王 鵬，邱天爽＊，李景春，譚海峰，3

（1.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024；2.國家無線電監(jiān)測(cè)中心，北京 100037；3.北京郵電大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京 100876）

0 引 言

空間信源的位置估計(jì)是陣列信號(hào)處理與應(yīng)用中的基本問題之一，也是聲吶、雷達(dá)、地震探測(cè)以及電子偵察等領(lǐng)域的重要任務(wù)之一.根據(jù)信源與陣列天線的位置關(guān)系，可以將空間信源分為遠(yuǎn)場(chǎng)源和近場(chǎng)源.在傳播過程中，遠(yuǎn)場(chǎng)源的波前可以用平面波進(jìn)行描述，其位置可由單一的波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）給出，然而當(dāng)信源靠近菲涅爾區(qū)即近場(chǎng)情況下，此時(shí)電磁傳播過程中的波前曲率不可忽略，必須采用球面波進(jìn)行描述，其位置則需利用距離和DOA 進(jìn)行聯(lián)合確定.

針對(duì)近場(chǎng)源的參數(shù)估計(jì)問題，文獻(xiàn)［1］提出了最大似然估計(jì)法，文獻(xiàn)［2］提出將1D－MUSIC 算法擴(kuò)展為2D－MUSIC方法，以實(shí)現(xiàn)近場(chǎng)源的位置估計(jì)，但需要進(jìn)行二維峰值搜索.為了減小計(jì)算量，學(xué)者們相繼提出了Root－MUSIC 方 法［3］、路徑跟蹤算法［4］以及CA－MUSIC 方法［5］等多種方法，但仍需進(jìn)行多次一維峰值搜索，計(jì)算量十分可觀.為此，學(xué)者們進(jìn)一步提出了無須峰值搜索的方法［6－16］，其中以Challa等［9］和Yuen等［10］為代表提出的ESPRIT－like方法［9－16］最受關(guān)注，該方法通過構(gòu)造合適的累積量矩陣并采用子空間旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)進(jìn)行信源參數(shù)的估計(jì)，具有封閉的數(shù)學(xué)表達(dá)式，不需要任何峰值搜索，而且高階累積量對(duì)高斯噪聲具有魯棒性，因此該類算法適用于任意形式的高斯噪聲環(huán)境.

文獻(xiàn)［9－12］提出了多個(gè)近場(chǎng)窄帶信源的方位與距離的聯(lián)合估計(jì)方法，但該類方法假設(shè)多個(gè)信源具有相同載頻且頻率已知，不適用于載頻不同且未知電磁環(huán)境.針對(duì)這一不足，文獻(xiàn)［13－16］提出了近場(chǎng)窄帶信源頻率、方位以及距離三維參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)方法，取得較好效果的同時(shí)也存在一定的不足，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是采用中心對(duì)稱接收陣列的方法損失了部分陣列孔徑，參數(shù)估計(jì)分辨能力低；二是采用非中心對(duì)稱接收陣列的方法提高了孔徑利用率，卻需要構(gòu)造多個(gè)累積量矩陣，計(jì)算量較大.為彌補(bǔ)以上不足，本文提出一種改進(jìn)的近場(chǎng)窄帶多信源參數(shù)估計(jì)方法，通過所構(gòu)造四階累積量矩陣的特征分解實(shí)現(xiàn)DOA、頻率以及距離參數(shù)的聯(lián)合估計(jì).

1 信號(hào)模型

假設(shè)空間存在P個(gè)近場(chǎng)窄帶信源，入射到一個(gè)陣元個(gè)數(shù)為M的均勻線陣（見圖1），陣元間距為d，接收到的信號(hào)經(jīng)過下變頻至中頻并以采樣頻率fs進(jìn)行抽樣，當(dāng)以陣元0為參考陣元時(shí)，第m個(gè)陣元上的接收數(shù)據(jù)可以表示為

圖1 均勻線陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Uniform linear sensor array configuration

式中：K是快拍數(shù)；wm（k）為第m個(gè)接收陣元的噪聲；ωi＝2πfi／fs，是第i個(gè)信源的數(shù)字頻率；τmi是第i個(gè)信源在陣元m相對(duì)參考陣元相位差，由信源位置（ri，θi）唯一確定［1］.

其中ri表示第i個(gè)信源到參考陣元的距離，θi和λi分別表示第i個(gè)信源的入射角以及波長.為了簡化信號(hào)模型，本文作如下假設(shè)：

（1）信源為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程，滿足均值為零，峰度值非零，且信源之間相互獨(dú)立；

（2）噪聲為高斯過程，滿足均值為零，陣元間噪聲以及噪聲與信源之間相互獨(dú)立；

（3）對(duì)于不同的信源i≠j，滿足ωi≠ωj，γi≠γj，≠；

（4）陣元間距d≤min（λi）／4，信源個(gè)數(shù)已知并滿足P＜M.

2 三維參數(shù)聯(lián)合估計(jì)方法

定義大小為M×M的四階累積量矩陣C1，形式如下：

將式（1）代入式（4），在假設(shè)（1）和（2）下，結(jié)合四階累積量的性質(zhì)［17］可以得到

對(duì)于－1≤m，n≤M－2，可以將式（5）寫成矩陣形式：

其中C4s＝diag｛c4s1，c4s2，…，c4sP｝，是以信源峰度值c4si為對(duì)角元素的矩陣；A是大小為M×P的陣列流形，其第i列稱為導(dǎo)向矢量，可以表示為

在窄帶假設(shè)條件下，有si（k＋1）≈si（k）成立，經(jīng)過推導(dǎo)得到兩個(gè)新的累積量矩陣C2、C3：

式中：Ω＝diag｛ejω1，ejω2，…，ejωP｝，Φ＝diag｛ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP｝.

由假設(shè)條件（1）和（3）可知，矩陣C1列滿秩且秩為P，對(duì)其進(jìn)行特征分解得到

M個(gè)特征值滿足ρ1≥ρ2≥…≥ρP＞ρP＋1＝…＝ρM＝0，ui是第i個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.

定義矩陣C1的偽逆C＃1為

經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)［13］可以得到

由假設(shè)（1）和（3）可知，矩陣A和Ω分別為列滿秩矩陣和可逆對(duì)角陣.對(duì)矩陣C2C＃1進(jìn)行特征分解得到的P個(gè)非零特征值就對(duì)應(yīng)著ejω1，ejω2，…，ejωP.

通過下式可以得到數(shù)字頻率的估計(jì)：

angle（·） 表示對(duì)“·”求輻角.對(duì)累積量矩陣C3進(jìn)行相似的處理可以得到

同樣地，對(duì)C3C＃1進(jìn)行特征分解得到的P個(gè)非零特征值對(duì)應(yīng)ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP.

通過下式可以得到γi的估計(jì)為

通過特征值對(duì)應(yīng)的特征向量就可以得到的估計(jì)

綜上，可以得到近場(chǎng)窄帶信源的頻率、方向以及距離的三維參數(shù)估計(jì)為

其中c為電磁波的傳播速度和分別由式（17）和（18）估計(jì)得到.

假設(shè)本文所用接收陣列由M個(gè)陣元組成，M為偶數(shù)，文獻(xiàn)［13－14］采用中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由接收數(shù)據(jù)所構(gòu)造的高階累積量矩陣大小是（M／2）×（M／2），有M／2個(gè)陣元孔徑的損失，最多可估計(jì)M／2－1個(gè)信源.本文和文獻(xiàn)［15－16］采用非中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由接收數(shù)據(jù)所構(gòu)造的累積量矩陣維數(shù)是M×M，避免了陣列天線的孔徑損失，最多可估計(jì)M－1個(gè)信源.

由于四階累積量矩陣的構(gòu)造以及矩陣的特征分解是算法運(yùn)算復(fù)雜度的主要體現(xiàn)，本文主要考慮這兩項(xiàng)的計(jì)算復(fù)雜度.利用快拍數(shù)為K的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)大小為M×M高階累積量矩陣的計(jì)算復(fù)雜度為O（9M2K），對(duì)其進(jìn)行特征分解的計(jì)算復(fù)雜度為O（4M3／3）.本文方法共需要構(gòu)造3個(gè)M×M高階累積量矩陣，并需要3 次特征分解，所以計(jì)算復(fù)雜度為O（27M2K＋4M3），低于采用同樣結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)［15］和［16］，其計(jì)算復(fù)雜度分別 為O（36M2K＋272M3／3）和O（54M2K＋72M3）.在參數(shù)配對(duì)方面，本文方法需要一次參數(shù)配對(duì)，文獻(xiàn)［15］需要進(jìn)行兩次參數(shù)配對(duì)，而文獻(xiàn)［16］則不需要參數(shù)配對(duì).

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮一個(gè)陣元數(shù)目M＝8的均勻線陣，陣元間距d＝min（λi）／4，空間存在兩個(gè)等功率且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的近場(chǎng)窄帶信源，中心頻率分別為f1＝3 MHz，f2＝4 MHz.仿真實(shí)驗(yàn)中采樣頻率為10 MHz，本文以均方根誤差erms作為方法性能的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，結(jié)果由L＝300次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得到：

其中代表本文方法得到的參數(shù)估計(jì)值，x代表參數(shù)的真值.

實(shí)驗(yàn)1 比較本文方法與文獻(xiàn)［14－16］方法在不同信噪比下的近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)性能，其中信噪比Rsn從0dB到25dB變化，數(shù)據(jù)長度為2 000個(gè)快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖2給出了不同Rsn下不同方法參數(shù)估計(jì)erms的變化曲線.從圖中可以看出，在頻率估計(jì)方面，本文方法的性能比文獻(xiàn)［16］方法略差，與文獻(xiàn)［15］方法估計(jì)性能相當(dāng)，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［14］方法.這是因?yàn)槲墨I(xiàn)［14］方法采用了中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)陣列，具有較大的孔徑損失而導(dǎo)致各參數(shù)估計(jì)性能都比較低.相比于文獻(xiàn)［16］方法，本文構(gòu)造高階累積量矩陣個(gè)數(shù)少，估計(jì)頻率所用的高階累積量矩陣維數(shù)小，因而頻率估計(jì)性能略差.在到達(dá)角估計(jì)方面，本文方法與文獻(xiàn)［15］方法估計(jì)性能基本相同，略優(yōu)于文獻(xiàn)［16］方法，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［14］方法.而在距離估計(jì)方面，本文方法則明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［14－16］中的方法.

實(shí)驗(yàn)2 比較本文方法與文獻(xiàn)［14－16］方法在不同快拍數(shù)下的參數(shù)估計(jì)性能，其中信噪比Rsn固定為20dB，數(shù)據(jù)長度范圍為500 到2 500個(gè)快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖3給出了不同快拍數(shù)下參數(shù)估計(jì)erms的變化曲線.從圖中可以看出，各方法性能隨快拍數(shù)的增加而提高，方法之間的性能比較結(jié)果與實(shí)驗(yàn)1結(jié)論相同：本文方法除在頻率估計(jì)性能略差于文獻(xiàn)［16］方法以外，其他兩個(gè)參數(shù)都能取得比其他方法更加精確的估計(jì)結(jié)果.此外，由實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，位置較近信源的距離參數(shù)估計(jì)精度明顯高于位置較遠(yuǎn)信源的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，這與文獻(xiàn)［10］的理論分析是一致的，說明了本文方法的有效性.

圖2 不同信噪比下的近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)誤差Fig.2 Errors of parameters estimation for near－field sources under different SNR

圖3 不同快拍數(shù)下的近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)誤差Fig.3 Errors of parameters estimation for near－field sources under different snapshots

實(shí)驗(yàn)3 比較本文方法與文獻(xiàn)［14－16］方法在不同入射角下的參數(shù)估計(jì)性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1入射角θ1從0°變化至30°，信源2入射角固定為θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖4給出了不同入射角下的參數(shù)估計(jì)erms變化曲線.從圖中可以看出，隨著信源1入射方向的變化，各信源參數(shù)估計(jì)性能與實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2中的結(jié)論是一致的.此外還可以發(fā)現(xiàn)，在距離和頻率不同的情況下，同一方向的兩個(gè)信源是可以分離的.需要指出的是，本文方法和文獻(xiàn)［14］方法的距離參數(shù)估計(jì)誤差會(huì)隨著兩個(gè)信源入射方向的接近而增大.

實(shí)驗(yàn)4 比較本文方法與文獻(xiàn)［14－16］方法在不同距離下的參數(shù)估計(jì)性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1的入射角θ1＝－15°，信源2的入射角θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1從0.5λ1變化至4λ1，r2＝0.8λ2.

圖5給出了不同距離參數(shù)下的erms變化曲線.除文獻(xiàn)［14］方法以外，其余方法的頻率估計(jì)、到達(dá)角估計(jì)以及信源2的距離估計(jì)erms隨信源1距離的增大沒有明顯的變化，而信源1的距離估計(jì)erms則隨距離的增大而增大.文獻(xiàn)［14］方法在r1＝0.5λ1時(shí)參數(shù)估計(jì)誤差較大，這是因?yàn)榇藭r(shí)兩信源的距離參數(shù)幾乎相等，不能充分保證文獻(xiàn)［14］方法中要求兩者距離參數(shù)不相等的假設(shè).

圖4 不同信源1入射角下近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)誤差Fig.4 Errors of parameters estimation for near－field sources under different DOAs of source 1

圖5 不同距離下近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)誤差Fig.5 Errors of parameters estimation for near－field sources under different ranges

實(shí)驗(yàn)5 比較本文方法與文獻(xiàn)［15－16］方法的復(fù)雜度，信噪比固定為20dB，數(shù)據(jù)長度范圍為500到2 500個(gè)快拍，統(tǒng)計(jì)300次Monte－Carlo實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行時(shí)間.

表1給出了相同條件下不同方法的運(yùn)行時(shí)間，從表中可以看出，文獻(xiàn)［16］方法運(yùn)行時(shí)間約為本文方法的1.8倍，文獻(xiàn)［15］方法運(yùn)行時(shí)間約為本文方法的1.3倍，與理論分析是一致的，說明本文方法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度.

表1 不同方法運(yùn)算復(fù)雜度比較Tab.1 Comparison of computational complexity for different methods

4 結(jié) 語

本文提出了一種改進(jìn)的近場(chǎng)窄帶信源多參數(shù)估計(jì)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)多信源的頻率、距離以及DOA 的聯(lián)合估計(jì).通過采用非對(duì)稱陣列結(jié)構(gòu)以達(dá)到避免陣列孔徑損失的目的，通過構(gòu)造新的累積量矩陣以達(dá)到降低算法的計(jì)算復(fù)雜度的效果.最后，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法除在頻率估計(jì)精度方面略低于文獻(xiàn)［16］方法外，其他兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)精度均高于其他方法，尤其是距離參數(shù)估計(jì)精度明顯高于其他方法，證明了本文方法的有效性.此外，本文方法在保證參數(shù)估計(jì)精度的同時(shí)，有效地縮短了運(yùn)行時(shí)間，說明了本文方法的工程應(yīng)用價(jià)值.

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