常 帥

(太原師范學院 數(shù)學系,山西 太原 030031)

正態(tài)總體下樣本方差分布的新證法

常 帥

(太原師范學院 數(shù)學系,山西 太原 030031)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究問題中,特征函數(shù)是一個重要的概念及工具．文章主要利用特征函數(shù)來證明正態(tài)總體下樣本方差的分布,過程簡單,易于理解．

正態(tài)分布;樣本方差;特征函數(shù);獨立性

0 引言

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究問題中,特征函數(shù)是一個重要的概念,也是一個有利的工具．特征函數(shù)完全刻畫了分布函數(shù)的特征．利用特征函數(shù),可以求一些隨機變量的數(shù)字特征(如期望、方差等),也可以求獨立隨機變量和的分布函數(shù),還可以求隨機變量序列的極限分布,以及證明一些定理與不等式[1-2]．本文將利用特征函數(shù)來證明正態(tài)總體下樣本方差的分布．

1 預備知識

定義1[1-2]設(shè)X是任一隨機變量,稱φ(t)=E(eitX),t∈R是的特征函數(shù)．

定義2[1-2]設(shè)(X,Y)是一個二維隨機變量,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,

則稱此數(shù)學期望為X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]．

命題1[1-2]在二維正態(tài)分布場合下,不相關(guān)與獨立等價．

命題2[2]若隨機變量X與Y相互獨立,又f(x),g(x)是兩個連續(xù)或逐段連續(xù)的函數(shù),則f(X),g(Y)相互獨立．

命題3[1-2]設(shè)X1,X2的特征函數(shù)分別為φ1(t),φ2(t),又X1與X2相互獨立,則X=X1+X2的特征函數(shù)為φ(t)=φ1(t)φ2(t)．

命題4[1-2]隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定．

命題5[3]假設(shè)X1,X2,…,Xn是獨立同分布的,具有期望μ與方差σ2,

2 主要結(jié)果

2)為了確定S2的分布,考慮

3 結(jié)論

本文利用特征函數(shù)對總體為正態(tài)分布的樣本方差的分布進行推導,過程簡單,易于理解．

[1] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2006

[2] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2010

[3] Sheldon M Ross.應(yīng)用隨機過程:概率模型導論[M].龔光魯，譯.北京:人民郵電出版社,2007

A New Proof about the Distribution of Sampling Variability from Normal Population

CHANG Shuai

(Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Taiyuan 030031, China)

The characteristic function is an important concept and tool for the study of probability and statistics. We prove the distribution of sampling variability from normal population using characteristic function. The process is simple, easy to understand.

normal distribution;sampling variability;characteristic function;independence

2015-07-16

常 帥(1982-),男,山西大同人,碩士,太原師范學院數(shù)學系助教,主要從事概率統(tǒng)計研究．

1672-2027(2015)04-0018-02

O212.1

A