王 昱 邊炳秀 魏延明 李 永 于 洋

1.北京控制工程研究所，北京100080

2.通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京100094

隨著人類探索空間步伐的加快，對(duì)空間推進(jìn)技術(shù)提出了更高的要求，希望推進(jìn)器不依賴、或僅需少量推進(jìn)劑即可使航天器長(zhǎng)期運(yùn)行。一類依靠空間環(huán)境能源的新穎推進(jìn)技術(shù)被相繼提出，其中包括太陽帆、磁帆及電帆等。電帆［1］是由Janhunen教授提出的一種利用空間太陽風(fēng)動(dòng)能的無工質(zhì)推進(jìn)技術(shù)，通過電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)太陽風(fēng)中的帶電粒子來獲取推力。相比其他無工質(zhì)推進(jìn)裝置，電帆具有質(zhì)量小、推力矢量可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，在深空探測(cè)領(lǐng)域展現(xiàn)出極大的潛力。

電帆直接利用空間太陽風(fēng)動(dòng)能，無需消耗推進(jìn)劑，理論上可以實(shí)現(xiàn)幾乎所有的空間任務(wù)。目前，已提出了各種利用電帆的空間任務(wù)，如太陽系內(nèi)行星之間的軌跡轉(zhuǎn)移［2］、與危險(xiǎn)小行星及彗星的交會(huì)［3］、遠(yuǎn)離太陽的深空探測(cè)［4］、利用連續(xù)推力形成人工拉格朗日點(diǎn)［5］及各種懸浮軌道［6］等。懸浮軌道是一類非開普勒軌道，其軌道面不包含中心天體，利用推進(jìn)系統(tǒng)產(chǎn)生的連續(xù)推力平衡中心天體產(chǎn)生的引力，使航天器懸浮起來，根據(jù)中心引力體不同可以分為日心懸浮軌道和行星懸浮軌道。利用懸浮軌道特性可以開展一些傳統(tǒng)技術(shù)很難實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，例如Ulysses solar polar mission任務(wù)對(duì)太陽極區(qū)活動(dòng)的連續(xù)觀測(cè)［6］，Polar Observation任務(wù)實(shí)現(xiàn)對(duì)地球極區(qū)進(jìn)行觀測(cè)和通訊［7］。McInnes等［8］以太陽帆為推進(jìn)器，對(duì)懸浮軌道作了大量研究，按照懸浮軌道周期的不同將懸浮軌道分成3類，并且分析了這3類軌道的穩(wěn)定性，提出了軌道保持算法。Mengali等［6］在上述基礎(chǔ)上研究了以電帆作為推進(jìn)器的懸浮軌道，并對(duì)軌道參數(shù)在初值誤差下的穩(wěn)定性進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，但并未考慮到太陽風(fēng)環(huán)境對(duì)懸浮軌道穩(wěn)定性的影響。

電帆通過偏轉(zhuǎn)太陽風(fēng)中帶電粒子獲取推力，而太陽風(fēng)中的粒子濃度、粒子速度及粒子能量在空間與時(shí)間分布上存在著極大的時(shí)變性，導(dǎo)致電帆實(shí)際產(chǎn)生的推力也存在強(qiáng)時(shí)變性。而利用電帆產(chǎn)生的連續(xù)推力所設(shè)計(jì)的懸浮軌道是一種臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輕微的外界干擾會(huì)使該平衡狀態(tài)遭到破壞。目前，尚未有學(xué)者對(duì)電帆懸浮軌道的維持進(jìn)行研究。本文首先分析了電帆懸浮軌道所需條件，建立電帆空間三維運(yùn)動(dòng)方程，基于該方程提出了一種適合電帆對(duì)象的懸浮軌道維持策略，利用工程上較成熟的最優(yōu)二次型調(diào)節(jié)器(LQR)來實(shí)現(xiàn)軌道跟蹤控制。該軌道保持策略對(duì)于所有的懸浮軌道都穩(wěn)定，且對(duì)于不同太陽風(fēng)環(huán)境具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 日心懸浮軌道

利用電帆可以實(shí)現(xiàn)圖1所示日心懸浮軌道，電帆以角速度ω運(yùn)行在距離黃道面高度h，半徑R的圓軌道上。要實(shí)現(xiàn)日心懸浮軌道，必須使電帆產(chǎn)生的推力方向位于r-z平面內(nèi)，因此，電帆推力角β=π/2，電帆在日心引力與推力作用下，維持周期性懸浮軌道，需滿足［6］:

利用日心懸浮軌道能夠?qū)崿F(xiàn)一類有意義的與地球同步運(yùn)行軌道，該懸浮軌道運(yùn)動(dòng)周期跟地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期相同，T=1年。選取r=0.9AU，φ=25°，那么該懸浮軌道與地球之間的距離為0.42AU，當(dāng)?shù)剌S與黃道面呈66.5°自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用該懸浮軌道可以對(duì)地球表面大部分地區(qū)進(jìn)行持續(xù)的科學(xué)觀測(cè)和通訊。通過式(1)計(jì)算可以知道，維持該懸浮軌道，電帆所需性能參數(shù)為a⊕=3.163mm/s2，推力角 α =34.9°。

圖1 日心懸浮軌道

2 電帆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

建立電帆空間三維運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下所示［6］:

3 電帆推力及加速度模型

根據(jù)Mengali的研究工作，電帆特征加速度大?。?］為:

式中，mp為質(zhì)子質(zhì)量，vsw為太陽風(fēng)速度，n為太陽風(fēng)粒子濃度，∈0為真空介電常數(shù)，Te為電子溫度，e為元電荷電量，V為導(dǎo)線電勢(shì)，rw為導(dǎo)線半徑。

值得注意的是，在電帆設(shè)計(jì)時(shí)，往往選定一個(gè)參考太陽風(fēng)粒子濃度(n0)和最大導(dǎo)線電勢(shì)(V0)來設(shè)計(jì)電源模塊質(zhì)量。而對(duì)于給定的電源模塊，所能提供的功率是固定的。因此，電帆導(dǎo)線上的實(shí)際最大電勢(shì)與太陽風(fēng)粒子濃度存在耦合關(guān)系。即當(dāng)實(shí)際太陽風(fēng)粒子濃度大于參考粒子濃度時(shí)，導(dǎo)線上的電子電流增大，而電源模塊的額定功率是一定的，因此導(dǎo)線上的實(shí)際最大電勢(shì)降低。反之則使導(dǎo)線上的實(shí)際最大電勢(shì)升高，這一過程的數(shù)學(xué)描述為:

式(4)表明電帆導(dǎo)線上實(shí)際允許的最大電勢(shì)值不僅受到設(shè)計(jì)時(shí)理論最大電勢(shì)的約束，同時(shí)太陽風(fēng)環(huán)境中實(shí)際粒子濃度也影響實(shí)際最大電勢(shì)值。上述描述說明電帆在實(shí)際的太陽風(fēng)環(huán)境中工作時(shí)，產(chǎn)生的推力與加速度不僅是強(qiáng)時(shí)變的，而且具有飽和約束，具體的約束上界值根據(jù)太陽風(fēng)環(huán)境參數(shù)的變化而變化。

4 太陽風(fēng)環(huán)境對(duì)電帆性能影響分析

4.1 太陽風(fēng)環(huán)境模擬

通過對(duì)電帆航天器加速度模型分析，可以知道太陽風(fēng)參數(shù)中的太陽風(fēng)速度vsw、粒子濃度n和電子溫度Te的變化會(huì)對(duì)推力及加速度大小產(chǎn)生影響。本文選用美國(guó)空間科學(xué)數(shù)據(jù)中心(NSSDC)，OMNI數(shù)據(jù)庫提供的實(shí)測(cè)太陽風(fēng)數(shù)據(jù)作為太陽風(fēng)環(huán)境仿真，包含1963～2014年間的日平均太陽風(fēng)參數(shù)，用來觀察實(shí)際太陽風(fēng)環(huán)境對(duì)電帆性能影響。將上述龐大的數(shù)據(jù)去掉時(shí)間限制，作為一個(gè)數(shù)據(jù)集合用來對(duì)太陽風(fēng)環(huán)境模擬，分析太陽風(fēng)環(huán)境對(duì)懸浮軌道影響和控制策略的有效性。為了稱呼方便，以下將該數(shù)據(jù)集叫做太陽風(fēng)環(huán)境參數(shù)模擬數(shù)據(jù)集(SESD)。

4.2 太陽風(fēng)環(huán)境對(duì)電帆性能影響

分析太陽風(fēng)參數(shù)對(duì)電帆性能的影響，本文選取2010年的實(shí)際太陽風(fēng)參數(shù)，研究在該太陽風(fēng)環(huán)境中的電帆加速度變化。仿真結(jié)果如圖2所示，發(fā)現(xiàn)2010年中太陽風(fēng)速度、粒子濃度和電子溫度均變化劇烈，且該年中電子溫度數(shù)值普遍小于歷年統(tǒng)計(jì)平均值，使得電帆加速度小于預(yù)先設(shè)計(jì)值，且波動(dòng)范圍較大。

圖2 2010年太陽風(fēng)參數(shù)變化及對(duì)電帆性能影響

上述結(jié)果表明，電帆在太陽風(fēng)環(huán)境中產(chǎn)生的推力具有強(qiáng)時(shí)變性，且幅值波動(dòng)較大。而日心懸浮軌道是一種臨界穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，環(huán)境擾動(dòng)產(chǎn)生的輕微推力改變即會(huì)打破原有平衡狀態(tài)，使懸浮軌道遭到破壞。

5 懸浮軌道保持的控制策略設(shè)計(jì)

5.1 控制策略設(shè)計(jì)

通過分析可以知道，針對(duì)懸浮軌道臨界穩(wěn)定，電帆產(chǎn)生的推力大小發(fā)生輕微的擾動(dòng)即會(huì)導(dǎo)致懸浮軌道破壞。因此，有必要設(shè)計(jì)一種適合電帆對(duì)象的控制策略。電帆可以通過對(duì)單根導(dǎo)線上電勢(shì)大小進(jìn)行調(diào)節(jié)，控制單根導(dǎo)線上產(chǎn)生的推力大小，從而在帆面上產(chǎn)生凈力矩用來調(diào)節(jié)帆面姿態(tài)，改變推力方向;也可以在維持帆面姿態(tài)不變的情形下同時(shí)按比例調(diào)節(jié)所有導(dǎo)線上的電勢(shì)大小，來改變推力大小。因此，電帆在空間產(chǎn)生的推力大小與方向解耦，使得電帆能夠通過改變帆面上各導(dǎo)線電勢(shì)大小的方法來分別調(diào)節(jié)推力的大小與方向?？紤]到電帆的帆面通常由幾十至幾百根超細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線組成，是一種超大柔性的多體結(jié)構(gòu)，其在空間姿態(tài)的改變較為困難，且具有較大延時(shí)響應(yīng)，姿態(tài)調(diào)節(jié)精度較低等特點(diǎn)。因此，本文擬采用只改變推力大小，維持推力方向不變(也即保持α=34.9°，β=90°)的方式來進(jìn)行懸浮軌道保持控制。

上述控制策略的數(shù)學(xué)描述為:根據(jù)電帆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(1)，選取合適的控制率調(diào)節(jié)電帆特征加速度，使得電帆運(yùn)行過程中跟蹤期望狀態(tài)量，針對(duì)第一節(jié)所描述的與地球同步運(yùn)行日心懸浮軌道，電帆期望的各狀態(tài)量為:

電帆懸浮軌道保持控制的輸入為特征加速度大小，而實(shí)際電帆航天器可調(diào)對(duì)象為各導(dǎo)線電勢(shì)大小，通過對(duì)式(3)分析可知，當(dāng)導(dǎo)線上電勢(shì)增大時(shí)電帆加速度增大，反之則減小。因此，建立執(zhí)行機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)方程，對(duì)式(3)進(jìn)行逆向求解，建立電勢(shì)跟特征加速度的關(guān)系:

其中有關(guān)太陽風(fēng)的參數(shù)(vsw，n，Te)無法在線測(cè)量，本文以近10年的統(tǒng)計(jì)平均太陽風(fēng)參數(shù)(Vsw=400km/s，n=7.3/cm3，Te=12.15eV)進(jìn)行計(jì)算。通過式(6)獲得的電勢(shì)大小需同時(shí)滿足式(4)及電帆允許最大電勢(shì)值的約束。因此，在實(shí)際飛行中，電帆的實(shí)際電勢(shì)大小是飽和受限的，且該飽和上界具有不確定性，跟具體的太陽風(fēng)參數(shù)中粒子濃度有關(guān)。該特性導(dǎo)致懸浮軌道保持過程中控制輸入(加速度大小)具有時(shí)變性、不確定性及飽和性。

5.2 控制算法設(shè)計(jì)

LQR最優(yōu)控制是工業(yè)上一種較為成熟的理論，廣泛的應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域［9］。該方法適用于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程是線性的，性能指標(biāo)函數(shù)是二次型的狀態(tài)反饋問題。因此，首先對(duì)無量綱化后的電帆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在期望工作點(diǎn)處進(jìn)行線性化，得到:

上述計(jì)算所得的最優(yōu)控制u是δu，用來調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)使其回到期望工作點(diǎn)，因此，電帆總的控制輸入為:

6 仿真及結(jié)果分析

選取第一節(jié)中所描述的日心懸浮軌道為仿真對(duì)象，LQR跟蹤控制器參數(shù)為:

Q=［1;1;1;100;100;100］，R=1 ×108，每隔0.5天對(duì)電帆狀態(tài)進(jìn)行采樣控制。

首先，假設(shè)懸浮軌道在初始時(shí)刻處于期望工作點(diǎn)處，初始時(shí)刻軌道參數(shù)偏差為0，仿真驗(yàn)證本文提出的軌道保持策略在不同模擬太陽風(fēng)環(huán)境中的有效性及魯棒性。采用隨機(jī)從SESD數(shù)據(jù)集中選取一段時(shí)間的太陽風(fēng)參數(shù)作為模擬太陽風(fēng)環(huán)境。仿真結(jié)果如圖3～5所示。

圖3 太陽風(fēng)環(huán)境中持續(xù)3年的日心懸浮軌道

從圖3可以看到，由于太陽風(fēng)環(huán)境參數(shù)的強(qiáng)時(shí)變性，導(dǎo)致電帆產(chǎn)生的控制輸入變化較大，致使臨界穩(wěn)定的懸浮軌道遭到嚴(yán)重破壞，懸浮軌道失去周期性變化特點(diǎn)，軌跡無序運(yùn)行且雜亂無章。采用本文提出的軌道保持策略加LQR跟蹤控制器的方法，該懸浮軌道持續(xù)運(yùn)行3年，軌道保持良好，從日心慣性坐標(biāo)系中觀察，幾乎與標(biāo)稱軌道重合。相應(yīng)的，從圖4中可以看到整個(gè)軌道運(yùn)行過程中，各狀態(tài)量的偏差較小，相對(duì)誤差均小于10-3量級(jí)，充分說明本文提出的軌道保持策略的有效性。圖5為軌道保持過程中控制量變化曲線，可以看出由于太陽風(fēng)環(huán)境擾動(dòng)，軌道狀態(tài)存在偏差，電帆通過改變特征加速度大小實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)運(yùn)行狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)懸浮軌道保持。

圖4 軌道保持過程中各狀態(tài)量偏差

圖5 軌道保持過程中控制量變化

上述結(jié)果說明了本文提出的軌道保持策略對(duì)太陽風(fēng)環(huán)境擾動(dòng)的有效性。但是，由于懸浮軌道是一種脆弱的穩(wěn)定狀態(tài)，在軌道初始時(shí)刻的狀態(tài)偏差同樣會(huì)導(dǎo)致懸浮軌道的破壞。因此，選取初始時(shí)刻不同狀態(tài)偏差 r(t0)=1.01 rd，φ(t0)=1.01 φd，分別在常值太陽風(fēng)環(huán)境與模擬太陽風(fēng)環(huán)境中仿真驗(yàn)證軌道保持算法對(duì)初值擾動(dòng)的有效性，持續(xù)運(yùn)行3年的懸浮軌道仿真結(jié)果如圖6。

圖6 初值擾動(dòng)對(duì)持續(xù)運(yùn)行3年的懸浮軌道影響

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電帆在初始時(shí)刻狀態(tài)參數(shù)發(fā)生少量偏移1%的情況下，無論在常值太陽風(fēng)環(huán)境(無環(huán)境擾動(dòng))還是在模擬太陽風(fēng)環(huán)境(有環(huán)境擾動(dòng))中，該日心懸浮軌道均遭到破壞，軌跡隨時(shí)間逐漸發(fā)散，同時(shí)在有太陽風(fēng)環(huán)境擾動(dòng)的情形下，軌跡顯得雜亂無章，無序運(yùn)動(dòng)。當(dāng)對(duì)具有上述初值擾動(dòng)的懸浮軌道采用本文提出的軌道保持算法，可以明顯看到，懸浮軌道保持完整，具有周期性變化，在常值太陽風(fēng)環(huán)境中幾乎與標(biāo)稱軌道吻合，而在太陽風(fēng)環(huán)境擾動(dòng)下也只發(fā)生極少量偏移。充分說明本文提出的懸浮軌道保持策略對(duì)于軌道初值擾動(dòng)具有良好的抑制能力。

7 結(jié)論

針對(duì)電帆這一超大撓性體結(jié)構(gòu)，提出了一種只調(diào)節(jié)推力大小而不改變推力方向的軌道保持策略，該方法能極大減少電帆姿態(tài)的改變，克服大撓性體姿態(tài)改變困難、精度較低的缺點(diǎn)。同時(shí)采用工程上較為成熟的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器方法設(shè)計(jì)跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)懸浮軌道保持控制策略。在模擬太陽風(fēng)環(huán)境中，針對(duì)無初值擾動(dòng)和有初值擾動(dòng)情況下仿真驗(yàn)證本文提出的軌道保持策略的有效性。仿真結(jié)果表明本文提出的軌道保持策略能在外界環(huán)境干擾和初值擾動(dòng)的情形下較好的維持懸浮軌道，該算法對(duì)于不同的太陽風(fēng)環(huán)境均具有良好的性能，表明本文提出的算法具有較強(qiáng)的魯棒性。

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