許啟發(fā)， 陳士俊， 蔣翠俠

（1.合肥工業(yè)大學 管理學院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009）

0 引 言

證券投資基金是一種間接的證券投資方式，基金管理公司通過基金發(fā)行單位，集中投資者的資金，從事金融工具的投資，以實現(xiàn)共擔風險、分享收益。證券投資基金的市場風險分為系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)性風險。無疑，證券投資基金風險的準確預測，對于指導機構投資者、個人投資者進行金融風險防范與風險分擔，具有重要的決策參考價值。

當前，VaR風險測度是金融機構度量風險的標準方法，它度量了在一定持有期內(nèi)以及給定的置信水平下金融資產(chǎn)所遭受的最大可能損失，即

其中，L為金融資產(chǎn)在持有期內(nèi)的損失；VaR為置信水平1－α下處于風險中的價值。文獻［1］運用GARCH模型來研究收益率在尖峰厚尾分布下的VaR值，實證結果表明，在衡量石油風險方面GED分布下的模型要比t分布下的模型更優(yōu)。文獻［2］基于GARCH－時變Copula模型測度社?；鹜顿Y組合的動態(tài)風險，實證結果表明時變Copula模型的預測結果優(yōu)于非時變模型。

雖然VaR風險測度概念得到了廣泛應用，但VaR不滿足次可加性等要求，不是一致性風險度量指標。為彌補這些缺陷，文獻［3］提出了ES的概念，ES度量的是損失超過VaR水平的條件期望值，即

其中，L為金融資產(chǎn)的損失；ES為損失超過VaR的均值。ES是在VaR概念基礎上衍生出來的風險度量工具，彌補了VaR的缺陷，更接近于投資者的真實心理感受。目前國內(nèi)對證券投資基金的ES風險測度的研究工作較少，文獻［4］以26只封閉式基金為例，將ES和傳統(tǒng)的Sharpe比率相結合，構造基于ES的Sharpe比率來評價基金業(yè)績，研究結果表明，在風險描述方面，基于ES的Sharpe比率比傳統(tǒng)的Sharpe比率更加合理。

從上述研究工作來看，通常假設收益率序列服從正態(tài)分布，研究方法基本采用GARCH模型，得到靜態(tài)的VaR估計和ES估計。而實際上金融資產(chǎn)的收益率序列具有尖峰厚尾、波動率聚集和時變等特征，并不服從正態(tài)分布，而且VaR風險測度只和收益率分布的尾部有關。文獻［5］提出了GARCH－EVT模型，先對原始數(shù)據(jù)擬合GARCH模型得到殘差，然后再對殘差序列使用極值理論（EVT）進行建模，很好地解決了動態(tài)風險測度中的尾部特征刻畫，能夠取得比較好的實證效果。迄今為止，GARCH－EVT模型只對國外股票市場的動態(tài)VaR進行了測度，如文獻［6］將GARCH－EVT模型應用于澳洲綜合指數(shù)和標準普爾指數(shù)的VaR風險測度，結果表明GARCHEVT模型的VaR測度比GARCH（1，1）模型和RiskMetrics模型的結果更準確?；诖?，本文將GARCH－EVT模型應用于中國證券投資基金動態(tài)風險測度分析，進行如下2個方面的研究：①考慮了一類極值風險特征更為明顯的金融資產(chǎn)，即證券投資基金，其具有更高偏度與更高峰度，其收益序列的動態(tài)風險特征也更難計量，擴展了先前的應用領域；② 通過似然比檢驗與Bootstrap方法進行了返回測試，綜合比較了Risk－Metrics、GARCH 和 GARCH－EVT 3類模型的動態(tài)風險測度效果，結果表明GARCH－EVT模型能夠更加準確地描述尾部風險，更適合于證券投資基金的動態(tài)風險測度。

1 模型和方法

1.1 動態(tài)風險測度方法

1.1.1 基于RiskMetrics模型的動態(tài)風險測度

（1）RiskMetrics模型。文獻［7］推出風險測度的計量方法（RiskMetrics），并應用到VaR風險測度中。RiskMetrics模型可以表示為：

其中，rt為金融資產(chǎn)收益率序列；μt為收益率序列的均值；σt為波動率；εt為隨機擾動項；zt為殘差序列，假定它服從標準正態(tài)分布。實證中，λ為權重參數(shù)，在估計日收益序列波動時，RiskMetrics推薦選λ＝0.94。

（2）動態(tài)風險測度。記Ft表示第t天可以得到的信息集合，則風險度量制假定rt＋1｜Ft～

由此可以進一步得到原始收益序列t＋1天的動態(tài)風險測度為：

1.1.2 基于GARCH模型的動態(tài)風險測度

（1）GARCH模型。文獻［8］提出了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH），雖然后來許多學者在GARCH模型的基礎上擴展出了IGARCH、EGARCH等衍生模型，但大量的文獻研究表明，GARCH（1，1）模型已能夠對絕大多數(shù)金融時間序列進行很好的描述。GARCH（1，1）模型如下：

其中，rt為金融資產(chǎn)收益率序列；μt為t時刻的期望收益率；σt為波動率；εt為隨機擾動項；zt為殘差序列，通常假定它服從標準正態(tài)分布；系數(shù)ω＞0，α1＞0，β1＞0，以保證條件方差過程的正定性；α1＋β1＜1，以保證條件方差過程的平穩(wěn)性。

（2）動態(tài)風險測度。文獻［5］提出動態(tài)風險測度時指出，基于正態(tài)分布的GARCH（1，1）模型假定收益率序列rt服從正態(tài)分布，在第t天運用GARCH（1，1）模型擬合歷史數(shù)據(jù)，通過向前一天預測得到t＋1天的期望收益率μt＋1和波動率σt＋1，則第t＋1天的動態(tài)風險測度可以參照（5）式的推導得出，即

其中，為標準正態(tài)分布的τ分位數(shù)。

1.1.3 基于GARCH－EVT模型動態(tài)風險測度

（1）極值理論的POT方法。極值理論適合對金融時間序列數(shù)據(jù)的尾部進行建模和預測風險，POT（Peaks－over－Threshold）方法能有效地使用有限的極端觀測值，POT方法對超過給定閾值的所有觀測值進行建模，用廣義帕累托分布（GPD）來擬合這些超出量的分布函數(shù)。不妨假設殘差序列為z1，z2，…，zt，其分布函數(shù)為F（z），給定的閾值為u，超出量的分布函數(shù)為：

其中，0＜y＜zF－u；zF≤∞為F 的右端點；y＝z－u。

文獻［9］提出了對于一個充分大的閾值u，F(xiàn)u（y）可以由廣義帕累托分布近似表示，即

其中，ξ為帕累托分布的形狀參數(shù)；σ為尺度參數(shù)，且有：

當ξ≥0時，y∈［0，（zF－u）］；ξ＜0時，y∈［0，－（σ／ξ）］。

由（8）式可知，當z≥u時有：

如果n為總觀測值的個數(shù)，Nu為超過閾值的觀測值個數(shù)，文獻［10］提出用GPD分布替換Fu，用（n－Nu）／n替換F（u），可以得到尾部概率的估計，即

（2）動態(tài)風險測度。文獻［5］首次提出GARCH－EVT模型，文獻［11］將 GARCH－EVT模型運用到股票市場，通過實證研究得到持有期為1d的動態(tài)風險測度結果。GARCH－EVT模型分2個步驟：① 運用GARCH（1，1）模型，在第t天通過偽極大似然估計法擬合歷史數(shù)據(jù)，得到殘差序列zt，并通過向前一天預測得到t＋1天的期望收益率μt＋1和波動率σt＋1；② 將極值理論POT方法運用到殘差序列zt中，估計VaR（z）τ和ES（z）τ。

對于分位數(shù)τ≥F（u），由（12）式可以得到殘差序列的VaR（z）τ估計為：

對于ξ＜1可以得到殘差序列的ES（z）τ估計為：

則可以進一步得到原始收益序列t＋1天的動態(tài)風險測度，可以參照（5）式的推導得出：

1.2 返回測試

1.2.1 VaR 的返回測試

為了檢驗模型的有效性，需要對VaR進行返回測試。本文采用的方法是文獻［12］提出的似然比檢驗法。此方法假定VaR估計具有時間獨立性，實際損失超過VaR的估計記為失敗，實際損失低于VaR的估計記為成功，失敗的期望概率為p＊＝α（1－α為置信水平）。假定估計VaR的置信水平為1－α，實際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，則失敗頻率為p（N／T），這樣失敗頻率就服從一個二項式分布，零假設為H0：p＝p＊，備擇假設為H1：p≠p＊。文獻［12］提出采用似然比檢驗法對零假設檢驗，似然比統(tǒng)計量為：

在零假設條件下，統(tǒng)計量LR服從自由度為1的χ2分布。即如果估計的LR值大于自由度為1的χ2分布的臨界值，則拒絕零假設；反之則接受零假設。此外還可以通過該檢驗的P值（P－Value）判斷模型的精確程度，如果返回測試的P值越大，則說明越不能拒絕零假設，表明該模型的精確程度越高。

1.2.2 ES的返回測試

文獻［13］采用Bootstrap方法對ES進行返回測試。定義如下形式的超出殘差：

其中，rt為損失超過VaR值的日對數(shù)收益率。文獻［13－14］指出如果估計ES所使用的模型足夠精確的話，超出殘差yt應具有零均值，即μy＝0。設該超出殘差序列包含I個樣本點，則由（18）式產(chǎn)生一個由超出殘差序列中每一個樣本值yt與其均值的離差所構成的新序列l(wèi)t（t＝1，2，…，I），并稱其為初始樣本。lt為：

由初始樣本估計以下檢驗統(tǒng)計量的值為：

由于yt經(jīng)常呈現(xiàn)明顯的右偏分布，所以檢驗的備擇假設為μy＞0，即該檢驗為單尾檢驗，因此估計出｛t1（l），…，tB（l）｝中大于t0（l）的數(shù)值所占的比例，這一比例即是用于檢驗μy＝0的顯著性P值，P值越大，越不能拒絕原假設，即認為模型對ES風險測度的估計精度越高。

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)選取與統(tǒng)計分析

本文選取2003年1月2日至2012年12月31日的股票基金、混合基金和債券基金（代碼分別為H11021、H11022和H11023）的日收盤價數(shù)據(jù)作為研究對象，共2 428個日收盤價，數(shù)據(jù)源于銳思金融數(shù)據(jù)庫。日對數(shù)收益率的定義為：rt＝100×（lnPt－lnPt－1），其中Pt是第t日的基金收盤價，共2 427個日對數(shù)收益率。這一時期包含了2007—2009年這一波動性較強、風險較高時期，存在極值風險。

各基金日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計、JB檢驗和LM檢驗結果見表1所列。就收益情況而言，股票基金的平均收益最高，為0.057；其次為混合基金，最低為債券基金。不過，股票基金收益的方差也最大，為1.915；其次為混合基金，最低為債券基金。上述結果表明股票基金平均收益最高，風險最大，而債券基金平均收益最低，風險卻最小。這一結果完全符合金融市場的“高風險－高收益”特征。

表1中的偏度都小于0，超額峰度都大于0，偏度與超額峰度統(tǒng)計結果表明，3只基金的收益序列都呈現(xiàn)左偏特征，并且都是尖峰厚尾的，不符合正態(tài)分布的特征，這一結果由J－B檢驗得到了加強；LM檢驗結果表明序列有明顯ARCH效應。

表1 各基金日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計、J－B檢驗和LM檢驗

2.2 動態(tài)風險測度

2.2.1 基于RiskMetrics模型動態(tài)風險測度

采用RiskMetrics模型估計動態(tài)風險測度時，首先要根據(jù)（3）式估計出每一天的波動率，由于第1天無法估計，因此得到2 426個波動率，然后在95%和99%置信水平下通過（5）式得到2 426個動態(tài)VaR和ES的預測值。具體的估計結果及圖略。

2.2.2 基于GARCH模型的動態(tài)風險測度

由上述分析結果可知，各基金的日對數(shù)收益率序列都是尖峰厚尾的，此外存在很明顯的ARCH效應，因此采用GARCH（1，1）模型在移動窗口中擬合歷史數(shù)據(jù)。本文使用1 000個日對數(shù)收益率（約4a的數(shù)據(jù)）作為移動窗口，假定對數(shù)收益率序列服從標準正態(tài)分布，在95%和99%置信水平下通過（7）式得到1 427個動態(tài)VaR和ES的預測值。具體的估計結果及圖略。

2.2.3 基于GARCH－EVT模型動態(tài)風險測度

該風險測度可以分4個步驟來完成：① 使用上述GARCH模型估計結果，得到殘差序列；② 分別以5%和1%的分位數(shù)作為閾值，對殘差序列擬合成廣義帕累托分布（GPD）；③ 根據(jù)（13）式、（14）式給出殘差序列的VaR和ES的估計；④將殘差序列的VaR和ES的估計結果代入（15）式，最終得到在95%和99%置信水平下1 427個動態(tài)VaR和ES風險測度。

95%和99%置信水平下GARCH－EVT模型估計的各基金的動態(tài)VaR和ES的比較如圖1、圖2所示。圖中VaR由虛線表示，ES由實線表示。

圖1 GARCH－EVT模型估計的95%置信水平下動態(tài)VaR和ES的比較

由圖1、圖2可以看出：①各基金的收益率序列有明顯的波動率聚集效應；② 各基金的ES總是大于VaR，表明ES風險測度比VaR風險測度更加保守；③ 股票基金和混合基金的VaR和ES明顯大于債券基金的VaR和ES，表明股票基金和混合基金的風險比債券基金大，這也符合債券基金“低風險－低收益”的特征；④ 各基金的VaR和ES基本位于收益率序列的下方，初步表明基于GARCH－EVT模型的動態(tài)VaR和ES風險測度結果較為準確。

圖2 GARCH－EVT模型估計的99%置信水平下動態(tài)VaR和ES的比較

2.3 返回測試

2.3.1 VaR的返回測試

為了檢驗模型的有效性，可以將持有期為1d的動態(tài)V

aR測度和第2天的實際損失進行比較。如果實際損失超過了動態(tài)VaR測度，就稱出現(xiàn)了1次失敗，從而估計出動態(tài)VaR測度的失敗比率。如果實際失敗比率大于理論失敗比率，那么表明低估了風險，反之則高估了風險，只有與理論水平相當才能說明模型是可靠的。表2所列為相應置信水平下、相同時間段內(nèi)基于RiskMetrics模型、GARCH模型和GARCH－EVT模型得到的動態(tài)VaR測度的返回測試結果，主要包括：失敗比率、似然比檢驗的P值。從表2可以看出2點結論。

（1）股票基金和混合基金的VaR風險測度的返回測試結果表明：RiskMetrics模型估計的VaR風險測度都低估了風險；GARCH模型在95%置信水平下給出了較為準確的風險測度結果，但在99%置信水平下低估了風險；GARCHEVT模型估計的VaR風險測度的實際失敗比率全都小于理論失敗比率，并且都接受了返回測試的零假設，給出了較為準確的風險測度結果。

（2）債券基金的VaR風險測度的返回測試結果表明：3種模型估計的債券基金的VaR風險測度都高估了風險，并在95%置信水平下拒絕接受返回測試的零假設。

這一結果表明，3種模型都較為保守，傾向于高估風險。

綜合表2的分析結果可知，GARCH－EVT模型能提供比GARCH模型和RiskMetrics模型更為準確的動態(tài)VaR風險測度結果。

2.3.2 ES的返回測試

從圖1、圖2可以看出，ES總是大于VaR，說明ES風險測度比VaR風險測度更保守，能更適應于描述極值事件的發(fā)生，準確測度極端風險。鑒于VaR風險測度低估了極端金融風險，需要使用ES風險測度作為補充。本文采用Bootstrap方法（令B＝1 000），對動態(tài)ES風險測度效果進行了返回測試，結果見表3所列。

表3中的數(shù)字為Bootstrap檢驗的P值，可以看出，在95%、99%2個置信水平下，GARCHEVT模型都取得了最大的P值，即GARCHEVT模型的估計精度最高，能提供比GARCH模型和RiskMetrics模型更為準確的動態(tài)ES風險測度結果。

表2 動態(tài)VaR風險測度的返回測試結果

表3 動態(tài)ES風險測度的返回測試結果

3 結論與展望

本文主要擴展了GARCH－EVT模型應用領域，考慮了證券投資基金收益的動態(tài)風險測度問題，該金融資產(chǎn)收益比股票收益或債券收益具有更高偏度與峰度，具有明顯的極值風險特征。以中國股票基金、混合基金和債券基金為研究對象，實證比較了RiskMetrics模型、GARCH模型和GARCH－EVT模型對我國證券投資基金市場的動態(tài)風險測度效果。

實證結果表明：① 基于GARCH－EVT模型給出的各類基金動態(tài)VaR和ES風險測度結果更為準確，特別適合于極端風險測度；②ES風險測度比VaR風險測度更加保守，在風險較高的時期，應采用GARCH－EVT模型估計的ES風險測度作為VaR風險測度的補充。

在本文基礎上，可以從3個方面開展更為深入的研究工作：①考慮GARCH族的其他模型與極值理論方法相結合，給出新的動態(tài)金融風險測度方法；② 在持有期為1期（天）的動態(tài)風險測度的基礎上，考慮持有期為多期（天）的情況；③ 依據(jù)證券投資基金的其他分類展開研究工作，如研究開放式基金、封閉式基金等的動態(tài)風險測度問題，檢驗不同類型的證券投資基金動態(tài)風險特征。

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