李滿成

（長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434000）

不定積分性質(zhì)求法分析

李滿成

（長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434000）

隨著人類社會(huì)的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，早已經(jīng)滲透到各個(gè)科學(xué)研究的領(lǐng)域。文章通過簡(jiǎn)單系統(tǒng)的分析，總結(jié)了數(shù)學(xué)分析中不定積分的幾種基本計(jì)算方法，及其性質(zhì)應(yīng)用。

數(shù)學(xué)分析;微積分;不定積分性質(zhì)應(yīng)用

不定積分是數(shù)學(xué)分析中微分學(xué)的重要內(nèi)容之一，不定積分的性質(zhì)理解與應(yīng)用計(jì)算也是高等數(shù)學(xué)中教學(xué)的重中之重。主要是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)分析中，不定積分的求解方法豐富多變、技巧性強(qiáng)、靈活性也很大。因此如果掌握了不定積分，不僅能夠開拓我們的思路，還能培養(yǎng)我們靈活的思維，更能夠讓我們更好的理解和應(yīng)用微積分，真正了解運(yùn)用微積分解決各種數(shù)學(xué)、科學(xué)中的難題。

本文先簡(jiǎn)單的介紹一下微積分學(xué)的歷史發(fā)展由來，然后再依次從不定積分的原理性質(zhì)、求解方法和應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的歸類分析總結(jié)。

1 微積分的創(chuàng)立

1.1 產(chǎn)生背景

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的簡(jiǎn)稱。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事件之一，其基本思想源于古希臘的求積術(shù)，但直接原因是17世紀(jì)的科技發(fā)展的需要。且在微積分史上，積分概念先于微分概念產(chǎn)生，積分是與某些面積、體積和弧長相聯(lián)系的求和過程中發(fā)展起來的。而微分則是后來數(shù)學(xué)家們對(duì)曲線作切線問題和函數(shù)的極大值、極小值問題的研究時(shí)才產(chǎn)生了微分。再到后來人們又注意到，積分和微分彼此為互為逆運(yùn)算因而才慢慢相互關(guān)聯(lián)起來。

1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里建立了不可分原理。其原理為：“兩同高得立體，若在等高處的截面積恒相等，則它們的體積相等；如果截面積成定比，則它們的體積之比等于截面積之比。”基于此理論上，他用巧妙的幾何方法求出若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積公式等，極大程度上啟發(fā)了微積分的創(chuàng)立。

1637年法國費(fèi)馬給出一種求切線的方法，與現(xiàn)代方法基本一致。費(fèi)馬還在文中講述了求最大值和最小值的方法，確立了多項(xiàng)式方程代表的曲線上的極大點(diǎn)、極小點(diǎn)和拐點(diǎn)。他還將這一方法用在了如物體的重心、曲線的長度及旋轉(zhuǎn)面的面積等各類問題的求法，并應(yīng)用于光學(xué)問題研究，其工作被認(rèn)為是“微積分新計(jì)算的第一發(fā)明人”。

1670年，英國數(shù)學(xué)家巴羅應(yīng)用幾何方法對(duì)曲線進(jìn)行計(jì)算，在求切線時(shí)提出了“微分三角形”概念。巴羅還使用了與費(fèi)馬同樣的方法求曲線的切線，并且可能當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)到了微分法是積分法的逆運(yùn)算，是第一個(gè)如此認(rèn)為的數(shù)學(xué)家。

1.2 微積分創(chuàng)立

隨著時(shí)代的進(jìn)步，雖然微積分的知識(shí)大量被積累起來，但這些知識(shí)往往沉湎于細(xì)節(jié)，而且多用幾何方法尋求嚴(yán)密的推理，忽略了新發(fā)展的解析幾何，而往往沒什么進(jìn)展。直到17世紀(jì)中后期，英國的牛頓與德國的萊布尼茨最終完成了微積分的創(chuàng)造，歷時(shí)上對(duì)于誰先創(chuàng)造了微積分是有很大的爭(zhēng)議，現(xiàn)在數(shù)學(xué)史統(tǒng)一認(rèn)為兩位數(shù)學(xué)家都是微積分的創(chuàng)作者。

牛頓。據(jù)牛頓自述，他于1665年發(fā)明正流數(shù)術(shù)（即微分法），1666年建立反流數(shù)術(shù)（即積分法），1666年寫出第一篇微積分論文《流數(shù)簡(jiǎn)述》，其中以速度形式引進(jìn)了流數(shù)，使用無窮小瞬概念，建立了“微積分基本定理”,并討論了正、反微分運(yùn)算的各種應(yīng)用。但到了1687年，牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》在倫敦出版，這才是他第一次公開表述了微積分方法。

萊布尼茨。1673年闡述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通過積分變換，得到平面曲線的面積公式。1675年10月，他使用了不定積分符號(hào)，用不定積分表示面積，還得到分部積分公式。1675-1676年他得到微積分基本定理，后來后來這一原理被稱為“牛頓－萊布尼茨公式”。1677年他明確定義了為函數(shù)的微分，給出了的演算規(guī)則。1684年，萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文。

2 不定積分的原理性質(zhì)

（1）不定積分的概率。定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間I有定義，設(shè)F(x)是f(x)在I的一個(gè)原函數(shù)，則稱F(x)+c為的f(x)不定積分，記作∫f(x)=F(x)+c

其中∫稱為積分符號(hào)，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，C稱為積分常數(shù)。再這里要特別注意，一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)族。

幾何意義：函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形成為f(x)的積分曲線，此積分曲線為一族積分曲線，f(x)為積分曲線的斜率。

（2）基本性質(zhì)。性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即：

∫[f(x+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

性質(zhì)2求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來,即：

∫kf(x)dx=k∫f(xdx)（k是常數(shù)，k≠0）

3 求解不定積分的思想方法

3.1 定義法

根據(jù)不定積分的定義，我們可知，只要能找出f(x)的一個(gè)原函數(shù)，就能求出它的不定積分。而且由定義，我們還知道，求積與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算，所以還可以利用這些關(guān)系來求不定積分。

利用定義法來求不定積分關(guān)鍵在于能否找到f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

3.2 直接積分法

用直接積分法來求不定積分就是要經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃校缓髮⒈环e函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本積分公式中的幾個(gè)被積函數(shù)的代數(shù)和，再利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)來求不定積分。

利用直接積分法的關(guān)鍵在于，要確保在轉(zhuǎn)化過程中的恒等變換不出錯(cuò)，更要熟練地掌握基本積分公式與不定積分的性質(zhì)。

3.3 第一類換元積分法（湊微分法）

當(dāng)被積函數(shù)是一個(gè)因式時(shí)，主要是觀察被積函數(shù)與積分基本公式中的哪一個(gè)公式的被積函數(shù)相似，即所應(yīng)用的基本積分公式；然后再根據(jù)與基本積分公式相似的形式進(jìn)行湊微分，湊微分的目的是為了應(yīng)用積分基本公式和性質(zhì)求積分。

被積函數(shù)有兩個(gè)因式時(shí)，先由一個(gè)因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個(gè)因式與dx結(jié)合湊微分，同理可由積分基本公式和性質(zhì)求出積分結(jié)果。

利用第一換元積分法（湊微分法）關(guān)鍵就是要把被積式子中的某一部分看成一個(gè)整體，而把被積式子湊成關(guān)于這個(gè)整體的積分公式。

3.4 第二類換元積分法

第二類換元積分法主要是通過x=φ(t)對(duì)所求積分進(jìn)行化簡(jiǎn)，其主要形式有以下三類：

（3）倒數(shù)代換：當(dāng)積分表達(dá)式分母中自變量的冪較高于分子時(shí)，我們x=可以采用進(jìn)行化簡(jiǎn)求解積分。

利用第二類換元積分法的關(guān)鍵就是要恰當(dāng)?shù)倪x取積分變量作為新積分變量的一個(gè)函數(shù)，并且具有反函數(shù)。

3.5 分部積分法

分部積分法是運(yùn)用公式∫udv=uv-∫vdu進(jìn)行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數(shù)相乘的積分。此法的主要是u，dv的選擇。通常來講，先選定dv，使選定的v′dx能容易的湊出微分dv且積分后不是很復(fù)雜，求導(dǎo)后變簡(jiǎn)單，一次分部積分后，未積出的部分∫vdu要比原來的積分∫vdv簡(jiǎn)單。如果被積函數(shù)是反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中任意兩類函數(shù)的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對(duì)、冪、三、指的順序來選取u，另一個(gè)函數(shù)想辦法湊成dv進(jìn)行分部積分。

利用分部積分法的關(guān)鍵就是要降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)和簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型。

4 結(jié)語

不定積分是微積分中重要的組成部分，不定積分的概念，性質(zhì)，求法，以及應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中有著至關(guān)重要的位置，也是微積分中的基礎(chǔ)部分，所以掌握不定積分的求法是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)。

不定積分的求法各種各樣，本文在這里主要討論了如何利用定義法、直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分步積分法五種最基本的方法，也是最常用的方法來求解不定積分。當(dāng)遇到不定積分的題目時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)先分析題目結(jié)構(gòu)，然后靈活選擇最方便最簡(jiǎn)潔的求解方法。

由于本人能力有限，本文只分析了不定積分的基本性質(zhì)和不定積分基本的五種求解方法，并未對(duì)不定積分進(jìn)行深入的研究探索，但是本文所論述的知識(shí)，乃是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識(shí)，只有掌握了這些基礎(chǔ)知識(shí)，將才能在微積分學(xué)的研究上有更大的進(jìn)步發(fā)展空間。而且隨著數(shù)學(xué)知識(shí)大量的應(yīng)用到科學(xué)技術(shù)發(fā)展中，

能夠掌握不定積分的基本知識(shí)，將對(duì)我們的工作和教育也有著重要意義。

[1]崔瑋.淺談高等數(shù)學(xué)中不定積分的求法[J].科技信息，2010，（11）：1-2.

[2]方秋金.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論選講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,1992.

An Analysis of Solving Method based on the Properties of Indefinite Integral

LI Man-cheng
(Department of Information and Mathematics,Yangtze University,Jingzhou,Hubei434000,China).

With the continuous development of human society and the constant progress in science and technology, mathematics,as a basic subject,has already penetrated into every field of scientific reserches.This paper made brief and systematic analysis,summarizes several basic calculation methods of indefinite integral in mathematical analysis and the application of its properties.

mathematical analysis;calculus;application of the properties of indefinite integral

O172.2

A

2095-980X（2015）04-0147-02

2015-02-15

李滿成(1991-),男，湖南耒陽人，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。