道模型為[4×4，1]3，其中4×4表示M×N=4×4，1 表示發(fā)送數(shù)據(jù)流d=1，上標(biāo)3 表示三個(gè)用戶。由圖2 可知d=1 時(shí)，文中的兩種算法的和速率性能相接近且較之最小干擾泄漏MMSE 混合算法、子空間最優(yōu)算法以及AMIA 算法有很大幅度的提高，同時(shí)由文[13]、[14]可知最小干擾泄漏和MMSE 混合算法性能優(yōu)于文[13]中給出的最小均方誤差迭代算法。故而文中的算法性能亦優(yōu)于文[13]中的最小均方誤差迭代算法。圖3 顯示的是發(fā)送多數(shù)據(jù)流時(shí)的性能曲線，即[6×6，3]3信道模型下，上述幾種算法的和速率隨信噪比變化曲線圖，從圖中可以看出，各算法曲線的相對(duì)位置與圖2 基不變。

圖2 [4×4，1]3 情況下和速率與信噪比的關(guān)系

圖3 [6×6，3]3 情況下和速率與信噪比的關(guān)系

圖4 [6×6，2/3]3 時(shí)和速率與信噪比的關(guān)系

圖4 顯示的是測(cè)試三用戶M×N=6×6 條件下，上述各種算法的和速率隨信噪比變化曲線圖，不同的在于本次測(cè)試對(duì)發(fā)送不同數(shù)據(jù)流的情況進(jìn)行了比較，圖中虛線的發(fā)送數(shù)據(jù)流d=2，實(shí)線的發(fā)送數(shù)據(jù)流d=3，數(shù)值仿真曲線表明，在發(fā)送數(shù)據(jù)流d=2 的情況下，本文提出的算法性能較之其他算法有很明顯的提升，提升的幅度大于發(fā)送數(shù)據(jù)流d=3 時(shí)的情況。多次數(shù)值仿真測(cè)試表明：測(cè)試環(huán)境相同時(shí)，同一種算法在發(fā)送數(shù)據(jù)流不大于算法自由度[17]的條件下，發(fā)送數(shù)據(jù)流數(shù)越多，和速率就越大，文中算法性能較之其他算法提升幅度越小。

圖5 [6×6，3]3 不同迭代次數(shù)情況下和速率與信噪比的關(guān)系

圖5 和圖6 測(cè)試的是迭代次數(shù)對(duì)算法性能的影響，圖5 表示的是在[6×6，3]3條件下，增大文中算法的迭代次數(shù)時(shí)和速率性能變圖4[6×6，2/3]3時(shí)和速率與信噪比的關(guān)化曲線，虛線和實(shí)線分別表示迭代200 次和100 次情況下的曲線圖。由圖可知，文中提出的算法在迭代次數(shù)增加時(shí)，其和速率仍有提高，但幅度較小，此時(shí)以犧牲運(yùn)算復(fù)雜度來(lái)提高系統(tǒng)容量。圖6 則更為直觀地表示在[4×4，2]3條件下，信噪比為20 dB 時(shí)，子空間最優(yōu)法以及文中算法的和速率隨迭代次數(shù) 的變化趨勢(shì)，觀察圖中曲線，再次驗(yàn)證了文中算法性能優(yōu)于子空間最優(yōu)法。在迭代次數(shù)為100 次時(shí)和速率上升趨勢(shì)不再明顯，迭代次數(shù)增加到200 次時(shí)性能僅有微小幅度的提高，之后趨于穩(wěn)定，這也驗(yàn)證了算法的收斂性。

圖6 [4×4，2]3 信噪比不變時(shí)和速率與迭代次數(shù)的關(guān)系

5 結(jié)論

本文提出了基于虛擬信干噪比以及MMSE 準(zhǔn)則的迭代算法，給出了算法推導(dǎo)過(guò)程，借助數(shù)值仿真評(píng)估了其性能，仿真結(jié)果表明其性能優(yōu)于最優(yōu)小子空間、AMIA、以及最小均方誤差迭代等算法，特別是在發(fā)送數(shù)據(jù)流小于算法自由度時(shí)性能提升更為明顯。未來(lái)的工作可以進(jìn)一步考慮在信道估計(jì)有誤差時(shí)預(yù)編碼矩陣的調(diào)整策略。

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