鐘佩文

摘 要：臨界問題是高中力學中的一個關鍵問題，目前備受大型考試的青睞與關注。這一問題涉及物體在臨界條件下所處的運動狀態(tài)，需要分析該種狀態(tài)下物體的受力情況，用以確定變化范圍。本文結合人教版教材高一大綱的內容，淺談有關彈力與摩擦力的臨界問題，從而為研究圓周運動的臨界問題打下堅實的基礎。

關鍵詞：彈力；摩擦力；臨界問題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）2-0041-2

《彈力》與《摩擦力》兩節(jié)內容位于普通高中人教版教材必修1《物理》的第三章《相互作用》。其臨界問題對研究豎直平面內與水平面內圓周運動的臨界問題起著巨大的推動作用。清楚地認識這類求解范圍變化問題顯得尤為重要。下面，本文分別就彈力與摩擦力的臨界問題展開探討。

1 彈力的臨界問題

彈力發(fā)生在兩個物體的接觸面之間，其產生條件為：①相互接觸；②發(fā)生彈性形變。當物體處于臨界狀態(tài)時，往往某個接觸面的彈力會發(fā)生突變。因此，彈力在物體的接觸面之間的臨界條件是“它恰好為0，表現(xiàn)為恰好消失”。

例題1 如圖1所示，質量m=10 kg的小球掛在傾斜角為37°的光滑斜面的固定鐵桿上，求解：①當斜面和小球以a1=g/2的加速度水平向右勻加速運動時，小球對細繩的拉力和斜面對小球的支持力分別為多大？②當斜面和小球以a2= g的加速度水平向右勻加速運動時，小球對細繩的拉力和斜面對小球的支持力分別為多大？

解析 此題設置了①②兩個小問，并且兩個小問的文字表述中只有加速度a不同，其余前提條件都相同，旨在提醒學生認清此題的考點類型，它是一道關于彈力的臨界問題。當斜面和小球以不同的加速度a水平向右勻加速運動時，兩者之間的彈力會出現(xiàn)“是否存在”這兩種基本情況。也即是說，該題需要學生求解的關鍵問題是“當斜面和小球以多大加速度a0水平向右勻加速運動，彈力N會出現(xiàn)恰好為0的臨界狀況?！贬槍=0這一臨界條件，取定小球為研究對象，開始

對小球進行受力分析。

如圖2所示，分析在斜面上的小球的受力情況。假定當斜面和小球以加速度a0水平向右勻加速運動時，接觸面的彈力N發(fā)生突變恰好為0。這時，斜面與小球之間沒有相互作用，小球受到重力mg與細繩的拉力T這兩個外力作用。借助于平行四邊形定則，根據牛頓第二定律，在臨界狀況下有：

tan37°= （1）

可以求出：

a0= g。

①因為a1

所以，此問中小球仍然位于斜面上，它受到重力mg、細繩的拉力T1與斜面的支持力N1這3個外力作用。如圖3所示，采用正交分解法，將這些外力分解到水平方向與豎直方向：

圖3 受力的正交分解

根據牛頓第二定律：

T1cos37°-N1sin37°=ma1 （2）

T1sin37°+N1cos37°=mg（3）

可以求出細繩對小球的拉力T1和斜面對小球的支持力N1的大小分別為：

T1=mg；N1= mg。

根據牛頓第三定律，小球對細繩的拉力T1'的大小為：

T1'=T1=mg。

②因為a2>a0

所以，此問中小球不在斜面上，而會離開斜面“飛起來”，被細繩拴著“漂浮”于空中，斜面對其的支持力N2等于0。小球受到重力mg、細繩的拉力T2這兩個外力作用。如圖4所示，運用平行四邊形定則合成上述兩個外力。此時，細繩之中拉力T2的方向不再平行于斜面。

根據牛頓第二定律與勾股定理：

（mg）2+（ma2）2=T （4）

可以求出細繩對小球的拉力T2和斜面對小球的支持力N2的大小分別為：T2=2mg，N2=0。

同樣，根據牛頓第三定律，小球對細繩的拉力T2'的大小為：T2'=T2=mg。

2 摩擦力的臨界問題

與彈力類似，摩擦力也是一種接觸力。其產生條件為：①相互接觸；②發(fā)生彈性形變；③接觸面粗糙；④有相對運動或相對運動趨勢。摩擦力可以分為靜摩擦力與動摩擦力。其中，靜摩擦力是被動力，它的存在及其方向取決于物體之間的相對運動趨勢，并且靜摩擦力的大小范圍為：0< F≤Fmax。在臨界狀況下，兩個物體之間即將發(fā)生相對滑動，物體之間的靜摩擦力達到最大靜摩擦力（高中階段近似認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。因此，摩擦力在物體的接觸面之間的臨界條件是“兩個物體發(fā)生相對運動的瞬間，其間的靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。”

例題2 如圖5所示，木塊A的質量為1 kg，木塊B的質量為2 kg，疊放在水平地面上，A、B之間的最大靜摩擦力為5 N，B與地面之間的動摩擦因數為0.1。今用水平力F作用于B，保持A、B相對靜止的條件是F不超過 N。（g=10 m/s2）

圖5 兩個重疊的木塊

解析 此題要求讓A、B兩個木塊處于相對靜止狀態(tài)，并且求出該種狀態(tài)下水平力F的最大值。顯而易見，它是一道關于摩擦力的臨界問題。當水平力F達到最大值Fmax時，A、B兩個木塊即將發(fā)生相對滑動，它們之間的靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。

先用整體法，將A、B兩個木塊當作一個整體使用牛頓第二定律：F-μ（mA+mB）g=（mA+mB）a （5）

再用隔離法，對于木塊A使用牛頓第二定律：F靜=mAa（6）

在臨界條件下，當F= Fmax時，水平力F達到最大值Fmax。

代入數據，可以求得：

Fmax=（mA+mB）（ +μg）=18 N

3 總 結

對于兩個相互接觸的物體，當它們之間沒有相互作用的瞬間，會出現(xiàn)彈力的臨界條件──彈力恰好等于0；當它們之間發(fā)生相對運動的瞬間，會出現(xiàn)摩擦力的臨界條件——靜摩擦力恰好等于最大靜摩擦力。因此，在處理動力學中有關彈力與摩擦力的臨界問題時，一定要牢牢把握兩者的臨界條件，運用平行四邊形定則與牛頓第二定律，適當時候可以采用整體法和隔離法聯(lián)立求解。

參考文獻：

[1]張大昌，張維善.物理1[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]魏勝利.轉盤上的物體所受靜摩擦力分析[J].物理教學探討，2014，（8）：34.

[3]鐘月鋒.動力學中一類臨界問題[J].物理教學探討，2014，（8）：50.（欄目編輯 羅琬華）