李 濤，屈也頻，梅風華

(海軍裝備研究院 航空裝備論證研究所，上海200436)

1 引 言

聲吶浮標是航空搜潛主要的潛艇定位與跟蹤設備，其目標定位與跟蹤算法一直是航空反潛研究的重點［1－5］。文獻［6］基于HYFIX 法研究了被動全向浮標目標定位問題;文獻［7］研究了多枚聲吶浮標的數據融合定位問題;文獻［8］基于反正切法研究了DIFAR 浮標目標定位估計方法，上述方法均通過定位方程的解算來定位目標，受測量噪聲影響較為嚴重;文獻［9］和［10］則從提高測量信息利用率的角度，分別研究了基于卡爾曼濾波的單枚、多枚被動定向浮標定位算法，缺點是需已知測量信息的誤差模型，這限制了其應用;文獻［11］基于泰勒展開法研究了直線運動目標的主動全向浮標定位問題，但上述文獻均沒有考慮浮標位置定位精度的影響。由于浮標在對目標進行監(jiān)測過程中受水面的風、海流等影響，其位置在水中是隨機漂移的，在航空搜潛過程中需要確定浮標在水中的位置并定期進行更新［12］。文獻［13］考慮到浮標定位誤差的影響，基于最小二乘法(Least Square，LS)對主動全向浮標的目標定位問題進行了研究，在浮標定位誤差和目標測距誤差較小的情形下取得較好的效果，但由于浮標定位存在誤差，最小二乘法得出的目標位置估計實際上是有偏的，因此不適合誤差較大的情形。考慮到浮標定位誤差、目標測距誤差的統(tǒng)計特性以及潛艇的運動特性，本文基于總體最小二乘法(Total LS，TLS)研究主動聲吶浮標的目標定位與跟蹤問題。

2 主動全向聲吶浮標定位原理

主動聲吶浮標一般用于在得知潛艇概略位置后的精確定位，以典型的3 枚浮標包圍陣型為例，各聲吶浮標的幾何關系如圖1所示?？紤]到聲吶作用距離通常要高出探測目標深度一個數量級以上，即目標垂直向的俯仰角很小，只在水平坐標內考慮目標定位。

圖1 主動全向聲吶浮標系統(tǒng)定位原理Fig.1 The target positioning principle of active omni－directional sonobuoys

根據圖1所示的幾何關系，可得目標的定位方程為

式中，ri由主動浮標根據回波延時測出，xi、yi由反潛巡邏機/直升機的聲吶浮標參考系統(tǒng)測出。由式(1)的任意兩個圓的交點可以解算出一組目標位置，由三組位置坐標的重合點最終得出實際的目標位置。實際過程中由于ri、xi、yi存在測量誤差會導致3 個交點不重合，解算出的目標位置是一個區(qū)域，極端情形下甚至沒有交點。為解決這一問題，由式(1)的3 個方程消去x 和y 的二次項，建立線性方程組:

式中，H 為轉置運算，且

求解式(2)的最小二乘解，則觀察式(3)知，當ri、xi、yi存在測量誤差時，A3×2及d3均存在誤差，而由于式(4)的求解過程只考慮將d3中的誤差最小化，因此由式(4)解算出的目標位置實際上不是無偏估計。

3 基于總體最小二乘法的定位與跟蹤算法

考慮ri、xi、yi的測量誤差，在目標運動的情形下，測量誤差的隨機特性可以認為是固定，但不同測量對應的目標位置是變化的，即被估計量是非平穩(wěn)的，考慮到潛艇運動的物理限制和規(guī)律性，相對于不同時刻的測量間隔而言其位置變化是平滑的，利用測量誤差的隨機性，可以采用多次測量的結果提高定位及跟蹤精度。下面具體推導這一過程。

考慮潛艇的運動模型:

式中，x(k)為k 時刻目標狀態(tài)向量，且

其元素分別表示潛艇的x 坐標、x 軸方向速度、y 坐標、y 軸方向速度;Φ(k)為狀態(tài)轉移矩陣;Γ(k)為輸入控制矩陣，典型勻速直線運動狀態(tài)下分別為

式中，T 為測量周期;v(k)為潛艇x 軸方向和y 軸方向的加速度狀態(tài)向量，勻速直線運動狀態(tài)下定義為高斯分布的白噪聲向量。

對于主動全向浮標而言，能夠得到的關于目標的測量為目標的距離和速度(多普勒)信息，距離信息的量測方程如式(2)，速度信息的量測方程為

式中，

式中，fi(k)為k 時刻第i 枚浮標測得的目標徑向速度，θi(k)(i=1，2，3)為k 時刻第i 浮標目標連線與x 軸的夾角，即

式(2)和式(7)可合并成量測方程:

將式(10)重新定義為

由于式(9)中存在未知量x(k)、y(k)，為避免將式(11)的線性方程組非線性化，可以將式(9)中的x(k)、y(k)用式(12)中的預測值代替:

由于目標運動的隨機誤差以及量測誤差的影響，由式(11)及(12)解算的結果均存在誤差，其中式(11)如果通過最小二乘法來解算，由于H6×4(k)存在測量誤差，同樣會使得估計是有偏的，為此首先將式(11)改寫為

式中，U(k)= ［H6×4(k) z6(k)］，ω(k)=［x(k) vx(k) y(k) vy(k)－1］H。通過求解式(13)的總體最小二乘解，會自然考慮U(k)中各個元素的測量誤差，這一過程可以通過以下的LMS算法的遞推過程來實現(xiàn):

取ω0=［(k)－1］，作N 次循環(huán)計算(i=0…5):

式中，ui+1(i =0…5)為U(k)的第i +1 行，ωi+1，1－4為ωi+1的第1－4 個元素，ωi+1，5為ωi+1的第5 個元素，μ 為迭代控制系數，一般取小的常值。由于每一時刻的迭代過程初值由預測值構成，為實現(xiàn)遞推，航跡的起始點可以通過式(11)的最小二乘解給出。

4 仿真試驗及結果分析

仿真試驗驗證算法兩個方面的性能，試驗1 驗證算法的定位性能，試驗2 驗證算法的跟蹤性能，均通過與最小二乘法比較來驗證。

圖2 定位性能仿真結果Fig.2 The simulation results of target positioning

圖3 跟蹤性能仿真結果(浮標定位方差為100 m)Fig.3 The simulation results of target tracking (sonobuoy position RMS=100 m)

圖2中，在測距誤差小于100 m 時，最小二乘法和本文算法性能相似，但當測距誤差增大時，本文算法的性能明顯優(yōu)于最小二乘法。同時還可看出，最小二乘法對浮標定位誤差非常敏感，而本文算法在不同浮標定位誤差情形下均表現(xiàn)出類似的結果，顯示其具有很好的抑制浮標定位誤差影響的能力。

從圖3中可以更清楚地看出，采用最小二乘法時當目標駛離浮標所圍區(qū)域后，基本上已經不具備跟蹤能力，采用本文算法時跟蹤性能明顯要優(yōu)于最小二乘法，這對于潛艇的實時位置和航向解算是非常有利的。

分析上述試驗結果，由本文算法的迭代過程可以看出，實際上由于k 時刻狀態(tài)估計為 珓(k)預測值(k)與加權和構成，而(k)又是由珓(k－1)根據式(12)預測得來的，以此類推，珓(k)實際上是由不同時刻的測量信息非線性加權的結果，因此對測量誤差起到了平滑的效果，實現(xiàn)了航跡的整體優(yōu)化。同時，由LMS 算法隨機梯度優(yōu)化的性質決定了其具備跟蹤非平穩(wěn)估計量的性能，因此在目標存在機動的情形下，即使算法使用勻速直線運動模型進行狀態(tài)預測，依然具備了較好的目標跟蹤效果。

5 結束語

綜上所述，本文提出一種基于TLS 算法的主動全向浮標定位與跟蹤算法。算法首先對主動全向浮標的定位方程和測速方程進行變換形成線性的量測方程，然后利用潛艇測距誤差和浮標定位誤差的隨機性，基于LMS 算法對TLS 量測方程進行遞歸解算，遞歸解算過程根據潛艇運動所受的物理限制，利用運動模型的狀態(tài)預測值作為遞歸過程的初值，實現(xiàn)了航跡的整體優(yōu)化。仿真結果顯示算法較之最小二乘法具有更好的抑制測量誤差的能力和機動目標跟蹤能力，對于主動全向聲吶浮標的目標定位具有一定應用價值。

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