盧亞楠，毛軍軍,b,*，張曉珍

(安徽大學(xué)a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，b.計算機智能與信號處理教育部重點實驗室，安徽 合肥 230039)

0 引 言

L.A.Zadeh[1]于2011年在傳統(tǒng)模糊集的基礎(chǔ)上提出了Z-number的概念，其中Z=(A，B),其中A是對事件的模糊限制,B是A的可靠性。這兩個部分都可以用自然語言來表示，如想要度量明天是否為晴天時，可以給出是晴天的可靠性時非常確定,那么這個Z-number就可以寫為Z=(晴天，非常確定)。云模型的概念是李院士于1995年提出的，是處理定性語言值和定量數(shù)值的不確定轉(zhuǎn)換模型[3]。云模型可以用期望、熵、超熵來描述。期望是云滴屬于論述定性概念的數(shù)學(xué)期望；熵表示定性概念的模糊性和隨機性，反映了云滴分散程度；超熵度量了熵的不確定性，決定了云的厚度。因為語言型Z-number可以由自然語言描述，而云模型可以將定性語言值轉(zhuǎn)化為定量數(shù)值，所以文獻(xiàn)[2]將語言型Z-number的兩個部分A和B用不同的語言尺度函數(shù)轉(zhuǎn)化為云，定義了正態(tài)Z+值和相關(guān)的運算及距離公式。ELECTER法(淘汰選擇法)是Roy等人在二十世紀(jì)六十年代提出的[4]一種基于級別高于關(guān)系的多屬性決策。本文先介紹了語言術(shù)語集合、Z-number、云模型以及正態(tài)Z+值等相關(guān)定義，再定義了正態(tài)Z+值比較大小的方法，基于文獻(xiàn)[2]的正態(tài)Z+值的距離公式，用ELECTER法針對屬性權(quán)重未知的情況，結(jié)合文獻(xiàn)[5]的方法用凈優(yōu)勢值對方案進(jìn)行排序。最后，通過實例分析說明該方法的可行性。

1 預(yù)備知識

定義1[2](語言術(shù)語集合)設(shè)S={si|i=0,1,...,2t}是一個具有奇數(shù)個有限且完全有序離散語言型數(shù)語的集合,其中t是一個非負(fù)整數(shù),si(i=0,1,...,2t)表示的是一個語言型變量的可能值。并且對于任意兩個語言型變量si和sj,它們滿足如下三個性質(zhì)：

(1) 語言術(shù)語集合S中的語言型變量是有序的，且對于任意的si和sj，當(dāng)sisj，當(dāng)且僅當(dāng)ij；

(2)當(dāng)sisj時，max(si,sj)=sj，min(si,sj)=si；

(3) 集合中的語言型變量滿足互補運算：Neg(si)=sj當(dāng)且僅當(dāng)i+j=2t。

定義2[2](語言尺度函數(shù))設(shè)si∈S是語言術(shù)語,θi∈[0,1]是一個數(shù)值,那么從si到θi(i=0,1,...,2t)的語言尺度函數(shù)H可以被定義為映射：H:si→θi(i=0,1,...,2t)，其中0θ0...θ2t1。H說明了si的語義,而θi反映了決策者選擇si時的偏好。語言尺度函數(shù)是關(guān)于它的下標(biāo)i嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。

介紹兩種常用的語言尺度函數(shù)：

其中a∈[1.36,1.4]。

定義3[2](正態(tài)云模型)設(shè)U論域,T是論語U上的定性概念。如果x∈U是概念T的一個隨機實現(xiàn),滿足：x～N(Ex,En′2)，其中En′～N(En,He2),且x屬于T的確信度y是一個隸屬分布,滿足：

則稱x在U上的分布叫做正態(tài)云分布,(x,y)叫做云滴。云模型用期望(Ex)、熵(En)、超熵(He)三個數(shù)字特征來描述。云用C=(Ex,En,He)來表示。

下面通過“3σ原則”將語言型Z-number轉(zhuǎn)化為云模型。設(shè)si是集合S語言術(shù)語，則可以通過以下的步驟產(chǎn)生云C=(Ex,En,He)：

(1)用語言尺度函數(shù)計算θi=H1(Si)

(2)計算Exi

設(shè)有效區(qū)間為U=[Xmin,Xmax]，則Exi=Xmin+θi(Xmax-Xmin)。

(3)計算Eni

設(shè)(x,y)是云滴，則x～N(Ex,En′2)。根據(jù)“3σ原則”得3Eni′=max{Xmax-Exi,Exi-Xmin}。因為En′～N(En,He2)，所以Eni可以看作是Eni′和相鄰的Eni-1′和Eni+1′的平均值。因此我們可以得到Eni=(Eni-1′+Eni′+Eni+1′)/3，對于i=1,...,2t-1，En0=(En0′+En1′)/2，En2t=(En2t-1′+En2t′)/2。

(4) 計算Hei

因為En′～N(En,He2),根據(jù)“3σ原則”得到：Hei={max[max(Eni′)-Eni,Eni-min(Eni′)]}/3

定義4[1](Z-number)假設(shè)X是一個實值不確定變量,那么關(guān)于X的模糊數(shù)的有序數(shù)對被定義Z-number,寫作Z=(A,B)。其中A是X可以取值的模糊限制,B是A的可靠性，這兩個成分都可以用自然語言來表示。

定義5[2](正態(tài)Z+值)設(shè)S={s0,s1,...,s2l}，S′={s0′,s1′,...,s2r′}是兩個有限并且完全有序的離散的有語言術(shù)語集合,其基數(shù)為奇數(shù)。其中S和S′表示不同的語義情況,l,r∈N*。用語言型變量表示的Z-number記作Z=(si,si′),其中si∈S,si′∈S′。si和si′都可以使用正態(tài)云模型。相應(yīng)的數(shù)值特征可以轉(zhuǎn)化為(μi,σi)和(exi,eni,hei),此可以定義一個正態(tài)Z+值，記作NZ=((μi,σi),(exi,eni,hei))。

例：假設(shè)S={s0=極度貧窮,s1=很貧窮,s2=比較貧窮,s3=中等,s4=比較好,s5=很好,s6=極好}是語言術(shù)語集合,是評價對象的模糊限制。S′={s0′=很不確定,s1′=不確定,s2′=稍微不確定,s3′=中立,s4′=稍微確定,s5′=確定,s6′=很確定} 是語言術(shù)語集合，是已給模糊限制的可靠程度。如果z=(s3,s6′)是一個Z-number，U=[0,5]是一個有效區(qū)間。那么z=(s3,s6′)可以通過上面的步驟轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值,因為S和S′表示不同的語義,所以用兩種不同的語言尺度函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。計算過程如下：

(1) 用語言尺度函數(shù)計算θi=H1(si)可得θ0=0,θ1=0.17,θ2=0.33,θ3=0.50,θ4=0.67,θ5=0.83,θ6=1。

(2) 計算μi

已知有效區(qū)間為U=[Xmin,Xmax]=[0,5],通過μi=Xmin+θi(Xmax-Xmin)得到μ0=0,μ1=0.83,μ2=1.67,μ3=2.5,μ4=3.33,μ5=4.17,μ6=5。

(3)計算σ3

由3σi′=max{Xmax-μi,μi-Xmin}計算可得σ2′=1.11,σ3′=0.83,σ4′=1.11。所以σ3=(σ2′+σ3′+σ4′)/3=1.02。

(4) 用語言尺度函數(shù)計算θi′=H2(si′)可得：θ0′=0,θ1′=0.22,θ2′=0.38,θ3′=0.50,θ4′=0.62,θ5′=0.78,θ6′=1。

(5)計算Exi

Ex0=0,Ex1=1.10,Ex2=1.91,Ex3=2.50,Ex4=3.09,Ex5=3.90,Ex6=5。

(6) 計算Eni

計算可得En0′=1.67，En1′=1.30，En2′=1.03，En3′=0.83，En4′=1.03，En5′=1.30，En6′=1.67,則En6=(En5′+En6′)/2=1.48。

(7) 計算Hei

He6={max[max(Eni′)-En6,En6-min(Eni′)]}/3=0.22，因此,z=(s3,s6′)可以通過上面的步驟轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值NZ={(2.5,1.02),(5.00,1.48,0.22)}。

2 正態(tài)Z+值的比較方法

首先定義正態(tài)Z+值的廣義加權(quán)平均聚合運算。

進(jìn)一步地,根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]中的正態(tài)Z+值的運算,可以得到其計算規(guī)則為：

(1)

性質(zhì)1(冪等性)如果所有的zi都是相等的,則對任意的i=1,2,...,n,GNZPWA(z1,z2,...,zn)=z

性質(zhì)2(交換性)如果(z1′,z2′,...,zn′)是(z1,z2,...,zn)的任何一個排列。若zi的權(quán)重是不相關(guān)的,那么可得到GNZPWA(z1,z2,...,zn)=GNZPWA(z1′,z2′,...,zn′)

其次定義比較正態(tài)Z+值的方法。

定義7：設(shè)z1,z2是任意兩個正態(tài)Z+值,zi=((μi,σi),(exi,eni,hei))i=1,2。

若μ1>μ2,則NZ1?NZ2；

若μ1=μ2則分以下兩種情況：

(1)若ex1>ex2,NZ1?NZ2

(2)若ex1=ex2,則NZ1?NZ2。

3 基于ELECTER的正態(tài)Z+值的多屬性群決策方法

步驟1：將Z值轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值

有效區(qū)間為U=[0,5]，將表1，表2和表3轉(zhuǎn)化為正態(tài)Z+值表1，表2和表3(表2、表3略)。

表1

表2

表3

正態(tài)Z+值表1

步驟2：給定每個決策者的權(quán)重為vk=(1/3,1/3,1/3)

步驟3：確定屬性權(quán)重

ω1=(0.2921,0.3029,0.2603,0.1446)

ω2=(0.2179,0.3811,0.1750,0.2260)

ω3=(0.2477,0.2394,0.2216,0.2913)

步驟4：確定綜合屬性權(quán)重

步驟5：根據(jù)公式(1)獲得集成評價信息：

步驟6：和諧性矩陣C=(cik)和不和諧性矩陣D=(dik)。

將方案成對比較，且將屬性下標(biāo)集J={j|j=1,2,...,n}分為兩類，一類是一致集Cik(包含和諧集、不和諧集)，另一類是矛盾集Dik(無差異集)。J+(xi,xj)={j|1jn,NZj(xi)>(?)NZj(xj)}}Dik(xi,xj)={j|1jn,NZj(xi)

通過比較得到下表：

一致集Cik和矛盾集Dik(CikDik)

步驟7：排序

凈優(yōu)勢值為N1=-0.417，N2=0.4537，N3=0.3277，N4=-0.3644，按凈優(yōu)勢值的排序為a2?a3?a4?a1。

4 結(jié) 語

針對將Z-number和正態(tài)云模型結(jié)合得到的正態(tài)Z+值，通過定義的公式(1)聚合三位決策人員的決策信息，并用偏差最大化確定屬性權(quán)重進(jìn)而得到綜合屬性權(quán)重。再通過先比較正態(tài)Z+值中第一部分的期望值再比較第二部分期望值得到比較正態(tài)Z+值的方法。通過比較正態(tài)Z+值的方法得到一致集和矛盾集，進(jìn)而得到和諧矩陣和不和諧矩陣，最后用凈優(yōu)勢值對方案進(jìn)行排序，從而得到可靠的決策依據(jù)。