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基于"窮舉-非線性擬合"算法下的太陽(yáng)影子定位分析①

2015-04-14 08:05鄭玉棒張圣梅張書琴李春忠
關(guān)鍵詞:直桿經(jīng)度影子

鄭玉棒,張圣梅,汪 婷,張書琴,李春忠

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 蚌埠233030;2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院,安徽 蚌埠233030)

0 引 言

太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化,確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法.太陽(yáng)的光照方向與影子的朝向相反,如果日出東北,那么影子就是朝西南,如果日落西北,那么影子就朝東南.所以影子的朝向通常被用來(lái)判斷日出日落的方向,進(jìn)而用來(lái)判斷太陽(yáng)直射點(diǎn)所處的半球.太陽(yáng)的高度角會(huì)影響到物體影子的長(zhǎng)度,太陽(yáng)的高度角越小,影子越長(zhǎng),反之則影子越短.一天中太陽(yáng)高度在日出和日落時(shí)都為0°,影子是最長(zhǎng)的;而正午時(shí)太陽(yáng)高度最大,此時(shí)的影子是一天中最短的.

1 數(shù)據(jù)來(lái)源與模型假設(shè)

本文數(shù)據(jù)均來(lái)自于2015 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A 題[1].為了合理的解決問題,提出以下幾點(diǎn)假設(shè):(1)在較短的時(shí)間內(nèi),不考慮太陽(yáng)直射點(diǎn)的移動(dòng);(2)太陽(yáng)直射點(diǎn)做回歸運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)速度是均勻的;(3)不考慮大氣折射率以及所給數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差;(4)不考慮拍攝影子視頻時(shí)人為帶來(lái)角度差.

2 影子長(zhǎng)度變化過程的分析模型

首先,分析得到影子長(zhǎng)度與太陽(yáng)高度角、直桿長(zhǎng)度的關(guān)系式;其次確定太陽(yáng)高度角關(guān)于參數(shù)地理緯度、太陽(yáng)赤緯、時(shí)角的表達(dá)式;從而通過聯(lián)立方程式得到影子長(zhǎng)度變化的決定公式;然后利用影子長(zhǎng)度決定公式畫出2015 年10 月22 日北京時(shí)間9:00-15:00 之間天安門廣場(chǎng)3 米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線.

2.1 研究方法

(1)影子長(zhǎng)度計(jì)算公式

太陽(yáng)高度角即為地面太陽(yáng)光線與水平地面的夾角,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系,可以得到直桿影子長(zhǎng)度計(jì)算公式

其中:l 為直桿影子長(zhǎng)度,h 為太陽(yáng)高度角,d 為直桿高度.

(2)太陽(yáng)高度角計(jì)算公式

太陽(yáng)高度角是我們觀察太陽(yáng)時(shí)的仰角,隨太陽(yáng)赤緯、時(shí)角和地理緯度的變化而變化(太陽(yáng)赤緯與地理緯度均是北緯為正,南緯為負(fù)),由球面三角形余弦公式[3]可知

公式(2)化簡(jiǎn)即有

其中:w 為地理緯度,β 為太陽(yáng)赤尾(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度),γ 為時(shí)角.

1)太陽(yáng)赤緯的確定

①太陽(yáng)直射點(diǎn)的移動(dòng)速度

每年太陽(yáng)直射點(diǎn)在南北回歸線之間運(yùn)動(dòng)度數(shù)為23°26′×4=93°44′=93.733°,一年以365 天記,得到太陽(yáng)直射點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為

②根據(jù)日期確定太陽(yáng)直射點(diǎn)

根據(jù)太陽(yáng)直射點(diǎn)在南北回歸線之間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,結(jié)合太陽(yáng)直射點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度,可以求出具體日期對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)直射點(diǎn)所在緯度.

2)時(shí)角的確定

通過相關(guān)文獻(xiàn)可知,當(dāng)?shù)卣?2 點(diǎn)的時(shí)候時(shí)角是0°,前后每隔一小時(shí)增加15°,即可以得到當(dāng)直桿所處地區(qū)的時(shí)間為時(shí)的時(shí)角

假設(shè)直桿所處地區(qū)的時(shí)間為t 時(shí)對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間為t0,直桿所處地區(qū)的經(jīng)度為j.已知北京的經(jīng)度是120°E,經(jīng)度相隔15°E,地方時(shí)相差1 小時(shí),且東方時(shí)間早于西方時(shí)間,即可以得出地方時(shí)與北京時(shí)間的關(guān)系為

結(jié)合公式(4)可以得到直桿所處地區(qū)的時(shí)間t為時(shí)的時(shí)角γt與北京時(shí)間t0的關(guān)系

(3)影子長(zhǎng)度變化模型

結(jié)合公式(1),(3),(6),可得直桿的影子長(zhǎng)度與直桿長(zhǎng)度、地理緯度、地理經(jīng)度、太陽(yáng)赤緯和北京時(shí)間之間的關(guān)系式為公式(7)

其中w 為地理緯度,j 為地理經(jīng)度,β 為太陽(yáng)赤尾(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度),t0為北京時(shí)間.

公式(7)即為影子長(zhǎng)度決定公式.

圖1 直桿影子長(zhǎng)度變化曲線

2.2 結(jié)果分析

(1)畫出2015 年10 月22 日北京時(shí)間9:00-15:00 之間天安門廣場(chǎng),3 米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線

1)10 月22 日太陽(yáng)直射點(diǎn)的位置

每年秋分即9 月23 日,太陽(yáng)直射點(diǎn)均位于赤道處,分析可知,秋分經(jīng)過29 天后即為10 月22 日,隨后向南回歸線運(yùn)動(dòng),計(jì)算可知,10 月22 日太陽(yáng)直射點(diǎn)的位置

2)太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線

利用MATLAB 編程求解,可得直桿的影子長(zhǎng)度變化曲線如圖1 所示.

由于在北京時(shí)間為12 點(diǎn)16 分的時(shí)候,天安門的地方時(shí)為正午12 點(diǎn),即此刻的影子最短,故有北京時(shí)間9 點(diǎn)的影子長(zhǎng)度要長(zhǎng)于北京時(shí)間15 點(diǎn)的影子長(zhǎng)度,進(jìn)而出現(xiàn)曲線不對(duì)稱,即圖1 所示的影子長(zhǎng)度變化軌跡圖.

(2)結(jié)果的檢驗(yàn)

針對(duì)太陽(yáng)直射點(diǎn)在小范圍內(nèi)變化時(shí)作靈敏度分析圖,如圖2 所示

圖2 靈敏度分析圖

由圖2 可以看出太陽(yáng)直射點(diǎn)移動(dòng)值Δβ=0.5°時(shí),同一時(shí)刻影子長(zhǎng)度的絕對(duì)差Δl=|l-l′|<0.1m,由此可知對(duì)于假設(shè)1 在一天內(nèi)不考慮太陽(yáng)直射點(diǎn)的運(yùn)移動(dòng)導(dǎo)致的絕對(duì)誤差ε <0.05136、相對(duì)誤差ε <0.01712,由此也可說(shuō)明假設(shè)(1)的合理性.

3 根據(jù)影子坐標(biāo)確定直桿所處位置

3.1 研究思路

首先,根據(jù)影子坐標(biāo)計(jì)算影子長(zhǎng)度;其次,根據(jù)影子長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)確定當(dāng)?shù)亟?jīng)度的范圍;然后通過窮舉法確定初始位置;最后利用非線性擬合,確定最佳參數(shù),即桿最可能的位置.

3.2 研究方法

(1)計(jì)算影子長(zhǎng)度

若t 時(shí)刻太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)為(xt,yt),則在時(shí)刻影子長(zhǎng)度

圖3 "窮舉-非線性擬合"算法流程圖

(2)確定直桿所處位置的經(jīng)度范圍

由公式(5)即可以得出直桿所處位置的經(jīng)度j=120°-15(t0-t),根據(jù)影子長(zhǎng)度變化趨勢(shì)確定直桿所處位置的經(jīng)度范圍.結(jié)合附件1[1]的數(shù)據(jù),得到附件1 的經(jīng)度范圍j ∈[79°E,180°E].

(3)"窮舉-非線性擬合"算法

1)窮舉法確定初始參數(shù)

①直桿的長(zhǎng)度d 由2m 以步長(zhǎng)為1m 變動(dòng)到3m,直桿所在的緯度w 由-66.5°以步長(zhǎng)為1 依次變動(dòng)到66.5°N(北緯為正,南緯為負(fù)),直桿所在的經(jīng)度j 由79°E 以步長(zhǎng)為1 依次變動(dòng)到180°E,三個(gè)參數(shù)相互獨(dú)立變化.

②利用公式(7),計(jì)算每一組(d,w,j)對(duì)應(yīng)的影子長(zhǎng)度③計(jì)算影子長(zhǎng)度計(jì)算值與影子長(zhǎng)度實(shí)際值lt之間的可決系數(shù)

選取可決系數(shù)R2>0.95 時(shí)所對(duì)應(yīng)的(d,w,j)作為一個(gè)比較合適的初始參數(shù)值.

2)非線性擬合[2],確定最佳參數(shù)(即直桿最可能所在的位置及直桿長(zhǎng)度)

①根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定參數(shù)的初始值,利用最小二乘法計(jì)算出最佳參數(shù),使最小.

②根據(jù)可決系數(shù)R2,比較擬合效果,R2越趨近于1 表明擬合效果越好.

3)算法流程圖,如圖3 所示.

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)所設(shè)計(jì)的算法,將附件1 的數(shù)據(jù)代入,利用MATLAB 編程求解,得到固定直桿的長(zhǎng)度、固定直桿可能所處地區(qū)的經(jīng)緯度值見表1.

表1 附件1 中固定直桿的相關(guān)數(shù)據(jù)表

根據(jù)表1 的數(shù)據(jù)可以得出直桿所處位置大致位于18.37°N,106.24°E,或者是7.09°S,102.42°E即可得直桿所處的地理位置大致位于越南周邊和印度尼西亞.

4 根據(jù)影子坐標(biāo)確定直桿所處位置與測(cè)量日期

首先確定經(jīng)緯度的范圍;然后,在第二問的基礎(chǔ)上,增加了參數(shù)即太陽(yáng)赤尾β;最后利用"窮舉-非線性擬合"算法進(jìn)行求解,確定直桿最可能所在的位置、最可能測(cè)量日期.

4.1 研究方法

(1)確定各參數(shù)的范圍

延續(xù)3.2 的研究方法,可以確定附件2[1]固定直桿所處位置緯度范圍w ∈[-66°34′,23°26′].固定直桿所處地經(jīng)度的范圍為j ∈[0°,95.1°E].由太陽(yáng)直射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以確定太陽(yáng)赤緯β ∈[-23°26′,23°26′].

(2)利用"窮舉-非線性擬合"算法求解

1)讓d,w,j,β 在取值范圍內(nèi)獨(dú)立的取變所有整數(shù)值,根據(jù)公式(7)計(jì)算每一組(d,w,j,β)對(duì)應(yīng)的影子長(zhǎng)度

2)計(jì)算每一個(gè)(d,w,j,β)對(duì)應(yīng)的影子長(zhǎng)度計(jì)算值^lt與影子長(zhǎng)度實(shí)際值lt之間的可決系數(shù)R2;

3)判斷每一個(gè)(d,w,j,β)所對(duì)應(yīng)的可決系數(shù)R2,若R2>0.95,則此時(shí)的(d,w,j,β)為一組初始參數(shù);

4)利用非線性擬合確定最佳參數(shù).(即直桿最可能所在的位置、測(cè)量日期及直桿長(zhǎng)度)

圖4 圖片處理過程

4.2 結(jié)果分析

結(jié)合附件2 的數(shù)據(jù),利用MATLAB 軟件編程求解得到,固定直桿的長(zhǎng)度、固定直桿可能所處地區(qū)的經(jīng)緯度、可能的測(cè)量日期等值見表2.

表2 附件2 中固定直桿的相關(guān)數(shù)據(jù)表

根據(jù)表2 的數(shù)據(jù)可以得出固定直桿所處位置大致位于39.89°N,80.09°E,即固定直桿所處的地理位置大致位于新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)阿瓦提縣,測(cè)量日期在6 月9 日或7 月5 日;由于39.89°S,80.09°E 處于印度洋,故該處舍棄.

5 根據(jù)視頻確定視頻拍攝地點(diǎn)

首先,將40 分鐘的視頻每隔4 分鐘進(jìn)行截圖,并將所截取的11 張圖片經(jīng)過前期處理后導(dǎo)入到MATLAB 軟件轉(zhuǎn)化二值圖;然后,依據(jù)像素矩陣以掃描黑色區(qū)邊緣的方式得到11 組相對(duì)應(yīng)得影子長(zhǎng)度;最后利用"窮舉-非線性擬合"算法確定拍攝地點(diǎn).

5.1 研究方法

(1)獲取固定直桿影子長(zhǎng)度值

1)將附件4[1]中40 分鐘的視頻每隔4 分鐘進(jìn)行截圖,將截取的圖片預(yù)處理得到11 張含有直桿和直桿影長(zhǎng)縮略圖;

2)運(yùn)用MATLAB 軟件編程,將11 張含有直桿和直桿影長(zhǎng)縮略圖轉(zhuǎn)化為二值圖,讀取像素矩陣,每張圖片得到一個(gè)m×n 階(0,1)矩陣A=(aij)其中

3)利用窮舉法掃描像素矩陣,記住所有黑色像素點(diǎn)的行的值a=(a1,a2,…,ar)和列的值b=(b1,b2,…,bk),令圖片中桿的高度d1=max{a1,a2,…,ar}-min{a1,a2,…ar},圖片中桿的影子長(zhǎng)度為l1=max{b1,b2,…,bk}-min{b1,b2,…,bk},當(dāng)實(shí)際桿高d=2m 時(shí),則實(shí)際影子長(zhǎng)度l 計(jì)算公式為

由實(shí)際影子長(zhǎng)度計(jì)算公式可以得到從北京時(shí)間8 點(diǎn)54 分到北京時(shí)間9 點(diǎn)34 分的11 組具體影長(zhǎng)數(shù)據(jù)如表3 所示.圖4 為圖片處理過程圖.

表3 直桿影子長(zhǎng)度

5.2 結(jié)果分析

由表3 中的數(shù)據(jù),結(jié)合3 中的研究方法,利用MATLAB 軟件進(jìn)行求解,得到視頻拍攝可能地的經(jīng)緯度以及所對(duì)應(yīng)的直桿長(zhǎng)度如表4 所示.

表4 最佳參數(shù)值

根據(jù)表4 的數(shù)據(jù)可以得出直桿所處位置大致位 于 123.93°E,9.64°S 或 者 是 113.09°E,36.559°N,即可得直桿所處的地理位置大致位于努沙登加拉群島和中國(guó)山西省.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文問題的解決中采取了正向思維解決逆推問題的思路,將需要求解的未知量作為參數(shù)處理,設(shè)計(jì)了通用的"窮舉-非線性擬合"算法,使求解過程程序化,避免了人工求解的困擾與偶然誤差.在太陽(yáng)影子定位問題上提供了新的思路,用"窮舉-非線性擬合"算法取代了逆推問題的常規(guī)解法.在一定程度上提高了求解的效率與準(zhǔn)確率.

[1] 2015 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A 題.http://mcm.dayainfo.com/front/detailTopic.

[2] 吳禮斌.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模[M].天津:天津大學(xué)出版社,2009.

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