劉 五 祥

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092)

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新型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)裝置的研制與應(yīng)用

劉 五 祥

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092)

介紹了一種新型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)裝置的工作原理、性能和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。該實(shí)驗(yàn)裝置由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀、霍爾感應(yīng)器和多功能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀組成。應(yīng)用霍爾傳感器結(jié)合多功能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀自動(dòng)記錄剛體在一定轉(zhuǎn)動(dòng)力矩作用下，轉(zhuǎn)過(guò)π角位移時(shí)刻，測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與原有測(cè)量裝置相比，可消除較大部分系統(tǒng)誤差和偶然誤差，使數(shù)據(jù)接近真值、測(cè)量方便、重復(fù)性好、節(jié)省時(shí)間、效率高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，所研制的實(shí)驗(yàn)裝置具有較好的實(shí)驗(yàn)性和可靠性。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 霍爾感應(yīng)器； 多功能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀； 剛體

0 引 言

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是日常生活和工程問(wèn)題中普遍存在的一個(gè)問(wèn)題，所涉及的相關(guān)因素也較多(如物體材質(zhì)、質(zhì)量分布、繞軸運(yùn)動(dòng)等等)。因此，在理論力學(xué)的課程學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是個(gè)比較抽象而又難于理解的內(nèi)容[1-2]。正確測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于了解物體轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律、機(jī)械設(shè)計(jì)制造有著非常重要的意義。然而在實(shí)際工程中，大多數(shù)物體的幾何形狀都不是規(guī)則的，難以直接用理論公式算出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，只能借助于實(shí)驗(yàn)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，在工程技術(shù)中，用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就十分重要了。于華等[3]利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀和電腦計(jì)時(shí)、計(jì)速儀來(lái)測(cè)量數(shù)據(jù)，用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和平行移動(dòng)軸定理推導(dǎo)新的線性方程，再用方程中的自變量和變量關(guān)系進(jìn)行畫圖，成一條斜直線，從而間接地驗(yàn)證了轉(zhuǎn)動(dòng)定律和平行移軸定理成立，計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。劉偉[4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得質(zhì)量(m)和時(shí)間(t)，作m-l/t2的曲線圖，得到一直線，則由實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明轉(zhuǎn)動(dòng)定律成立，且可由斜率求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。鄧鋰強(qiáng)[5]利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有儀器，對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀進(jìn)行改裝，并提出新的實(shí)驗(yàn)原理，可以對(duì)阻力矩進(jìn)行修正，并利用該實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。萬(wàn)志龍[6]以三線擺測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)為例系統(tǒng)地討論了不確定度，并給出了計(jì)算方法；分析了不確定的來(lái)源，并提出了改進(jìn)措施。張勇等[7]利用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，在建立了單軸氣浮臺(tái)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與時(shí)間關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了一種基于單軸氣浮臺(tái)利用能量衰減測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的新方法。通過(guò)理論推導(dǎo)得出了測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)計(jì)算式，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。李化義等[8]研究了扭振法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量?jī)x,其不需要測(cè)量幅值,根據(jù)振蕩周期就能給出高精度的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果，介紹了它的工作原理,并且詳細(xì)分析了測(cè)量系統(tǒng)的誤差,給出了相鄰周期誤差的估計(jì)公式。李剛常等[9]分析了三線擺扭振系統(tǒng)質(zhì)心偏移對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試的影響,給出了扭振系統(tǒng)質(zhì)心與三線擺中心軸對(duì)齊的判別準(zhǔn)則和用三線擺測(cè)定物體對(duì)非質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的工程實(shí)用方法。龐學(xué)霞等[10]在用恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)中,分析了細(xì)線直徑對(duì)剛體所受恒力矩的影響,并給出了實(shí)驗(yàn)誤差允許的細(xì)線直徑范圍。劉巍等[11]針對(duì)空氣阻力以及機(jī)構(gòu)阻力對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量精度的影響,結(jié)合雙目視覺(jué)與復(fù)擺運(yùn)動(dòng)理論,提出一種基于雙目視覺(jué)理論的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量方法。畢江林等[12]研究了三線擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差影響因素并對(duì)誤差的來(lái)源和原因進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)驗(yàn)操作提出了一些改進(jìn)的方法，以提高實(shí)驗(yàn)的精度。歐陽(yáng)錫城[13]以剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)為例，比較3種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)人員選擇最佳的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法提供借鑒。劉超等[14]通過(guò)對(duì)慣性積張量及各分量的測(cè)量進(jìn)行討論,對(duì)扭擺法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量誤差進(jìn)行了評(píng)估。唐軍杰等[15]給出了一個(gè)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體模型，用數(shù)值方法研究了在恒力矩作用下變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。

本文介紹的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀，應(yīng)用霍爾開(kāi)關(guān)傳感器結(jié)合計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)多功能毫秒儀自動(dòng)記錄剛體在一定轉(zhuǎn)矩作用下，轉(zhuǎn)過(guò)π角位移的時(shí)刻，測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置工作原理

(1) 轉(zhuǎn)動(dòng)力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的關(guān)系。整個(gè)系統(tǒng)以及砝碼的受力如圖2所示，系統(tǒng)在外力矩作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

由牛頓第二定律，可知砝碼下落時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

mg-T=ma

即繩子的張力，

砝碼與系統(tǒng)脫離后的運(yùn)動(dòng)方程：

Mμ=Jβ1

(2)

1-滑輪,2-滑輪高度和方向調(diào)節(jié)組件,3-掛線,4-鋁質(zhì)圓盤形載物臺(tái),5-加力矩砝碼,6-塔輪上的繞線,7-繞線塔輪組,8-磁鋼，相對(duì)霍爾開(kāi)關(guān)傳感器時(shí)，傳感器輸出低電平,9-霍爾開(kāi)關(guān)傳感器，紅線接毫秒儀+5V接線柱，黑線接GND接線柱，黃線接INPUT接線柱,10-傳感器固定架，裝有磁鋼，可任意放置于鐵質(zhì)底盤上,11-實(shí)驗(yàn)樣品水平調(diào)節(jié)旋鈕,12-毫秒儀次數(shù)預(yù)置拔碼開(kāi)關(guān)，可預(yù)設(shè)1～64次,13-次數(shù)顯示，00為開(kāi)始計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí),14-時(shí)間顯示，與次數(shù)相對(duì)應(yīng)，時(shí)間為開(kāi)始計(jì)時(shí)的累計(jì)時(shí)間,15-計(jì)時(shí)結(jié)束后，次數(shù)+1查閱鍵，查閱對(duì)應(yīng)次數(shù)的時(shí)間,16-毫秒儀復(fù)位鍵，測(cè)量前和重新測(cè)量時(shí)可按該鍵,17-+5V電源接線柱,18-電源GND(地)接線柱,19-INPUT輸入接線柱, 20-輸入低電平指示,21-計(jì)時(shí)結(jié)束后，次數(shù)-1查閱鍵，查閱對(duì)應(yīng)次數(shù)的時(shí)間

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖

圖2 受力分析圖

由方程(1)和(2)可得：

(3)

(2) 角速度的測(cè)量。

(4)

若在t1、t2時(shí)刻測(cè)得角位移θ1、θ2，則：

(5)

(6)

所以，由方程(5)和(6)可得：

(7)

(3) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的理論公式。

① 設(shè)圓形試件，質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為M，其對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，外徑為D1，內(nèi)徑為D2，則：

(8)

② 平行軸定理。設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，當(dāng)有M1的部分質(zhì)量原理轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)d的距離后，則體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(9)

2 實(shí)驗(yàn)步驟

2.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

在桌面上放置IM-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀，利用基座上的3顆調(diào)平螺釘將儀器調(diào)平。將滑輪支架固定在實(shí)驗(yàn)臺(tái)面邊緣，調(diào)整滑輪高度及方位，使滑輪槽與選取的繞線塔輪槽等高，且其方位相互垂直。通用電腦計(jì)時(shí)器上光電門的開(kāi)關(guān)應(yīng)接通，另一路斷開(kāi)作備用。當(dāng)用于本實(shí)驗(yàn)時(shí)，建議設(shè)置1個(gè)光電脈沖記數(shù)1次，1次測(cè)量記錄約20組數(shù)。

2.2 測(cè)量并計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(1) 放置儀器，滑輪置于實(shí)驗(yàn)臺(tái)外3～4 cm處，調(diào)節(jié)儀器水平。設(shè)置毫秒儀計(jì)數(shù)次數(shù)。

(2) 連接傳感器與計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀，調(diào)節(jié)霍爾開(kāi)關(guān)與磁鋼間距為0.4～0.6 cm，轉(zhuǎn)離磁鋼，復(fù)位毫秒儀，轉(zhuǎn)動(dòng)到磁鋼與霍爾開(kāi)關(guān)相對(duì)時(shí)，毫秒儀低電平指示燈亮，開(kāi)始計(jì)時(shí)和計(jì)數(shù)。

(3) 將質(zhì)量m=100 g砝碼的一端打結(jié)，沿塔輪上開(kāi)的細(xì)縫塞入，并整齊地繞于半徑為r的塔輪。

(4) 調(diào)節(jié)滑輪的方向和高度，使掛線與繞線塔輪相切，掛線與繞線輪的中間呈水平。

(5) 釋放砝碼，砝碼在重力作用下帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)體系做加速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

(6) 計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀自動(dòng)記錄系統(tǒng)從0π開(kāi)始作1π，2π，…角位移相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。

2.3 測(cè)量并計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)放上試樣后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將待測(cè)試樣放上載物臺(tái)并使試樣幾何中心軸與轉(zhuǎn)動(dòng)軸中心重合，按與測(cè)量空實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同樣的方法可分別測(cè)量砝碼作用下的角加速度β2與砝碼脫離后的角加速度β1，由式(3)可計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)放上試樣后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，再減去實(shí)驗(yàn)步驟(2)中算得的空實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即可得到所測(cè)試樣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將該測(cè)量值與理論值比較，計(jì)算測(cè)量值的相對(duì)誤差。

2.4 驗(yàn)證平行軸定理

將兩圓柱體對(duì)稱插入載物臺(tái)上與中心距離為d的圓孔中，測(cè)量并計(jì)算兩圓柱體在此位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將測(cè)量值與理論計(jì)算值比較，計(jì)算測(cè)量值的相對(duì)誤差。

2.5 驗(yàn)證剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān)

通過(guò)改變塔輪直徑對(duì)轉(zhuǎn)盤施加不同的外力矩，測(cè)定在不同外力矩下轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，與理論值進(jìn)行比較，在一定允許的誤差范圍內(nèi)驗(yàn)證結(jié)論。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

空盤與圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 空盤和圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(塔輪直徑40 mm)

rad/s

由表1可得：J盤=0.021 67 kg·m2，

J盤+環(huán)=0.031 58 kg·m2?J環(huán)=J盤+環(huán)-J盤=0.009 91 kg·m2

誤差：

3.1 驗(yàn)證平行軸定理

圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 測(cè)量圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由表2可得：

J盤+柱近=0.023 16 kg·m2?J柱近=J盤+柱近-J盤= 0.001 49 kg·m2

J盤+柱中=0.027 07 kg·m2?J柱中=J盤+柱中-J盤=0.005 40 kg·m2

而

J盤+柱遠(yuǎn)=0.033 52 kg·m2?J柱遠(yuǎn)=J盤+柱遠(yuǎn)-J盤=0.011 85 kg·m2

3.2 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān)

測(cè)量空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

表3 空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(塔輪直徑50 mm) rad/s

由表3可得：J盤1=0.021 74 kg·m2。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，圓環(huán)的質(zhì)量680 g，其內(nèi)外直徑分別為175 mm和215 mm,圓柱體的質(zhì)量為400 g，其直徑為38mm。經(jīng)過(guò)理論計(jì)算，給定圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值0.009 55 kg·m2，表1測(cè)出的實(shí)驗(yàn)值0.009 91 kg·m2，絕對(duì)誤差3.8%。在驗(yàn)證平行軸定理公式時(shí)，從表2可以發(fā)現(xiàn)，圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)隨著其離開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)軸心越來(lái)越遠(yuǎn)而變得越來(lái)越大，并且精度也會(huì)更高。從表1和表3兩次測(cè)得的空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，幾乎是一致的，即驗(yàn)證了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是與外力矩?zé)o關(guān)的。每個(gè)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)與理論值之間的誤差也都在工程允許的范圍之內(nèi)(5%)。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，所研制的實(shí)驗(yàn)裝置具有較好的可靠性和實(shí)驗(yàn)性。

4 結(jié) 語(yǔ)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法就顯得更為重要。本實(shí)驗(yàn)儀提供了一種測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的新方法，是開(kāi)展研究型實(shí)驗(yàn)教學(xué)的新儀器。

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Development and Application of a New Rotational Inertia Test Instrument

LIUWu-xiang

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A new rotational inertia test instrument is designed, and principle of its operation, property and test result are introduced. The experimental device is composed of rotational inertia test instrument, Holl sensor and a multi-function instrument which can complete timing and counting with millisecond level. Holl sensor and multifunctional timing and counting millisecond instrument can automatically record the moment that rigid body has π angular displacement under a certain turning torque, and determinate the angular acceleration and the rotational inertia of rigid body. Compared with the original measuring device, it can eliminate most system error and random error, and it has the advantages of time saving, convenient measurement, good repeatability, high efficiency and so on. The experimental results also show that the instrument has good practicality and reliability.

moment of inertia; Holl sensor; multi-function timing and counting milliseconds instrument; rigid body

2014-07-04

同濟(jì)大學(xué)第七期精品實(shí)驗(yàn)教改項(xiàng)目

劉五祥(1976-)，男，湖南岳陽(yáng)人，副教授，現(xiàn)主要從事新型材料的力學(xué)數(shù)值模擬和理論研究。

Tel.:021-65982267；E-mail:wxliu@#edu.cn

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1006-7167(2015)05-0063-04