潘學(xué)萍，劉 良，杜春雷，王曉晴

（河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，南京210098）

研究電力系統(tǒng)低頻振蕩時，一般先將系統(tǒng)方程在平衡點處線性化，再用特征根技術(shù)分析平衡點的穩(wěn)定性[1-2]。物理上把一對復(fù)特征根稱為系統(tǒng)的一振蕩模式，把對應(yīng)的特征向量稱為振蕩模態(tài)。

隨著廣域測量系統(tǒng)WAMS（wide area measurement system）和相位測量裝置PMU（phase measuring unit）的廣泛應(yīng)用[3-6]，為基于軌線的特征提取提供了技術(shù)支持與物質(zhì)基礎(chǔ)。基于受擾軌線提取電力系統(tǒng)的振蕩特征目前已有大量的報道[7-10]，然而現(xiàn)有文獻(xiàn)側(cè)重于振蕩特征提取方法的研究，對觀測量選取的研究還較少。

PMU 裝置可測量節(jié)點的電壓、電流、頻率、有功功率/無功功率等信息，也有PMU 裝置可測量發(fā)電機(jī)的功角信息[11]。隨著PMU 安裝數(shù)量的增加，采樣頻率的提高，實際電力系統(tǒng)PMU 數(shù)據(jù)量非常龐大，各觀測量對不同振蕩模式的可觀程度不同。因而如何快速完備地從大量PMU 量測數(shù)據(jù)中選擇可觀性強(qiáng)、有代表性的信號顯得尤為必要。

為此，文獻(xiàn)[12]指出：基于擴(kuò)展等面積準(zhǔn)則EEAC（extended equal-area criterion）的等值機(jī)曲線可凸顯系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式，提高模式的可觀性。文中采用的是發(fā)電機(jī)功角（狀態(tài)量）作為觀測量，未能涉及觀測量為代數(shù)量時的處理。文獻(xiàn)[13-15]通過將系統(tǒng)狀態(tài)方程線性化，獲得聯(lián)絡(luò)線的振蕩增量方程，并據(jù)此計算系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式；文獻(xiàn)[16]提出從電壓信號分析電力系統(tǒng)的區(qū)域振蕩模式。而上述文獻(xiàn)中未能進(jìn)一步討論系統(tǒng)的振蕩特征在不同觀測量上的可觀性。

特征根技術(shù)分析振蕩特征時，根據(jù)狀態(tài)矩陣計算系統(tǒng)的特征根和右特征向量：其中右特征向量幅值反映了模式的可觀性，右特征向量相位反映了振蕩模態(tài)信息。而基于PMU 量測信息提取系統(tǒng)的振蕩特征時，由于觀測量一般為代數(shù)量，因此選取觀測量進(jìn)行振蕩特征提取前，需明確觀測量的振蕩特征與狀態(tài)量振蕩特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。

本文采用與文獻(xiàn)[17-18]相似的方法，基于特征根分析技術(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的振蕩模式在各觀測量（代數(shù)量）的右特征向量。與上述文獻(xiàn)不同之處在于：本文通過計算觀測量的右特征向量，說明振蕩特征在各代數(shù)量上的可觀性，據(jù)此選取觀測量以提高振蕩特征的提取精度，文獻(xiàn)[17-18]的目的在于尋找系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩路徑。文中還以4 機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)為例，計算了各觀測量對振蕩模式及振蕩模態(tài)的可觀性，指出節(jié)點的電壓幅值信息對系統(tǒng)振蕩特征的可觀性較弱，不宜作為觀測量。

1 觀測量的振蕩模式及模態(tài)

將電力系統(tǒng)非線性微分-代數(shù)方程在平衡點線性化，可得

當(dāng)矩陣A 非奇異時，Δx 的解可表示為

式中：λk為第k 個特征根；系數(shù)ck= vkΔx（t0），Δx（t0）為初值；vk和uk分別為λk的左、右特征向量。當(dāng)λk與λk+1為一對復(fù)特征根時，λk與λk+1稱為系統(tǒng)的一振蕩模式，相應(yīng)的右特征向量uk稱為振蕩模態(tài)。

模式λk在第i 個狀態(tài)量上的過渡過程表示為

式中，uik為狀態(tài)量xi對應(yīng)模式λk的右特征向量。

PMU 裝置一般測量節(jié)點的電壓、電流、頻率、有功功率/無功功率等信息，這些測量信息一般為代數(shù)量。根據(jù)系統(tǒng)的潮流方程，可將測量量z 用狀態(tài)量x 表示為

將式（3）代入式（5），可得

式中，wk=Euk。

對于模式λk，在觀測量zi和zj觀察其過渡過程時，其振幅大小比值為|wik|/|wjk|，相對振蕩相位差為（∠wik-∠wjk）。仿照右特征向量u 的定義，這里把w 稱為觀測量z 的右特征向量。其中，zi和zj分別表示z 的第i 行和第j 行；wik和wjk分別表示wk的第i 行元素和第j 行元素。|wik|表示模式λk在觀測量zi上的可觀性，數(shù)值越大，可觀性越強(qiáng)；相位∠wik反映了模式λk在觀測量zi上的相對位置。

對比觀測量的右特征向量w 和狀態(tài)量的右特征向量u 可以發(fā)現(xiàn)：在輸出信號上觀測模式λk，其可觀性不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相關(guān)，還與式（6）中的E 有關(guān)，即與所選輸出信號有關(guān)：當(dāng)所選輸出信號zi使得模式λk振幅|wik|/|wjk|比大于|uik|/|ujk|時，模式λk在觀測量zi上的可觀性較強(qiáng)，應(yīng)選為觀測信號。

2 算例分析

以圖1 所示的4 機(jī)2 區(qū)域系統(tǒng)為例，系統(tǒng)參數(shù)見文獻(xiàn)[2]。其中，發(fā)電機(jī)采用詳細(xì)模型，L7、L9 的有功負(fù)荷采用恒電流模型、無功負(fù)荷采用恒阻抗模型，計及勵磁調(diào)節(jié)器及電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的動態(tài)。

圖1 4 機(jī)2 區(qū)域系統(tǒng)Fig.1 A 4-machine 2-area system

2.1 系統(tǒng)的振蕩模式和模態(tài)

將系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性化，計算得出其機(jī)電振蕩模式及對應(yīng)的右特征向量（模態(tài)），見表1。

由表1 可知，系統(tǒng)存在3 個主導(dǎo)振蕩模式：從右特征向量幅值來看，模式λ1，2在所有狀態(tài)量δG1～δG4上的幅值都較大，可觀性較強(qiáng)；從右特征向量相位來看，δG1、δG2與δG3、δG4的角度接近180°，說明模式λ1，2為機(jī)組（G1，G2）相對于機(jī)組（G3，G4）的振蕩。同理可知模式λ3，4為機(jī)組G1相對于機(jī)組G2的振蕩；模式λ5，6為機(jī)組G3相對于機(jī)組G4的振蕩。

表1 振蕩模式和模態(tài)Tab.1 Pattern and mode at SEP

2.2 觀測量的右特征向量

分別以各發(fā)電機(jī)的有功功率、無功功率、電壓幅值以及電壓角度為觀測量，根據(jù)式（6）計算不同觀測量的右特征向量，見表2。

表2 觀測量的右特征向量Tab.2 Right eigenvector of each measurement

由表2 可以看出：

（1）表2 中模式λ1，2在PG1～PG4上的右特征向量模值最大，在無功功率QG1～QG4上的右特征向量模值次之，在電壓有效值UG1～UG4上的右特征向量模值最??；模式λ3，4、λ5，6也有相同的結(jié)論。說明各振蕩模式在有功功率上的可觀性最強(qiáng)，在無功功率上的可觀性次之，在電壓幅值上的可觀性最小。

（2）表2 中，當(dāng)觀測量為電壓有效值時，其右特征向量角度結(jié)果與狀態(tài)量的模態(tài)結(jié)果相差較大，因此觀測量取各發(fā)電機(jī)的電壓幅值時，不能正確反映系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。

從上述分析可以得出：在進(jìn)行電力系統(tǒng)振蕩模式及模態(tài)提取時，不宜選發(fā)電機(jī)的電壓有效值作為觀測量。

3 基于受擾軌線的結(jié)果驗證

以圖1 系統(tǒng)為例，擾動設(shè)置為t=0 s 母線8 首端發(fā)生瞬時性三相短路，t=0.1 s 故障消失，系統(tǒng)恢復(fù)至原狀態(tài)。仿真獲得系統(tǒng)各發(fā)電機(jī)端口有功功率、無功功率、電壓幅值及電壓相位角受擾軌線，其中有功功率、電壓幅值受擾軌線見圖2。

圖2 受擾軌線Fig.2 Disturbed trajectories

采用Prony 方法提取各受擾軌線的主導(dǎo)振蕩模式（對應(yīng)表1 中的λ1，2）的頻率、阻尼以及幅值、相位信息，根據(jù)這些信息擬合系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩在各受擾軌線的過渡過程，見圖3。

圖3 各觀測量主導(dǎo)模式的過渡過程結(jié)果與表2 的右特征向量結(jié)果一致。以有功功率為例：圖3中主導(dǎo)模式λ1，2在PG3上的幅值較大，而在PG2上的幅值最??；而在表2 中，模式λ1，2在PG3上右特征向量的模最大，在PG2上最小。在其他觀測量上也可得到類似的結(jié)論。

從振蕩模態(tài)來看，主導(dǎo)模式λ1，2在以電壓幅值為觀測量時，不能反映狀態(tài)量的振蕩模態(tài)，表2 也可得出類似的結(jié)論。

圖3 各觀測量的主導(dǎo)模式軌線Fig.3 Curves of dominate mode with each measurement

文獻(xiàn)[18]指出，當(dāng)系統(tǒng)中所有節(jié)點的電壓可測量時，可基于所有節(jié)點的電壓幅值及角度信息，確定系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式的振蕩中心。然而文中研究發(fā)現(xiàn)，基于節(jié)點的電壓幅值信息難以反映系統(tǒng)的振蕩中心，下面進(jìn)一步以圖1 系統(tǒng)為例，說明該問題。

根據(jù)圖1 中11 個節(jié)點的電壓幅值和相角信息，分別計算該系統(tǒng)模式λ1，2、λ3，4和λ5，6在11 個節(jié)點電壓幅值和相角上的右特征向量，分別見圖4～圖6。

從圖4（b）可以看出：模式λ1，2為機(jī)組（G1，G2）相對于機(jī)組（G3，G4）的振蕩，還可以清楚地看出它的振蕩中心在節(jié)點B8-B9 之間，即在線路聯(lián)絡(luò)線8-9 上。但從圖4（a）中很難判斷模式λ1，2的振蕩模態(tài)及振蕩中心。

從圖5（b）可以看出：模式λ3，4為機(jī)組G1 相對于機(jī)組G2 的振蕩，同時還可以看出模式λ3，4的振蕩中心位于節(jié)點B6-B10 之間，但因為節(jié)點B6-B10 之間沒有線路，因此它為“虛擬”振蕩中心。

從圖6（b）同樣可以看出模式λ5，6為機(jī)組G3相對于機(jī)組G4的振蕩，其振蕩中心位于節(jié)點B8-B9 之間。

圖4 模式λ1，2 的右特征向量模及相角Fig.4 Eigenvector of mode λ1，2

圖5 模式λ3，4 的右特征向量模及相角Fig.5 Eigenvector of mode λ3，4

圖6 模式λ5，6 的右特征向量模及相角Fig.6 Eigenvector of mode λ5，6

由圖4～圖6 可以得出：當(dāng)系統(tǒng)中所有節(jié)點的電壓可測量時，可基于各節(jié)點電壓相位的右特征向量，確定各振蕩模式的振蕩中心。

4 結(jié)語

不同觀測量對模式的可觀性不同，合適的觀測量可提高電力系統(tǒng)振蕩特征的提取精度。本文明確了代數(shù)量與狀態(tài)量振蕩特征的內(nèi)在聯(lián)系，提出可基于代數(shù)量的右特征向量模反映系統(tǒng)振蕩模式的可觀性，基于代數(shù)量的右特征向量角度反映系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。

本文以4 機(jī)2 區(qū)域系統(tǒng)為例，以各發(fā)電機(jī)的有功功率、無功功率、電壓幅值以及電壓相角為觀測量，計算各振蕩模式在不同觀測量上的右特征向量，并以大擾動下的受擾軌線進(jìn)行了驗證。結(jié)果分析表明：可選擇各發(fā)電機(jī)的有功功率或無功功率為觀測量，提取系統(tǒng)的振蕩模式信息；以各發(fā)電機(jī)的有功功率、無功功率或電壓相位為觀測量，提取系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。

文中還進(jìn)一步指出，當(dāng)系統(tǒng)中所有節(jié)點電壓可測量時，可基于所有節(jié)點的電壓相位信息，定位系統(tǒng)的各振蕩模式的振蕩中心，但很難反映基于節(jié)點的電壓幅值信息。

[1]倪以信，陳壽孫，張寶霖.動態(tài)電力系統(tǒng)的理論和分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[2]Kunder P. Power System Stability and Control[M]. New York：McGraw-Hill Inc，1994.

[3]Hauer A J F，Trudnowski D J，DeSteese J G.A perspective on WAMS analysis tools for tracking of oscillatory dynamics[C]//IEEE PES General Meeting.Tampa，USA：2007.

[4]Albuquerque Rodrigo J，Leonardo Paucar V. Evaluation of the PMUs measurement channels availability for observability analysis[J]. IEEE Trans on Power Systems，2013，28（3）：2536-2544.

[5]王增平，張晉芳，錢誠（Wang Zengping，Zhang Jinfang，Qian Cheng）.基于同步測量信息的電網(wǎng)拓?fù)溴e誤辨識方法（Topology error identification based on synchronized measurements for power network）[J]. 電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2012，32（1）：1-8.

[6]常乃超，蘭洲，甘德強(qiáng)，等（Chang Naichao，Lan Zhou，Gan Deqiang，et al）.廣域測量系統(tǒng)在電力系統(tǒng)分析及控制中的應(yīng)用綜述（A survey on applications of widearea measurement system in power system analysis and control）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2005，29（10）：46-52.

[7]Ning Jiawei，Pan Xueping，Venkatasubramanian V. Oscillation modal analysis from ambient synchrophasor data using distributed frequency domain optimization [J]. IEEE Trans on Power Systems，2013，28（2）：1960-1968.

[8]郝思鵬，薛禹勝，張曉明，等（Hao Sipeng，Xue Yusheng，Zhang Xiaoming，et al）.基于EEAC 理論分析低頻振蕩（Low-frequency oscillation analysis based on EEAC theory）[J]. 電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2009，33（4）：11-15，30.

[9]Messina A R，Vittal V.Extraction of dynamic patterns from wide-area measurements using empirical orthogonal functions[J]. IEEE Trans on Power Systems，2007，22（2）：682-692.

[10]吳超，門錕，涂亮（Wu Chao，Men Kun，Tu Liang）.ITD 和隨機(jī)減量法在互聯(lián)電網(wǎng)振蕩特性分析中的應(yīng)用（Application of ITD and random decrement method in oscillation characteristics analysis of interconnected power grid）[J]. 電力建設(shè)（Electric Power Construction），2014，35（1）：8-13.

[11]嚴(yán)登俊，鞠平，吳峰，等（Yan Dengjun，Ju Ping，Wu Feng，et al）.基于GPS 時鐘信號的發(fā)電機(jī)功角實時測量方法（Real-time power angle measurement of a synchronous generator based on GPS clock signal and tachometer）[J].電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2002，26（8）：38-40，68.

[12]郝思鵬，張仰飛，李先允（Hao Sipeng，Zhang Yangfei，Li Xianyun）.選擇合適的曲線提取低頻振蕩信息（Select swing curve to distill low-frequency oscillation information）[J].電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2005，25（12）：23-26.

[13]Wu Cheng，Zhang Jing. Determining modes of low frequency oscillations based on power oscillation flows in the tie lines[C]//IEEE PES General Meeting.Calgary，Canada：2009.

[14]Villarreal-Martinez D，Ruiz-Vega D. Sensitivity analysis using the power oscillation flow method[C]//North American Power Symposium.Arlinton，USA：2010.

[15]王青，閔勇，張毅威（Wang Qing，Min Yong，Zhang Yiwei）. 低頻振蕩的功率振蕩增量分布計算新方法（A new algorithm of oscillation active power increment distribution in low frequency oscillation study）[J].電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2008，32（6）：1-4，40.

[16]Vanfretti Luigi，Chow Joe H. Computation and analysis of power system voltage oscillations from interarea modes[C]//IEEE PES General Meeting.Calgary，Canada：2009.

[17]Chow J H，Chakrabortty A，Vanfretti L，et al.Estimation of radial power system transfer path dynamic parameters using synchronized phasor data[J].IEEE Trans on Power Systems，2008，23（2）：564-571.

[18]Chompoobutrgool Y，Vanfretti L. Identification of power system dominant inter-area oscillation paths[J]. IEEE Trans on Power Systems，2013，28（3）：2798-2807.