范青 王昆明

摘 要：生產(chǎn)和科研中經(jīng)常需要高精度地確定模型的參數(shù)，為此推導(dǎo)出了改進(jìn)的變步長(zhǎng)Simpson數(shù)值積分公式，并結(jié)合灰色系統(tǒng)理論，提出了一種模型參數(shù)灰色辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型。采用此方法對(duì)捕食模型中的參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)仿真，結(jié)果表明，基于變步長(zhǎng)Simpson數(shù)值積分公式的灰色辨識(shí)方法在處理非等時(shí)間間隔以及數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題時(shí)穩(wěn)定性較好，可滿(mǎn)足高精度辨識(shí)模型參數(shù)的要求。

關(guān)鍵詞：Simpson積分法 捕食模型 灰色理論 參數(shù)估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：Q332 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）08（c）-0235-03

捕食模型的參數(shù)辨識(shí)和仿真是一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題。文獻(xiàn)記載了許多單種群Logistic模型參數(shù)辨識(shí)的曲線擬合方法[1-3]，但這些方法實(shí)際操作中存在一定局限性，向研究多種群模型的參數(shù)辨識(shí)推廣比較困難，尋找確定2種群或多種群捕食模型參數(shù)的簡(jiǎn)便方法具有重要意義。文獻(xiàn)[4]給出了2種群捕食模型參數(shù)的灰色估計(jì)方法，但此法基于等差或等間隔觀察數(shù)據(jù)列，不適合任意遞增的時(shí)間序列，觀測(cè)數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大時(shí)，時(shí)間穩(wěn)定性較差。該文基于拉格朗日插值公式，推導(dǎo)得到了變步長(zhǎng)Simpson數(shù)值積分公式，并與灰色系統(tǒng)理論相結(jié)合，較好地處理了高精度辨識(shí)模型參數(shù)問(wèn)題。

1 捕食模型及初值問(wèn)題分析

自然環(huán)境中，生物種群之間通常存在相互競(jìng)爭(zhēng)或相互依存或弱肉強(qiáng)食三種基本關(guān)系。著名的“弱肉強(qiáng)食”模型-捕食（Volterra）模型[5]為：

（1）

初始條件為：，為待定參數(shù)。

將（1）中兩式相除，整理可得：

（2）

兩邊積分，得：

（3）

令 ，則有：

（4）

由（3）可見(jiàn)，初始條件，一定時(shí)，值是固定的。如果把，看作兩個(gè)變量，那么它們之間的關(guān)系與捕食者、被捕食者之間數(shù)量的關(guān)系是相同的。因而在2個(gè)物種的數(shù)量達(dá)到某種穩(wěn)定的循環(huán)時(shí)，作為初值條件的，可以是任何時(shí)刻的物種數(shù)量。一對(duì)，可以唯一決定一個(gè)循環(huán)狀態(tài)。

2 變步長(zhǎng)Simpson積分公式

文獻(xiàn)[4]中利用了步長(zhǎng)為單位時(shí)間間隔的梯形求積公式來(lái)估計(jì)參數(shù)，該文對(duì)其方法進(jìn)行了改進(jìn)，推導(dǎo)了具有較高精度的變步長(zhǎng)Simpson積分公式。

常用數(shù)值積分公式是利用拉格朗日插值公式推出來(lái)的，拉格朗日插值多項(xiàng)式的一般表達(dá)式為：

其中稱(chēng)為拉格朗日插值基函數(shù)。

由兩邊積分，得插值型求積公式，其中為求值系數(shù)。

對(duì)于（1）中捕食者數(shù)量，考慮其在區(qū)間

上積分，且有，。記的積分為：

聯(lián)立（5）、（6）可得：

，

當(dāng)時(shí)，積分整理得：

代入公式（6）并化簡(jiǎn)可得：

上式即為基于拉格朗日插值公式的變步長(zhǎng)Simpson數(shù)值積分公式。當(dāng)時(shí)，（7）式可變?yōu)楣?jié)點(diǎn)等距時(shí)的拋物線求值公式，。

3 捕食模型參數(shù)的灰色估計(jì)法

灰色理論[5]基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念，定義了灰導(dǎo)數(shù)和灰微分方程，是以定性為前提，定量為后盾，它采用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程的動(dòng)態(tài)模型，描述研究對(duì)象的動(dòng)態(tài)行為，而且可直接對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

令，，，，則模型方程（1）可以改寫(xiě)為如下形式：

按導(dǎo)數(shù)定義有：

對(duì)于非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列，采樣間隔時(shí)間相對(duì)于種群數(shù)量的變化時(shí)間來(lái)說(shuō)足夠小時(shí)，近似地有：

寫(xiě)成離散形式為：

由（7）式，取時(shí)刻的背景值為：

t 時(shí)刻的背景值取法同上?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為，微分方程是背景值與各階灰導(dǎo)數(shù)的某種組合，那么（8）的第一個(gè)方程可被離散化為：。

將時(shí)的數(shù)據(jù)代入上式，可得矩陣方程：，

其中：，

在最小二乘準(zhǔn)則下，可得方程組中第一個(gè)方程的參數(shù)估計(jì)值為：

同樣道理，可以得到最小二乘準(zhǔn)則下第二個(gè)方程的參數(shù)估計(jì)值：

其中：，

由前面分析可知，若觀測(cè)值準(zhǔn)確無(wú)誤，那么任意時(shí)刻的觀測(cè)值均可作為初值。

確定參數(shù)ak（1≤k≤4）后，若能夠找到一組數(shù)，記，使得最小，便可確定最小二乘意義下的初值參數(shù)。

4 仿真與對(duì)比分析

該文提出的基于Simpson積分公式的灰色辨識(shí)法，通用性較強(qiáng)，計(jì)算量小，可克服實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確性帶來(lái)的困難，易推廣到多種群模型及其它類(lèi)似模型參數(shù)的辨識(shí)問(wèn)題。有某生態(tài)系統(tǒng)，含有兩種生物：A生物和B生物，其中A生物是被捕食者，B生物是捕食者，圖1給出了A、B物種數(shù)量的觀測(cè)值，采用此數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)的仿真對(duì)比分析。

從圖1可以看出，由于觀測(cè)點(diǎn)較密，數(shù)據(jù)的平順性較差。為了達(dá)到更好的參數(shù)辨識(shí)效果，利用FFT濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。

基于處理后的數(shù)據(jù)序列，采用變步長(zhǎng)Simpson積分公式的灰色辨識(shí)方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，通過(guò)MATLAB編程可以得到參數(shù)的估計(jì)值為：

近似采用原方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到參數(shù)的估計(jì)值為：

將參數(shù)代入（8）中，利用四階R-K法解微分方程組，將仿真結(jié)果與觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，其殘差見(jiàn)圖2所示。

從對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)，該文所給出的方法能夠更好的符合觀測(cè)數(shù)據(jù)，時(shí)間穩(wěn)定性較好，不僅在初始階段，而且經(jīng)過(guò)幾個(gè)周期之后，仍能保持與觀測(cè)數(shù)據(jù)的同步變化；而原Simpson方法只能在初始觀測(cè)時(shí)間段的附近區(qū)間較好的預(yù)測(cè)物種數(shù)量的大小和趨勢(shì)。

5 結(jié)論

該文提出了一種基于變步長(zhǎng)Simpson積分公式的灰色辨識(shí)方法，該方法簡(jiǎn)單，通用性強(qiáng)，穩(wěn)定性高，只需要對(duì)給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算，直接代入矩陣就可求得參數(shù)的估計(jì)值。分析計(jì)算結(jié)果表明，在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，該文的方法可以以較高的精度獲得模型的參數(shù)估計(jì)值。

參考文獻(xiàn)

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