☉湖北省房縣教研室 昝光軍

導(dǎo)學(xué)案不要偏離課程標(biāo)準(zhǔn)
——以“同底數(shù)冪的除法”導(dǎo)學(xué)案中零指數(shù)冪的規(guī)定為例

☉湖北省房縣教研室 昝光軍

《中學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第6、10期兩期關(guān)于導(dǎo)學(xué)案問題的討論，指出“導(dǎo)學(xué)案不能淪落為習(xí)題單”［1］、“導(dǎo)學(xué)案不能將教材擠向邊緣”［2］，筆者頗有同感.現(xiàn)以“同底數(shù)冪的除法”導(dǎo)學(xué)案中零指數(shù)冪的規(guī)定與課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)建議相對(duì)照，談?wù)剬?duì)“導(dǎo)學(xué)案不要偏離課程標(biāo)準(zhǔn)”的一點(diǎn)思考.

一、同底數(shù)冪的除法導(dǎo)學(xué)案與課程標(biāo)準(zhǔn)例子簡(jiǎn)述

1.同底數(shù)冪的除法某導(dǎo)學(xué)案案例簡(jiǎn)述

（一）引入新知.

（1）同底數(shù)冪的乘法法則.

（2）問題：一種數(shù)碼照片的文件大小是28K，一個(gè)存儲(chǔ)量為26M（1M=210K）的移動(dòng)存儲(chǔ)器能存儲(chǔ)多少?gòu)堖@樣的數(shù)碼照片？列式為：_______________，這是一種什么運(yùn)算？如何計(jì)算呢？

（二）探索新知.

請(qǐng)同學(xué)們做如下運(yùn)算：

（1）①28×28；②52×53；③102×105；④a3·a3.

（2）填空：

①（）·28=216；②（）·53=55；

③（）·105=107；④（）·a3=a6.

除法與乘法是兩種互逆運(yùn)算，要求空內(nèi)所填數(shù)，其實(shí)是一種除法運(yùn)算，所以這四個(gè)小題等價(jià)于同底數(shù)冪的除法.從上述運(yùn)算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系？

①216÷28=（）；②55÷53=（）；

③107÷105=（）；④a6÷a3=（）.

從上述運(yùn)算中歸納出同底數(shù)冪的除法法則：______________________.

根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，問題2中計(jì)算的結(jié)果為：______________________.

例題講解：

（1）計(jì)算：①x8÷x2；②a4÷a；③（ab）5÷（ab）2.

（2）先分別利用除法的意義填空，再利用am÷an=am-n的方法計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？

①32÷32=（）；

②103÷103=（）；

③am÷an=（）（a≠0）.

可得：am÷am=am-m=a0（a≠0）.這樣可以總結(jié)得a0=1（a≠0）.于是規(guī)定：a0=1（a≠0）.

即：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.

這樣，我們學(xué)習(xí)的同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則就可以擴(kuò)展到：

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m≥n）.

（三）運(yùn)用新知.

若（2x+1）0=1，則（）.

（四）小結(jié).

（五）能力提升.

若32x-1=1，則x=__________；若（x-2）0=1，則x的取值范圍是___________.

（六）當(dāng)堂反饋.

若（2a-3b）0=1成立，則a、b滿足什么條件？

2.2011版課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)建議原文

例80［3］“零指數(shù)冪”的教學(xué)設(shè)計(jì)（第三學(xué)段）.

本實(shí)例希望體現(xiàn)課程目標(biāo)在課堂教學(xué)中的整體落實(shí)——通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅理解和掌握有關(guān)的知識(shí)技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴(kuò)充的，感受零指數(shù)冪“規(guī)定”的合理性.

通過計(jì)算23÷23提出問題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，教學(xué)面臨了挑戰(zhàn).

我們先回顧簡(jiǎn)單的事實(shí)：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定“20=1”的合理性.例如：

用細(xì)胞分裂作為情境，提出問題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)，…，那么，一個(gè)細(xì)胞沒有分裂時(shí)呢？

觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪的16、8、4、2等點(diǎn)的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律：

24=16，23=8，22=4，21=2，20=1.

這樣，在學(xué)生感受“20=1”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即a0=1（a≠0）.

在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是無(wú)矛盾的，原有的冪的運(yùn)算性質(zhì)可以擴(kuò)展到零指數(shù).例如，計(jì)算a5÷a0：

運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，得a5÷a0=a5-0=a5；

根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定，得a5÷a0=a5÷1=a5.

綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”時(shí)將經(jīng)歷如下的過程：面對(duì)挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無(wú)矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴(kuò)展.

這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴(kuò)展的，他們借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪”所獲得的經(jīng)驗(yàn)，可以進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”.這樣的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的理性思維.

二、兩者的對(duì)比

上述導(dǎo)學(xué)案只是眾多導(dǎo)學(xué)案中的一個(gè)，也很有代表性.粗看整個(gè)教學(xué)過程，設(shè)計(jì)思路清晰，不論是問題的提出，還是新知探究運(yùn)用，都比較合理，但仔細(xì)分析，特別是與課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)建議相對(duì)照，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題.如在零指數(shù)冪意義的規(guī)定這一新知的產(chǎn)生過程中，導(dǎo)學(xué)案從具體32÷32=（），103÷103=（），抽象到am÷an=（）（a≠0），進(jìn)而總結(jié)得到a0=1（a≠0）的規(guī)定.而課程標(biāo)準(zhǔn)的例80中“零指數(shù)冪”的教學(xué)設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下過程：①揭示矛盾.23÷23=8÷8=1，若應(yīng)用正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，則23÷23=23-3=20，面對(duì)挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無(wú)矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴(kuò)展.

通過以上對(duì)比我們可以看到，上述導(dǎo)學(xué)案偏離了課程標(biāo)準(zhǔn)，與課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)建議大相徑庭.

三、對(duì)比后的思考

1.導(dǎo)學(xué)案不要偏離課程標(biāo)準(zhǔn)

國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)，是國(guó)家管理和評(píng)價(jià)課程的基礎(chǔ).由于課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的是國(guó)家對(duì)國(guó)民在某方面或某領(lǐng)域的基本素質(zhì)要求，因此，它毫無(wú)疑問地對(duì)教材、教學(xué)和評(píng)價(jià)具有重要指導(dǎo)意義，是教材、教學(xué)和評(píng)價(jià)的出發(fā)點(diǎn)與歸宿.因此，無(wú)論教材、教學(xué)還是評(píng)價(jià)，出發(fā)點(diǎn)都是為了課程標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的那些要求的培養(yǎng)，最終的落腳點(diǎn)也都是這些基本要求的實(shí)現(xiàn).可以說，課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的基本要求是教學(xué)和評(píng)價(jià)的靈魂，也是整個(gè)基礎(chǔ)教育課程的靈魂.無(wú)論導(dǎo)學(xué)案如何設(shè)計(jì)，無(wú)論評(píng)價(jià)如何開展，都必須圍繞著這一基本要求，都不能偏離這個(gè)核心.

2.數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)

在設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案時(shí)，應(yīng)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，注重“知識(shí)問題化，問題探究化”，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.從這一點(diǎn)來(lái)講，導(dǎo)學(xué)案可以簡(jiǎn)單地理解為“問題式教學(xué)”，旨在讓探究性學(xué)習(xí)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種常態(tài).當(dāng)學(xué)習(xí)遇到問題的挑戰(zhàn)時(shí)，當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生質(zhì)疑對(duì)抗時(shí)，當(dāng)學(xué)生投入到對(duì)知識(shí)的探究時(shí)，這時(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)才變得更深刻，更有意義.為此導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)要有利于學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，內(nèi)容由易到難，由淺入深，分層探究，有序引導(dǎo)，逐步生成，要通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的設(shè)疑、質(zhì)疑、解疑，來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新精神，以及對(duì)知識(shí)分析、歸納、演繹的能力.

3.導(dǎo)學(xué)案應(yīng)當(dāng)給學(xué)生留下充分的思維空間

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不僅僅是獲得知識(shí)與技能，更重要的是獲得自己去探索數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和利用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題的能力，獲得對(duì)客觀事實(shí)尊重的理性精神和對(duì)科學(xué)執(zhí)著追求的態(tài)度.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須通過激發(fā)學(xué)生主動(dòng)的活動(dòng)，包括觀察、描述、畫圖、操作、猜想、實(shí)驗(yàn)、收集整理數(shù)據(jù)、思考、推理、交流和應(yīng)用等，讓學(xué)生親身體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”、如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量.教師在設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案時(shí)，應(yīng)當(dāng)給學(xué)生留下充分的思維空間，使學(xué)生能夠真正地開展數(shù)學(xué)的思維活動(dòng).

1.熊俊.導(dǎo)學(xué)案不能淪落為“習(xí)題單”——以“中位數(shù)和眾數(shù)”的導(dǎo)學(xué)案為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）.

2.朱月華.導(dǎo)學(xué)案不能將教材擠向邊緣——以“有理數(shù)”導(dǎo)學(xué)案為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

5.張海晨，李炳亭.高效課堂導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.Z