張 鵬，舒燕菲

(武漢科技大學管理學院， 湖北 武漢，430081)

具有交易成本的均值-絕對偏差模糊投資組合優(yōu)化

張 鵬，舒燕菲

(武漢科技大學管理學院， 湖北 武漢，430081)

考慮到資產(chǎn)收益率的模糊不確定性，提出具有交易成本和交易量限制的均值-絕對偏差模糊投資組合優(yōu)化模型。運用可能性理論將該模型轉(zhuǎn)化為顯式的線性規(guī)劃問題，并采用改進的旋轉(zhuǎn)算法進行求解。最后通過實證研究證明該模型和算法的有效性，討論了資產(chǎn)收益率為梯形模糊數(shù)的情況下投資者針對現(xiàn)有投資組合的調(diào)整策略。

投資組合；均值-絕對偏差；交易成本；旋轉(zhuǎn)算法；資產(chǎn)收益率；模糊數(shù)

投資組合優(yōu)化要解決的關(guān)鍵問題是收益與風險的平衡。Markowitz[1]最早用數(shù)量化方法解決投資組合優(yōu)化問題，分別采用均值和方差來度量投資組合的收益和風險。但均值-方差模型存在較大的局限性，其要求資產(chǎn)收益率呈多元正態(tài)分布，而很多情況下收益率是非正態(tài)分布的，因此研究人員又提出了一些其他的風險度量方法。張鵬等[2]用絕對偏差代替方差，提出了具有風險控制和基數(shù)約束的均值-絕對偏差投資組合優(yōu)化模型；張鵬[3]還用半絕對偏差度量投資組合的風險；黃金波等[4]和柴尚蕾等[5]用CVaR作為指標，研究投資組合風險估量與管理問題；Huang[6]用熵來度量投資組合風險，認為熵值越小，投資組合收益包含的不確定性越低，風險越小。

實際情況下，風險資產(chǎn)的收益是模糊不確定的。為了更有效地解決實際問題，模糊集理論被廣泛應(yīng)用于風險管理，因此，許多學者研究了資產(chǎn)收益為模糊數(shù)情況下的投資組合優(yōu)化問題。鄧雪等[7]提出了收益率為梯形模糊數(shù)的均值-方差投資組合模型；劉勇軍等[8]提出了具有現(xiàn)實約束的模糊多準則投資組合優(yōu)化模型；馬勇等[9]研究了模糊隨機環(huán)境中的歐式障礙期權(quán)定價問題；潘東靜等[10]將不確定性環(huán)境下的VaR和CVaR的投資組合優(yōu)化模型進行了對比研究；劉宣會等[11]研究了在部分信息下的投資組合優(yōu)化問題。

上述模型僅僅考慮了在投資初期如何選擇最優(yōu)投資策略，但由于金融市場的變化和投資者風險偏好的改變，現(xiàn)有投資組合在整個投資期內(nèi)并不總是有效的，因此投資者可能會在投資期內(nèi)對投資組合進行調(diào)整，而調(diào)整投資組合會產(chǎn)生交易成本。Zhang等[12-13]考慮了單位買進賣出成本和每種資產(chǎn)單位交易成本對投資組合的影響，分別提出了不同的投資組合優(yōu)化模型。在上述研究的基礎(chǔ)上，本文基于可能性理論，分析了可能性均值和可能性絕對偏差，綜合考慮交易成本和交易量限制，提出了均值-絕對偏差模糊投資組合優(yōu)化模型，并運用旋轉(zhuǎn)算法求解。最后通過實證研究說明在資產(chǎn)收益率為梯形模糊數(shù)的情況下，投資者如何對現(xiàn)有投資組合進行調(diào)整。

1 模糊均值和絕對偏差

下面介紹本文中的一些定義。模糊數(shù)A是滿足常態(tài)性、模糊凸性和連續(xù)成員函數(shù)的實線R模糊集。它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)]，γ∈[0,1]，模糊數(shù)A的上、下可能性均值[14]為

(1)

(2)

式中：Pos表示可能性。

定義1[14]假設(shè)A是模糊數(shù)，它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])，則其可能性均值為

(3)

定義2 假設(shè)A、B是模糊數(shù)，它們的水平集為[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])和[B]γ=[b1(γ),b2(γ)] (γ∈[0, 1])，A和B的可能性絕對偏差為

(4)

假設(shè)A是梯形模糊數(shù)，A=(al,bl,αl,βl)，則A的隸屬函數(shù)為

(5)

其中αl和βl為正數(shù)。模糊數(shù)A=(al,bl,αl,βl) 的水平集為[Al]γ= [al-(1-γ)αl,bl+(1-γ)βl],γ∈[0,1]。

根據(jù)定義1可知Ai的上、下可能性均值以及可能性均值分別為

(6)

(7)

(8)

2 均值-絕對偏差模糊投資組合模型

2.1 問題描述和符號說明

2.2 投資組合的可能性收益和風險

(9)

(10)

根據(jù)定義2，可得到投資組合x=(x1,x2,…,xn,xf)的可能性絕對偏差(風險)為

(11)

(12)

(13)

去絕對值后式(13)化為

(14)

(15)

根據(jù)文獻[16]，式(15)轉(zhuǎn)化為

(16)

根據(jù)式(8)，式(16)可以轉(zhuǎn)化為

(17)

證畢。

2.3 投資組合模型

假設(shè)投資者的目標是風險最小化，則具有交易成本和交易量限制的均值-絕對偏差模糊投資組合模型為

(18)

模型(18)中，第一個約束條件表示調(diào)整后的投資組合凈收益率不低于給定的期望值r0；第二個約束條件表示無風險資產(chǎn)的投資比例必須超過給定的下界；第三個約束條件表示第i種資產(chǎn)投資比例的上下界限制。模型(18)的經(jīng)濟意義是指在滿足上述三個約束條件的情況下，投資者如何調(diào)整投資組合以使其風險最小。

(19)

一般來說，投資組合收益越大，風險越高。但最低期望收益率r0也不能無限大，即在r0超過某個值的前提下要求風險最低時，可能不存在最優(yōu)解，因此有必要確定r0的取值范圍。

假設(shè)在投資過程中，投資者只關(guān)注收益而不考慮風險，此時，投資組合可以獲得最大收益，即可得到r0的最大值。

(20)

3 實證研究

下面分兩種情況討論交易成本對投資組合的影響。用pi表示單位買進成本，qi表示單位賣出成本，其中i=1,2,…,30。

(1)每種資產(chǎn)的買進和賣出成本相同。

當Ci=pi=qi=0，即不存在交易成本時，比較r0取不同值時對應(yīng)的最優(yōu)投資策略，如表1所示。

為了考察交易成本對投資組合的影響，令Ci=pi=qi=0.005，比較r0取不同值時對應(yīng)的最優(yōu)投資策略，如表2所示。

從表1和表2中可以看出，投資組合的風險和收益是正相關(guān)的，即在r0的取值區(qū)間內(nèi)，期望收益率越高，投資風險越大。同時，在期望收益率一定的前提下，單位交易成本越高，投資風險就越大。

(2)每種資產(chǎn)的買進和賣出成本不同。

4 結(jié)語

考慮到風險資產(chǎn)收益的模糊不確定性，本文提出了具有交易成本和交易量上下界限制的均值-絕對偏差模糊投資組合模型，并用改進的線性規(guī)劃旋轉(zhuǎn)算法進行求解。通過實證研究證明了模型和算法的有效性，說明了交易成本對投資組合的影響：單位交易成本不同時對應(yīng)的投資調(diào)整策略也不相同；在期望收益率一定的情況下，單位交易成本越高，投資風險就越大。

[1] Markowitz H M. Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952, 7:77-91.

[2] Zhang Peng, Zhang Weiguo. Multiperiod mean absolute deviation fuzzy portfolio selection model with risk control and cardinality constraints[J].Fuzzy Sets and Systems,2014,255: 74-91.

[3] 張鵬.多階段均值-半絕對偏差模糊投資組合優(yōu)化研究[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2013,27(1):168-176.

[4] 黃金波,李仲飛，姚海祥.基于CVaR核估計量的風險管理[J].管理科學學報,2014(3):49-59.

[5] 柴尚蕾,郭崇慧.基于Mean-CVaR約束的股指期貨動態(tài)套期保值模型研究[J].管理工程學報,2012, 26(2):141-146.

[6]Huang Xiaoxia.Mean-entropy models for fuzzy portfolio selection[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2008,16(4):1096-1101.

[7] 鄧雪,王妍超.帶有梯形模糊數(shù)的均值-方差投資組合模型比較分析[J].經(jīng)濟數(shù)學,2011，28(3):49-54.

[8] 劉勇軍,張衛(wèi)國,徐維軍.考慮現(xiàn)實約束的模糊多準則投資組合優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2013(10):2462-2470.

[9] 馬勇,張衛(wèi)國,劉勇軍,等.模糊隨機環(huán)境中的歐式障礙期權(quán)定價[J].系統(tǒng)工程學報,2012(5):641-647.

[10]潘東靜,寧玉富.不確定環(huán)境下基于VaR和CVaR的投資組合優(yōu)化模型[J].計算機科學,2012(6):204-206.

[11]劉宣會,張金燕，張柯妮，等.部分信息下均值-方差準則下的投資組合問題研究[J].數(shù)學的實踐與認識,2013,43(12):124-130.

[12]Zhang Xili, Zhang Weiguo, Cai Ruichu. Portfolio adjusting optimization under credibility measures [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234(5)：1458-1465.

[13]Zhang Xili, Zhang Weiguo, Xu Weijun. An optimization model of the portfolio adjusting problem with fuzzy return and a SMO algorithm[J].Expert Systems with Applications,2011,38(4):3069-3074.

[14]Carlsson C, Fullér R, Majlender P. A possibilistic approach to selecting portfolios with highest utility score[J].Fuzzy Sets and Systems, 2002, 131(1): 13-21.

[15]Yoshimoto A. The mean-variance approach to portfolio optimization subject to transaction costs[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan, 1996, 39(1): 99-117.

[16]Vercher E, Bermúdez J D, Segura J V. Fuzzy portfolio optimization under downside risk measures [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2007, 158: 769-782.

[17]張鵬,張忠楨,岳超源.限制性賣空的均值-半絕對偏差投資組合模型及其旋轉(zhuǎn)算法研究[J].中國管理科學，2006,14(2):7-11.

[責任編輯 尚 晶]

Optimization of mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection with transaction cost

ZhangPeng,ShuYanfei

(College of Management, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Considering the fuzzy uncertainty of the return on assets, this paper proposes a mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection model with transaction cost and threshold constraints. Based on the possibility theory, the model is transformed into an explicit linear programming problem. An improved pivoting algorithm is adopted to obtain the optimal portfolio strategy. Finally, an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed model and algorithm，and show the investors how to adjust the portfolio selection when the return on assets is trapezoidal fuzzy number.

portfolio selection; mean-absolute deviation; transaction cost; pivoting algorithm；return on assets；fuzzy number

2014-12-10

國家自然科學基金資助項目(71271161).

張 鵬(1975-)，男，武漢科技大學教授，博士.E-mail：zhangpeng300478@aliyun.com

F224.9；O221.2

A

1674-3644(2015)03-0235-06