劉樂(lè)，李曉陽(yáng) ，姜同敏

(1.北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191; 2.可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

現(xiàn)代工業(yè)對(duì)產(chǎn)品的長(zhǎng)壽命高可靠性有不斷增長(zhǎng)的需求，為了考核該類產(chǎn)品的壽命與可靠性水平，在產(chǎn)品正式投產(chǎn)之前需開(kāi)展加速試驗(yàn).加速試驗(yàn)技術(shù)采用嚴(yán)酷于產(chǎn)品正常使用的環(huán)境條件，加速產(chǎn)品失效或退化過(guò)程，從而在短時(shí)間內(nèi)獲取壽命或退化數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性和壽命評(píng)估［1］.與壽命數(shù)據(jù)相比，退化數(shù)據(jù)包含更多的產(chǎn)品性能變化信息，因此加速退化試驗(yàn)(ADT)技術(shù)得到了較多的關(guān)注［2-3］.

然而，傳統(tǒng)的加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估方法假設(shè)采集到的退化數(shù)據(jù)是精確數(shù)據(jù)，該假設(shè)可能與一些實(shí)際情況存在不符，這些不符來(lái)源于:①測(cè)量設(shè)備的容差;②不同測(cè)試人員對(duì)同一數(shù)據(jù)的認(rèn)知;③數(shù)據(jù)的缺失等.因此，在實(shí)際試驗(yàn)中可能獲取到的是區(qū)間型退化數(shù)據(jù).若只對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的均值處理，則忽略了其蘊(yùn)含的隨機(jī)與認(rèn)知不確定性，那么就會(huì)給出不合理的壽命和可靠性評(píng)估結(jié)果.若能采用區(qū)間型數(shù)據(jù)分析方法，通過(guò)敏感性分析定量給出認(rèn)知不確定性對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響，最大程度地保證評(píng)估結(jié)果的可信性，為消除測(cè)量的認(rèn)知不確定性或評(píng)價(jià)決策風(fēng)險(xiǎn)提供依據(jù).

在考慮非精確數(shù)據(jù)方面，文獻(xiàn)［4］研究了競(jìng)爭(zhēng)失效狀態(tài)下的產(chǎn)品可靠性分析方法，采用模糊方法的隸屬函數(shù)來(lái)刻畫區(qū)間型退化數(shù)據(jù).文獻(xiàn)［5］采用模糊回歸方法對(duì)退化過(guò)程進(jìn)行建模，該模型假設(shè)退化數(shù)據(jù)是精確的，而采用非精確模型參數(shù)來(lái)表征退化建模的不確定性.通常來(lái)說(shuō)，非精確退化數(shù)據(jù)可以表征為區(qū)間型，采用區(qū)間運(yùn)算來(lái)加以處理［6］.文獻(xiàn)［7］給出一種精確輸入和區(qū)間輸出的區(qū)間回歸方法，將最小二乘的中心趨勢(shì)特性和模糊回歸的可能性特性結(jié)合到二次規(guī)劃問(wèn)題中，給出兩類特性模型的優(yōu)化結(jié)果.文獻(xiàn)［8］采用區(qū)間分析方法研究了線彈性斷裂力學(xué)中應(yīng)力強(qiáng)度因子的不確定性問(wèn)題，結(jié)果表明該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的概率分析方法.在加速試驗(yàn)領(lǐng)域，文獻(xiàn)［9-10］指出在加速試驗(yàn)中除系統(tǒng)自身的隨機(jī)不確定性外還存在大量的認(rèn)知不確定性，需要采用適當(dāng)?shù)慕７椒▉?lái)評(píng)估其對(duì)系統(tǒng)安全和壽命預(yù)測(cè)的影響.因此，本文針對(duì)加速退化測(cè)量中存在的認(rèn)知不確定性問(wèn)題，采用區(qū)間回歸方法來(lái)建模分析，研究測(cè)量認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性和壽命評(píng)估結(jié)果的影響.

由于加速退化數(shù)據(jù)測(cè)量中，不僅存在系統(tǒng)的隨機(jī)不確定性，還有人的參與引起的認(rèn)知不確定性.本文針對(duì)該情況，重點(diǎn)考慮認(rèn)知不確定性的影響，解決區(qū)間型加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)的壽命和可靠性評(píng)估問(wèn)題.本文首先介紹所采用的模型及區(qū)間分析方法;其次研究了基于區(qū)間分析方法的加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法;最后通過(guò)數(shù)值案例驗(yàn)證所提方法，并分析認(rèn)知不確定性的影響.

1 退化模型及區(qū)間分析方法

1.1 退化模型

隨機(jī)過(guò)程具有較好的物理和統(tǒng)計(jì)特性，廣泛用于描述產(chǎn)品的性能變化過(guò)程［11］.其中，維納(Wiener)過(guò)程常用于加速退化試驗(yàn)評(píng)估［12-14］，文獻(xiàn)［15］給出了一種通用維納過(guò)程模型，該模型能夠泛化成各類常用的維納過(guò)程模型.本文取產(chǎn)品退化性能參數(shù)X(t)的模型形式為

若初始退化值X(0)不為0，則X(t)= X(t)－X(0).式中:σ 為擴(kuò)散系數(shù);B(·)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);Λ(t)為關(guān)于時(shí)間t 的非減函數(shù)，即時(shí)間尺度變換，常見(jiàn)變換方式有指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪;μ 為漂移系數(shù)，通常假設(shè)其與應(yīng)力條件服從對(duì)數(shù)線性關(guān)系(如溫度應(yīng)力下的Arrhenius 模型，電應(yīng)力下的Eyring 模型等［16］)，如下:

式中:φ(s)為應(yīng)力相關(guān)的函數(shù);β0和β1為常數(shù).

根據(jù)維納過(guò)程特性可知，退化增量滿足

式中:ΔXi= X(ti)－ X(ti－1);Δti= Λ(ti)－Λ(ti－1).

當(dāng)失效閾值為C 時(shí)，產(chǎn)品首次穿過(guò)該閾值的時(shí)間T(首穿時(shí))服從變換后的逆高斯分布［17］，即Λ(T)～I(xiàn)G(C/μ，C2/σ2)，其中IG(b1，b2)的概率密度函數(shù)為(b1＞0 為均值，b2＞0 為形狀參數(shù))

進(jìn)而推導(dǎo)產(chǎn)品的可靠度函數(shù)和可靠壽命為

式中:－1表示函數(shù)取反;r 為規(guī)定的可靠度值.

1.2 區(qū)間回歸分析

區(qū)間分析方法是回歸分析方法的一種，通過(guò)假設(shè)區(qū)間回歸系數(shù)來(lái)獲取自變量和因變量之間的關(guān)系，常見(jiàn)的有區(qū)間輸入-區(qū)間輸出、精確輸入-區(qū)間輸出.考慮到工程實(shí)際中，測(cè)量時(shí)間或加速應(yīng)力為精確的，本文采用精確輸入-區(qū)間輸出的線性回歸分析方法進(jìn)行建模，得到模型參數(shù)(即區(qū)間回歸系數(shù)).模型為

式中:Y=［1，y1，…，yp］T為輸入向量，p 為模型輸出參數(shù)種類數(shù);A =［A0，A1，…，Ap］T為區(qū)間型回歸系數(shù)，Ai=〈ai，ci〉，ai和ci分別表示回歸系數(shù)Ai的中心值和半徑.根據(jù)區(qū)間運(yùn)算法則，式(7)可轉(zhuǎn)換為

式中:a =［a0，a1，…，ap］T;c =［c0，c1，…，cp］T;yj=［1，yj1，…，yjp］T.

區(qū)間分析方法主要分為兩類:基于可能性概念的可能回歸分析(可能性模型)和基于最小化誤差的最小二乘方法(必要性模型)［7］.兩類模型分別為

通常假設(shè)兩類模型具有相同的中心值，即兩類模型的回歸系數(shù)為和A*i=〈ai，ci〉，則兩類模型求解可分別轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題，即

和

對(duì)于實(shí)際觀測(cè)區(qū)間變量Z(Y)滿足條件

上述二次規(guī)劃模型能夠處理區(qū)間型數(shù)據(jù)，對(duì)式(1)取期望可知E(X(t))=μΛ(t)，對(duì)于精確輸入Λ(t)-區(qū)間輸出，采用區(qū)間回歸方法，能夠獲取區(qū)間回歸系數(shù)，即漂移系數(shù)μ.

2 區(qū)間型加速退化試驗(yàn)分析

2.1 基于區(qū)間回歸分析方法的加速退化建模

考慮到測(cè)量、人為等因素，退化數(shù)據(jù)是非精確的，采用區(qū)間型描述比精確數(shù)據(jù)更為合適.而對(duì)于精確輸入-區(qū)間輸出型數(shù)據(jù)，采用兩類模型進(jìn)行建模分析，獲取區(qū)間型結(jié)果.關(guān)于兩類模型，可能性模型是對(duì)模型輸入輸出之間可能性的一種表征，其輸出最大程度覆蓋所有的實(shí)際觀測(cè)區(qū)間.必要性模型是對(duì)模型輸入輸出之間集中程度的一種表征，其輸出最大程度包含于實(shí)際觀測(cè)區(qū)間，即滿足模型關(guān)系式(13).

在時(shí)間尺度上，即精確時(shí)間-區(qū)間退化數(shù)據(jù)，本文采用可能性模型最大可能地獲取漂移系數(shù)的區(qū)間值.而在應(yīng)力尺度上，即精確應(yīng)力-區(qū)間漂移系數(shù)，在漂移系數(shù)外推的過(guò)程中需要在所有可能結(jié)果中找到最大程度符合加速模型的結(jié)果，即中心趨勢(shì)特性，而必要性模型能夠表征此特性，為此本文采用必要性模型進(jìn)行外推.具體建模評(píng)估流程如圖1 所示.

圖1 區(qū)間型加速退化試驗(yàn)分析流程Fig.1 Flowchart of interval accelerated degradation testing analysis

本文基于維納過(guò)程對(duì)退化過(guò)程建模，其期望退化路徑服從一元線性過(guò)程，因此針對(duì)區(qū)間型加速退化數(shù)據(jù)，可采用式(7)進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算(p =1).同時(shí)，為了更全面地獲取漂移系數(shù)的所有可能取值，采用可能性模型式(11)優(yōu)化求解，得到的回歸系數(shù)A1的區(qū)間，即該應(yīng)力條件下的漂移系數(shù).

對(duì)于擴(kuò)散系數(shù)σ，其表征退化過(guò)程的隨機(jī)特性，通?？坍嬕幌盗须S機(jī)因素對(duì)產(chǎn)品性能的影響，是與應(yīng)力和時(shí)間無(wú)關(guān)的常量，為此假設(shè)其為精確值.由式(3)可得傳統(tǒng)精確數(shù)據(jù)下的擴(kuò)散系數(shù)σ 為

式中:eijk為此監(jiān)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差，即eijk=xijk－μijkΛ(tijk).當(dāng)退化數(shù)據(jù)為區(qū)間型時(shí)，相對(duì)誤差同時(shí)存在于預(yù)測(cè)上限和下限，為此取上下限誤差的平方和根作為此監(jiān)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差，即

將式(16)替換至式(15)得到擴(kuò)散系數(shù)σ.

為了考核產(chǎn)品的可靠性和壽命指標(biāo)，需要將加速應(yīng)力條件下的性能參數(shù)外推至正常應(yīng)力條件下，即通過(guò)加速模型式(2)來(lái)實(shí)現(xiàn).在步驟1)中獲得應(yīng)力條件i 下的漂移系數(shù)，表示該條件下漂移系數(shù)的所有可能結(jié)果，則為

2.2 可靠性與壽命指標(biāo)分析

傳統(tǒng)的精確退化數(shù)據(jù)評(píng)估，給出產(chǎn)品正常使用條件下的壽命和可靠度指標(biāo)，式(5)和式(6)基于維納過(guò)程給出首穿時(shí)服從逆高斯分布的可靠度和壽命函數(shù).在第2.1 節(jié)給出了基于區(qū)間分析方法的加速退化試驗(yàn)建模方法，得到區(qū)間漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)σ.

根據(jù)逆高斯分布性質(zhì)可知，可靠度和壽命指標(biāo)區(qū)間為

上述建模分析方法能夠處理區(qū)間型加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于式(18)和式(19)分析測(cè)量過(guò)程中存在的認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性和壽命評(píng)估結(jié)果的影響，進(jìn)而為消除加速試驗(yàn)中的認(rèn)知不確定性、提高評(píng)估結(jié)果可信度提供依據(jù).

3 數(shù)值案例

3.1 加速退化試驗(yàn)信息

為了驗(yàn)證本文方法的有效性及分析測(cè)量不確定性對(duì)可靠性和壽命評(píng)估結(jié)果的影響.選用文獻(xiàn)［18］提供的恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)為了測(cè)試某種金屬合金的耐磨性，在不同加載條件下進(jìn)行滑動(dòng)測(cè)試，記錄劃痕寬度用于分析確定載荷的影響，具體試驗(yàn)信息見(jiàn)表1，原始數(shù)據(jù)見(jiàn)圖2.

表1 金屬合金的加速磨損退化試驗(yàn)信息Table 1 Information on accelerated wear degradation testing for metal alloy

圖2 3 種加載條件下的加速磨損退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.2 Degradation data for accelerated wear testing under three applied weights

假設(shè)數(shù)據(jù)記錄過(guò)程，由于人的認(rèn)知等主觀因素，如多名檢測(cè)人員，使得記錄數(shù)據(jù)是非精確的，為了刻畫此類認(rèn)知不確定性，本文在原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行如下處理:

1)隨機(jī)從正態(tài)分布中抽取Δi滿足:Δi～N(m，ζm)，m 為均值，ζ 為收縮系數(shù).簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)ζ=0.02 表示多人參與情況，ζ =0 表示單人參與情況.

2)第i 個(gè)原始測(cè)量值± |Δi|作為該測(cè)量點(diǎn)的實(shí)際記錄值，即區(qū)間退化數(shù)據(jù).

這里，可以看出m 參數(shù)反映的是測(cè)量不確定性的程度，m 值越大表示不確定性程度越高，通過(guò)提高檢測(cè)人員水平、設(shè)備精度等措施來(lái)加以降低或消除，因此本文取不同的m 值來(lái)分析退化數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定性對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響.

已知失效閾值C=50 μm，假設(shè)其正常使用條件下的加載為5 g，退化過(guò)程服從維納過(guò)程，加速模型式(2)中φ(s)=W(W 為施加的加速應(yīng)力載荷)，Λ(t)=ln t，首先，取m=0.5 μm，利用本文方法進(jìn)行可靠性和壽命評(píng)估.然后，根據(jù)第2.1 節(jié)區(qū)間型加速退化數(shù)據(jù)的建模方法，得出各加速載荷條件下的漂移系數(shù)及擴(kuò)散系數(shù)σ =0.677 2.根據(jù)加速模型式(2)將代入通用模型式(14)，結(jié)果見(jiàn)圖3，外推正常載荷下的漂移系數(shù)(必要性模型)為［0.784 4，0.938 6］.最后，將所得參數(shù)結(jié)果代入式(18)和式(19)，得到的可靠度區(qū)間如圖4 所示，可靠度為0.9 的壽命為exp(46.72，55.19)h.

圖3 3 種加載條件下的漂移系數(shù)μFig.3 Draft coefficient μ under three applied weights

圖4 當(dāng)m=0.5 μm 時(shí)的區(qū)間可靠度曲線Fig.4 Interval reliability curves when m=0.5 μm

3.2 測(cè)量不確定性對(duì)可靠性和壽命的影響分析

測(cè)量不確定性主要分為兩類:認(rèn)知不確定性和隨機(jī)不確定性，其中隨機(jī)不確定性來(lái)源于系統(tǒng)誤差，無(wú)法避免和消除;然而認(rèn)知不確定性來(lái)源于人的主觀原因，是可以采取措施(如增大樣本量來(lái)增強(qiáng)認(rèn)知水平)來(lái)消除或轉(zhuǎn)化為隨機(jī)不確定性.

為了分析該類不確定性對(duì)產(chǎn)品可靠性和壽命結(jié)果的影響，設(shè)置m 分別取0.01、0.03、0.05、0.07、0.1、0.3、0.5、0.7、1 μm 來(lái)分析對(duì)應(yīng)的可靠度和壽命指標(biāo)情況.這里，本文考慮兩種工程實(shí)際情況:

1)多人參與加速試驗(yàn)測(cè)試的情況(認(rèn)知水平存在不同).

2)單人參與測(cè)試的情況(認(rèn)知水平單一).

為了模擬這兩種情況，根據(jù)第3.1 節(jié)方法，分別取ζ=0.02 和0 并代入各m 值進(jìn)行求解.通過(guò)兩種情況的對(duì)比分析，了解人的參與所引起的認(rèn)知不確定性對(duì)壽命評(píng)估結(jié)果的影響.圖5 ～圖7分別給出了兩種情況的漂移系數(shù)μ0、擴(kuò)散系數(shù)σ和可靠壽命.

由圖5(a)可知，隨著m 值的降低，第1 種情況下的漂移系數(shù)中心值從0.86 增大至0.91 左右，而第2 種情況下穩(wěn)定在0.887 左右，表明該參數(shù)值受測(cè)量中認(rèn)知不確定性的影響，可能的解決途徑是減少人員參與.從總的趨勢(shì)上來(lái)看，圖5(b)中μ0半徑隨m 值降低而減小，意味著提高人的認(rèn)知水平能夠在一定程度上降低μ0的不確定性.

對(duì)于擴(kuò)散系數(shù)σ，該參數(shù)刻畫隨機(jī)因素對(duì)產(chǎn)品性能的影響，從圖6 可以看出該參數(shù)對(duì)測(cè)量不確定性較為敏感，但同時(shí)考慮到該參數(shù)與受試產(chǎn)品數(shù)目有關(guān)，因此當(dāng)樣品量一定時(shí)，降低測(cè)量的不確定性有利于該參數(shù)的確定.

圖5 兩種情況下不同m 值對(duì)應(yīng)的漂移系數(shù)中心值和半徑Fig.5 Center and radius of draft coefficients under different m values in two cases

圖6 兩種情況下不同m 值對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)Fig.6 Diffusion coefficients under different m values in two cases

圖7 兩種情況下不同m 值對(duì)應(yīng)的可靠度R=0.9 的可靠壽命中心值和半徑Fig.7 Center and radius of reliable lifetimes when R=0.9 under different m values in two cases

對(duì)產(chǎn)品而言，實(shí)施加速試驗(yàn)的目的是確定其可靠性和壽命指標(biāo)，通過(guò)給定不同m 值下的μ0和σ 值，代入式(5)和式(6)，結(jié)果如圖7(a)和圖7(b)所示，第1 種情況下不同m 值對(duì)應(yīng)的可靠壽命結(jié)果存在較大差異，而第2 種情況下結(jié)果較為平穩(wěn).而對(duì)于可靠壽命半徑，兩種情況下都隨著m 值降低而顯著減少，因此為了保證壽命評(píng)估結(jié)果的合理性，需盡可能消除測(cè)量中的認(rèn)知不確定性，減少人員參與.

4 結(jié) 論

本文考慮加速退化數(shù)據(jù)是非精確情況，采用區(qū)間回歸分析方法給出了區(qū)間型加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性和壽命評(píng)估方法.主要結(jié)論有:

1)退化數(shù)據(jù)測(cè)量由于人為因素和設(shè)備等原因，存在主觀認(rèn)知不確定性和系統(tǒng)隨機(jī)不確定性，在實(shí)際加速試驗(yàn)中應(yīng)盡量減少人員參與，盡可能地消除測(cè)量中存在的認(rèn)知不確定性.

2)數(shù)值案例表明:與壽命評(píng)估有關(guān)的模型參數(shù)，即漂移系數(shù)μ0和擴(kuò)散系數(shù)σ 均受測(cè)量不確定性的影響，降低不確定性水平能夠使得模型參數(shù)更為可信.

3)加速試驗(yàn)的壽命評(píng)估結(jié)果受測(cè)量不確定性的影響，且隨著認(rèn)知不確定性的降低，評(píng)估結(jié)果的不確定性也隨之降低.因此，在試驗(yàn)過(guò)程和結(jié)果處理中需考慮和消除此影響.

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