吳俊林，彭傲平，李志輝，方 明

(中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽(yáng) 621000)

分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格在跨流域氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法的應(yīng)用研究

吳俊林，彭傲平，李志輝*，方 明

(中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽(yáng) 621000)

為了模擬跨流域復(fù)雜物形繞流或多體流場(chǎng)，需要在位置空間建立能描述整個(gè)流場(chǎng)特性的網(wǎng)格系統(tǒng)，相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法也需要有所改進(jìn)。本文采用分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格處理復(fù)雜物形繞流或多體干擾流場(chǎng)，得到能準(zhǔn)確描述流場(chǎng)特征的貼體網(wǎng)格系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上數(shù)值求解考慮轉(zhuǎn)動(dòng)非平衡影響的Boltzmann-Rykov模型方程，在速度空間應(yīng)用離散速度坐標(biāo)法、位置空間采用數(shù)值差分NND格式。網(wǎng)格對(duì)接面上考慮分布函數(shù)的傳遞，包含網(wǎng)格點(diǎn)信息和網(wǎng)格點(diǎn)上速度的信息。通過(guò)計(jì)算得到復(fù)雜物形的流動(dòng)特性。相關(guān)算例表明網(wǎng)格分區(qū)之間的流場(chǎng)參數(shù)光滑過(guò)渡。與文獻(xiàn)及DSMC結(jié)果的對(duì)比證實(shí)本文基于分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格的氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法是可靠的。

分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格;統(tǒng)一算法;Rykov模型方程;多體流動(dòng)

0 引言

氣體的宏觀流動(dòng)本質(zhì)上是由分子的微觀運(yùn)動(dòng)決定的，而描述微觀層次的基本方程是基于分子量子力學(xué)系統(tǒng)的Liouville方程及基于約化s粒子分布函數(shù)的BBGKY方程鏈，二者是等價(jià)的［1］。僅考慮二體碰撞，并作混沌假設(shè)得到Boltzmann方程［2］，它采用速度分布函數(shù)描述一個(gè)微觀體系的平均行為，嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)它屬于介觀層次的分子運(yùn)動(dòng)描述。其中速度分布函數(shù)f是空間位置r和速度v的連續(xù)平滑函數(shù)，它并不包含每個(gè)微觀分子的細(xì)致結(jié)構(gòu)［1］。開展氣體動(dòng)理學(xué)研究一般都是基于Boltzmann方程，并且經(jīng)過(guò)學(xué)者不斷發(fā)展得到了多原子氣體、多組元混合氣體及化學(xué)反應(yīng)混合氣體的分子輸運(yùn)Boltzmann方程［1，3］。但由于它是一個(gè)高維多重積分的微分方程，且非線性碰撞項(xiàng)極其復(fù)雜，直接求解是很困難的［3-4］。比較廣泛采用的方法包括 Chapmann-Enskog逐級(jí)逼近解法［4］、模型方程方法［5］、有限差分Monte Carlo方法［6］及格子Boltzmann方法［7］。

最近十幾年以來(lái)，針對(duì)Boltzmann方程開展的研究工作再次成為國(guó)際上的熱點(diǎn)問題，基于模型方程的數(shù)值求解方法取得了極大進(jìn)步。徐昆等發(fā)展了氣體運(yùn)動(dòng)BGK格式(GKS)求解高速粘性流動(dòng)等問題［8］，為連續(xù)、近連續(xù)流動(dòng)模擬提供了一種新的思路。李志輝發(fā)展離散速度坐標(biāo)法求解Boltzmann模型方程［9］，在平板Couette流動(dòng)［10］等問題中得到應(yīng)用，并建立起基于HPF、MPI的并行算法用于三維繞流［11-12］。在解決實(shí)際問題中，為了模擬復(fù)雜物形繞流或多體流場(chǎng)，需要在位置空間建立能描述整個(gè)流場(chǎng)特性的網(wǎng)格系統(tǒng)。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格雖然對(duì)復(fù)雜外形適應(yīng)能力很強(qiáng)，但其計(jì)算效率相對(duì)較低［13］，技術(shù)處理和相應(yīng)算法改進(jìn)上難度較大。相比較而言，分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格對(duì)于氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法中的位置空間有限差分方法來(lái)說(shuō)更容易實(shí)現(xiàn)。而且這種網(wǎng)格技術(shù)的對(duì)接面兩側(cè)網(wǎng)格點(diǎn)完全對(duì)接，避免了虛網(wǎng)格及流場(chǎng)信息的代數(shù)插值，既保證了對(duì)復(fù)雜外形的適應(yīng)能力，又能較好地保證流動(dòng)通量守恒［14］。

本文采用分塊對(duì)接網(wǎng)格系統(tǒng)處理二維復(fù)雜外形或多體流動(dòng)問題，針對(duì)氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法在速度空間的速度離散、位置空間的有限差分進(jìn)行算法設(shè)計(jì)和技術(shù)處理，得到能夠描述多體干擾流動(dòng)問題的跨流域算法程序，并驗(yàn)證對(duì)接面兩側(cè)流場(chǎng)參數(shù)是否光滑過(guò)渡。

1 計(jì)算方法

1.1 控制方程

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)非平衡效應(yīng)的二維Boltzmann-Rykov模型方程［15］無(wú)量綱形式［16］在速度空間離散成為各個(gè)離散速度坐標(biāo)點(diǎn)上彼此獨(dú)立的若干方程組，并將位置空間坐標(biāo)通過(guò)雅克比(Jacobian)矩陣變換到計(jì)算平面內(nèi)，得到二維跨流域氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法的控制方程形式為［17］:

其中，σ=1，2，…，N1;δ=1，2，…，N2。g1、g2、g3是約化速度分布函數(shù)［17］，它是關(guān)于時(shí)間t，位置空間r和速度空間v的多維函數(shù)(對(duì)于二維問題具有五個(gè)自變量)。vt、vr分別是彈性碰撞頻率和非彈性碰撞頻率。

采用非定常時(shí)間分裂方法［9］，將控制方程(1)分裂為源項(xiàng)碰撞變化方程和位置空間的對(duì)流運(yùn)動(dòng)方程，得到求解約化速度分布函數(shù)方程的氣體運(yùn)動(dòng)論數(shù)值格式為:

其中，下標(biāo)s表示源項(xiàng)，ζ、η為計(jì)算平面坐標(biāo)。

時(shí)間上采用二階Runge-Kutta推進(jìn)，位置空間采用NND-4(a)有限差分格式［18］。則該有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法的穩(wěn)定性條件為［19］:

其中，CFL為時(shí)間步長(zhǎng)調(diào)節(jié)系數(shù)，一般CFL＜1。

1.2 物面邊界條件

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)非平衡效應(yīng)氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法的物面邊界條件由分子與物面碰撞通量守恒無(wú)穿透條件［20］和平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)能量平衡關(guān)系得到［21］:

2 分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格算法

分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格技術(shù)及其算法是數(shù)值模擬真實(shí)復(fù)雜流動(dòng)的有效途徑。在分區(qū)流動(dòng)計(jì)算中涉及兩個(gè)關(guān)鍵技術(shù):一是邊界類型及分區(qū)相鄰關(guān)系判斷;二是鄰近分區(qū)之間信息的交換及流動(dòng)信息在整個(gè)求解域中的傳播。

Qhw—第四系；J3-K1m—毛坦廠組(粗安斑巖、安山巖、安山質(zhì)凝灰?guī)r)；Pt3x—小溪河巖組(云母石英片巖、變粒巖)；DBG—大別巖群片麻巖組合；DBM—大別巖群大理巖組合；Pt3Tw—唐灣片麻巖體(二長(zhǎng)花崗質(zhì)片麻巖)；Pt3N—倪店片麻巖體(角閃二長(zhǎng)質(zhì)片麻巖)；Pt3L—龍眠片麻巖體(角閃斜長(zhǎng)質(zhì)片麻巖)；K1Xm—仙米尖單元(二長(zhǎng)花崗巖)；K1H—華蓋山單元(石英正長(zhǎng)斑巖)；K1D—大圓單元(角閃二長(zhǎng)巖)；J3-K1Z—中義單元(石英二長(zhǎng)巖)

由于流場(chǎng)采用固定網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格不隨時(shí)間演變，因此在統(tǒng)一算法迭代之前的初始化過(guò)程中通過(guò)分區(qū)之間的位置關(guān)系判斷鄰近分區(qū)編號(hào)。判斷區(qū)域單元的每個(gè)邊界類型，如果是分區(qū)對(duì)接面則還需要給出鄰近分區(qū)內(nèi)該對(duì)接面的網(wǎng)格序列號(hào)。

控制方程在每個(gè)分區(qū)中是獨(dú)立求解的，因此保證對(duì)接面兩側(cè)流場(chǎng)信息的正確傳遞是算法成功的關(guān)鍵。為了保證流場(chǎng)光滑過(guò)渡及流場(chǎng)信息在整個(gè)求解域內(nèi)的正確傳遞，每個(gè)分區(qū)對(duì)接面網(wǎng)格的有限差分格式精度應(yīng)該與內(nèi)點(diǎn)保持一致，這就需要在對(duì)接面外設(shè)置虛擬網(wǎng)格，虛擬網(wǎng)格點(diǎn)的信息通過(guò)相鄰分區(qū)同一位置的值給出。值得注意的是分布函數(shù)G=G(t，r，v)是關(guān)于速度v的函數(shù)，因此虛擬網(wǎng)格點(diǎn)上速度方向在鄰近分區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)的速度方向必須保持一致。虛擬網(wǎng)格點(diǎn)上的分布函數(shù)值可寫為:

其中border_i、border_j表示相鄰塊內(nèi)該位置的網(wǎng)格點(diǎn)編號(hào)。

為了保證流場(chǎng)信息在分區(qū)對(duì)接面上的光滑過(guò)渡，需要對(duì)兩側(cè)分區(qū)分別迭代得到對(duì)接面上的分布函數(shù)值進(jìn)行平均操作。物面和來(lái)流邊界的處理與單域網(wǎng)格一致［17］。

3 算例與討論

3.1 豎直平板繞流算例驗(yàn)證

文獻(xiàn)［16］開展了稀薄過(guò)渡流區(qū)二維豎直平板高馬赫數(shù)繞流計(jì)算，本文以其為算例驗(yàn)證分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格的氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法程序可靠性。計(jì)算區(qū)域及網(wǎng)格分區(qū)如圖1所示，豎直平板厚度不計(jì)，高為1。左端自由來(lái)流氮?dú)獾臒o(wú)量綱速度［17］為S∞=7.0，壁面溫度Tw=10，努森數(shù)Kn∞=0.01。圖2給出了數(shù)值計(jì)算得到該高馬赫數(shù)豎直平板流場(chǎng)的無(wú)量綱壓力等值線分布，可以看到左端來(lái)流在平板前端形成一道脫體激波。各網(wǎng)格分區(qū)之間的流場(chǎng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了光滑過(guò)渡，說(shuō)明對(duì)接面處理方法是合理的。流場(chǎng)信息在全求解域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了較好地傳遞。

圖1 豎直平板流場(chǎng)網(wǎng)格分區(qū)Fig.1 Multi-block patched mesh for flow past a erect plate

圖2 平板繞流壓力等值線Fig.2 Pressure contours of plate flow

圖3 平板繞流平動(dòng)溫度等值線與文獻(xiàn)［16］的比較Fig.3 Translational temperature contours by GKUA compared with those from reference［16］

圖3 中基于分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格的氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法(GKUA)計(jì)算得到流場(chǎng)平動(dòng)溫度分布與文獻(xiàn)［16］基本一致，包括脫體激波位置和形狀、等值線分布變化趨勢(shì)等。比較結(jié)果表明本文的分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)是可靠的。此外，GKUA得到的流場(chǎng)等值線更加光滑，不會(huì)出現(xiàn)波浪式起伏現(xiàn)象，這是分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格相比于單域網(wǎng)格的一大優(yōu)勢(shì)。圖4中平板前端流場(chǎng)減速線上(y=0)的無(wú)量綱密度、平動(dòng)溫度、轉(zhuǎn)動(dòng)溫度分布與文獻(xiàn)的比較也很好地說(shuō)明了分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格在氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法中實(shí)現(xiàn)過(guò)程的可靠性。

圖4 平板前端減速線上的流動(dòng)參數(shù)分布Fig.4 Macro-parameter distribution on forepart decelerating line

3.2 Crookes輻射計(jì)對(duì)流問題［22］模擬驗(yàn)證

將0.01 m×0.04 m的二維簡(jiǎn)化Crookes輻射計(jì)模型置于0.44 m×0.44 m的方腔內(nèi)，輻射計(jì)風(fēng)向標(biāo)左側(cè)溫度為450 K、右側(cè)為410 K，方腔壁溫固定為300 K。模型及流場(chǎng)分區(qū)網(wǎng)格如圖5所示。由于輻射計(jì)左右兩側(cè)以及方腔壁之間的溫差導(dǎo)致氣體對(duì)流運(yùn)動(dòng)。圖6給出了統(tǒng)一算法采用分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格(圖5)計(jì)算得到該輻射計(jì)流場(chǎng)溫度分布與DSMC方法數(shù)值模擬結(jié)果的比較情況，可以看出二者能夠較好地在上下交界處匹配起來(lái)，尤其是近壁區(qū)域能完全重合。圖中DSMC方法的結(jié)果存在統(tǒng)計(jì)波動(dòng)現(xiàn)象，而基于分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格的統(tǒng)一算法(GKUA)等值線分布則較為光滑細(xì)膩，凸顯出后者在計(jì)算這種低速輻射對(duì)流問題方面的優(yōu)越性。

圖5 Crookes輻射計(jì)模型及分區(qū)網(wǎng)格Fig.5 Model and multi-block patched mesh for Crookes vane

圖6 Crookes輻射計(jì)流場(chǎng)的溫度分布Fig.6 Temperature distribution around the vane

圖7 、圖8分別給出輻射計(jì)左側(cè)中心線、上半部分中心垂直線上的無(wú)量綱溫度和密度分布比較?？梢钥闯鯠SMC和統(tǒng)一算法(GKUA)的計(jì)算結(jié)果沿這兩條線的流場(chǎng)參數(shù)輪廓線完全重合，進(jìn)一步驗(yàn)證了分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格在統(tǒng)一算法中的實(shí)現(xiàn)是可靠的。

圖7 輻射計(jì)左側(cè)中心線上的溫度與密度分布Fig.7 Temperature and density distribution along the central line at the left side of the vane

圖8 輻射計(jì)上側(cè)中心垂直線上的溫度與密度分布Fig.8 Temperature and density distribution along the central vertical line above the vane

3.3 高馬赫數(shù)多體干擾復(fù)雜流動(dòng)計(jì)算

流場(chǎng)中存在多個(gè)物體的情況需要采用分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格才能描述。本文以相互交錯(cuò)放置的兩個(gè)長(zhǎng)方形為算例開展高馬赫數(shù)(Ma∞=6)多體流場(chǎng)計(jì)算。來(lái)流克努森數(shù)為Kn∞=0.003 65(對(duì)應(yīng)近連續(xù)流區(qū))，來(lái)流溫度T∞=273.15 K，設(shè)置壁面溫度為Tw=300 K，流動(dòng)氣體為單原子氬氣Ar。圖9給出了兩個(gè)長(zhǎng)方形的相對(duì)位置及流場(chǎng)網(wǎng)格劃分，其中長(zhǎng)方形無(wú)量綱寬度為1，長(zhǎng)度為5，左右交錯(cuò)1，上下距離為2。

圖9 兩個(gè)長(zhǎng)方形流場(chǎng)網(wǎng)格Fig.9 Mesh system for flow with two rectangles

圖10 -圖12是該多體干擾流場(chǎng)的馬赫數(shù)、無(wú)量綱溫度和壓力等值線云圖。可以看到整個(gè)流場(chǎng)在各網(wǎng)格分區(qū)之間光滑過(guò)渡，流場(chǎng)特征明顯且合理，證明分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格在氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法中的實(shí)現(xiàn)是正確的，分區(qū)對(duì)接面的處理是合理有效的。該多體干擾流場(chǎng)表現(xiàn)出連續(xù)流區(qū)的流動(dòng)特征:物體前端出現(xiàn)脫體激波，使得超聲速來(lái)流跨越激波成為亞聲速流動(dòng)。波后是高溫高壓區(qū)，延續(xù)到兩個(gè)交錯(cuò)長(zhǎng)方形的位置，最大無(wú)量綱溫度和壓力值分別達(dá)到13.5和55。脫體激波的形狀不規(guī)則，下方要“胖”一些。

脫體激波波后的高溫高壓低速氣體進(jìn)入兩個(gè)長(zhǎng)方形之間的槽道流動(dòng)中。在向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中壓力溫度逐漸減小，速度逐漸恢復(fù)。特別是在槽道的核心區(qū)位置是典型的連續(xù)流區(qū)亞聲速槽道流動(dòng)特征。槽道中的氣體在長(zhǎng)方形后端的擴(kuò)張作用與外場(chǎng)氣體壓縮的共同作用下，形成了一片類似于“噴管擴(kuò)張段”的核心區(qū)，該核心區(qū)內(nèi)氣體馬赫數(shù)重新達(dá)到并超過(guò)1，最高時(shí)馬赫數(shù)恢復(fù)到5左右，而壓力和速度持續(xù)降低，并且形成了上下兩道不太對(duì)稱的壓縮波。

從圖12中兩個(gè)長(zhǎng)方形上下物面附近的壓力等值線分布能夠明顯看到一層薄薄的邊界層，邊界層厚度很小，這正是連續(xù)流動(dòng)的典型特征。

圖10 兩個(gè)長(zhǎng)方形流場(chǎng)馬赫數(shù)等值線云圖Fig.10 Mach number contours for flow with two rectangles

圖11 兩個(gè)長(zhǎng)方形流場(chǎng)溫度等值線云圖Fig.11 Temperature contours for flow with two rectangles

圖12 兩個(gè)長(zhǎng)方形流場(chǎng)壓力等值線云圖Fig.12 Pressure contours for flow with two rectangles

此外，本文還數(shù)值計(jì)算了稀薄流區(qū)(Kn∞=1.0)上下對(duì)稱尖劈外形(如圖13所示)的復(fù)雜流動(dòng)。來(lái)流馬赫數(shù)Ma∞=3，流動(dòng)氣體為氮?dú)釴2。圖14給出了該對(duì)稱尖劈流場(chǎng)的無(wú)量綱密度等值線云圖。不僅實(shí)現(xiàn)了分區(qū)之間流場(chǎng)參數(shù)的光滑過(guò)渡，高稀薄流動(dòng)特征也非常明顯。壁面干擾在流場(chǎng)中影響范圍很廣，整個(gè)流場(chǎng)沒有激波的形成，流場(chǎng)參數(shù)緩慢過(guò)渡。

圖13 上下對(duì)稱尖劈示意圖Fig.13 Sketch map for symmetrical ramps

圖14 對(duì)稱尖劈流場(chǎng)密度等值線云圖Fig.14 Density contours for symmetrical ramps flow

4 結(jié)束語(yǔ)

在基于Boltzmann模型方程的氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法中應(yīng)用分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜流場(chǎng)中網(wǎng)格分區(qū)之間流場(chǎng)信息的正確傳遞，以及分區(qū)對(duì)接面上流場(chǎng)參數(shù)的光滑過(guò)渡，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)復(fù)雜外形的跨流域氣體流動(dòng)問題數(shù)值模擬。研究表明，分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)包括多體流場(chǎng)在內(nèi)的復(fù)雜流動(dòng)的正確描述，而且能夠更加準(zhǔn)確地捕捉流場(chǎng)階躍、突變、過(guò)渡等特征。

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Multi-block patched mesh in gas-kinetic unified algorithm

Wu Junlin，Peng Aoping，Li Zhihui*，F(xiàn)ang Ming
(Hypervelocity Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China)

In order to simulate gas flows with complex shapes or several bodies covering various regimes，coordinate space should be divided into dinky cells，and numerical method based on the complex mesh system should also be developed.In this paper，two-dimensional flows around complex objects are described by multi-block patched meshes，and then body-fitted mesh systems are given.Boltzmann-Rykov model equation involving rotational non-equilibrium effect is numerically computed based on this mesh system.Discrete velocity ordinate method is used to disperse velocity space，while finite-difference NND scheme for coordinate space.Transfer of distribution function on the interface，information and velocity information on the grid included，should be treated especially.Then flow characters from rarefied transition to continuum around complex bodies are obtained by numerical computing.Some examples show that macro-parameters glossily translate between different blocks in the whole mesh system.Results from GKUA are compared with those from reference and DSMC method.It is showed that the Gas-kinetic Unified Algorithm based on multi-block patched mesh is credible to numerically simulate complex flows in various regimes.

multi-block patched mesh;gas-kinetic unified algorithm;Rykov model equation;flow with several bodies

O355;O356

:Adoi:10.7638/kqdlxxb-2014.0016

0258-1825(2015)05-0624-07

2014-03-17;

:2014-05-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(91016027，11325212);國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2014CB744100)資助

吳俊林(1985-)，男，四川會(huì)理人，碩士，助理研究員，主要從事稀薄氣體動(dòng)力學(xué)研究.E-mail:wujunlin130@aliyun.com

李志輝*，男，博士，研究員.Tel:13693524532，E-mail:zhli0097@x263.net

吳俊林，彭傲平，李志輝，等.分區(qū)對(duì)接網(wǎng)格在跨流域氣體運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)一算法的應(yīng)用研究［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33(5):624-630.

10.7638/kqdlxxb-2014.0016 Wu J L，Peng A P，Li Z H，et al.Multi-block patched mesh in gas-kinetic unified algorithm［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(5):624-630.