趙慧，熊智，王麗娜，潘加亮，郁豐，戴怡潔

(1. 南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210016;2. 北京航天自動(dòng)控制研究所 宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100854;3. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京210016)

0 引言

天文導(dǎo)航是以已知準(zhǔn)確空間位置、不可毀滅的自然天體為基準(zhǔn)，并通過(guò)光電和射電方式被動(dòng)探測(cè)天體位置，經(jīng)解算確定測(cè)量點(diǎn)所在載體的經(jīng)度、緯度、航向和姿態(tài)等信息［1-2］。天文導(dǎo)航系統(tǒng)具有自主性強(qiáng)、可靠性高、精度好等優(yōu)點(diǎn)，一直受到各軍事強(qiáng)國(guó)的重視［3］，已經(jīng)成為組合導(dǎo)航系統(tǒng)的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于艦艇、飛機(jī)、空間飛行器等領(lǐng)域［4］。

目前，對(duì)天文定位性能的研究多集中于提高天文敏感元件性能的研究［5-6］。為提高天文敏感器的測(cè)量性能，恒星星光的敏感器元件由CCD 向CMOS發(fā)展［7］;為降低雜散光對(duì)天文敏感器性能的影響，敏感器遮光罩由單節(jié)型向優(yōu)化的兩節(jié)型遮光罩發(fā)展［8］;為降低敏感器畸變及色差，對(duì)敏感器鏡頭進(jìn)行像方遠(yuǎn)心化等結(jié)構(gòu)優(yōu)化并引入二元光學(xué)面［9］。

在天文定位選星過(guò)程對(duì)天文定位誤差特性研究方面的文獻(xiàn)較少。文獻(xiàn)［10 -11］給出了一般性的恒星選擇標(biāo)準(zhǔn)，其認(rèn)為雙星定位時(shí)，恒星方位角應(yīng)在60° ～120°之間，以趨近90°最好;三星定位時(shí)，三星分布范圍要在180°以上，相鄰星體間方位角趨近120°最好，對(duì)于具體的理論依據(jù)，并未進(jìn)行深入研究，尚無(wú)法給出基于天文觀測(cè)恒星幾何構(gòu)型選星的理論依據(jù)。

為此，本文從天文定位基本原理出發(fā)，推導(dǎo)建立了天文定位誤差模型，以此為基礎(chǔ)，分析了影響天文定位精度的因素。在此基礎(chǔ)上，著重研究了恒星幾何構(gòu)型分布中恒星方位角對(duì)天文定位的影響規(guī)律，并給出了判別恒星幾何構(gòu)型中恒星方位角優(yōu)劣的條件，為有效提高天文定位性能提供了理論參考依據(jù)。

1 天文定位誤差建模

天文定位的基本原理是通過(guò)觀測(cè)恒星的高度角和方位角進(jìn)行定位的［12-13］?；谔煳暮阈怯^測(cè)的天文定位基本原理如圖1所示。

圖1中，K 點(diǎn)為載體所在真實(shí)位置，C 為推算的載體位置，GP為觀測(cè)恒星的星下點(diǎn)。PNK、PNGP分別為過(guò)載體位置K 和恒星星下點(diǎn)GP的子午線，則為星下點(diǎn)相對(duì)于載體位置的方位線90° -h，h 即為觀測(cè)恒星的高度角，∠PNKGP為觀測(cè)恒星的方位角A. 恒星星下點(diǎn)相對(duì)于推算的位置點(diǎn)C 的方位線則方位線即為恒星高度與載體推算高度之間的高度差值Δh. 在天文定位過(guò)程中，通過(guò)天文敏感器，載體可測(cè)得恒星的高度角h 和方位角A，由推算的位置點(diǎn)C 可計(jì)算得到該恒星的計(jì)算高度角hc，從而得到高度差Δh 即方位線

圖1 天文定位原理圖Fig.1 Schematic diagram of celestial positioning

以K 點(diǎn)為原點(diǎn)，東西向?yàn)閤 軸，南北向?yàn)閥 軸，建立如圖2所示的示意圖。

圖2 計(jì)算載體位置示意圖Fig.2 Position calculation of vehicle

根據(jù)圖2，可以獲得高度差的基本計(jì)算公式［14］如下:

式中:Δφ 為緯度誤差(即南北方向距離);ΔW =cos φ·Δλ(即東西方向距離)，Δλ 為經(jīng)度誤差。

當(dāng)可觀測(cè)恒星數(shù)目大于1 時(shí)，根據(jù)(1)式可得多顆導(dǎo)航恒星觀測(cè)時(shí)的矩陣描述，即

當(dāng)推算位置點(diǎn)為載體的實(shí)際位置時(shí)，高度差ΔH 即為測(cè)量誤差，不同恒星間的測(cè)量誤差互不相關(guān)。則有天文定位誤差協(xié)方差為

式中:矩陣G 定義為

由(5)式可知，G 為2 ×2 的對(duì)稱矩陣。其中，m定義為

(4)式清晰地表明了高度差方差經(jīng)由矩陣G 轉(zhuǎn)換為定位誤差的方差。根據(jù)(4)式可知，天文定位精度與以下兩方面因素有關(guān):

1)測(cè)量誤差:恒星高度角測(cè)量誤差的方差越大，定位誤差X 的方差就越大。

2)恒星的幾何構(gòu)型:矩陣G 取決于導(dǎo)航恒星的個(gè)數(shù)以及各個(gè)導(dǎo)航星的方位角。矩陣G 中的元素越小，則由測(cè)量誤差轉(zhuǎn)換為定位誤差的程度就越低。

2 恒星幾何構(gòu)型對(duì)天文定位性能影響分析

2.1 基于恒星幾何構(gòu)型的天文定位誤差模型

從第1 節(jié)的分析可以看出，在天文敏感器選定的條件下(高度角測(cè)量誤差一定)，天文定位誤差主要受到恒星幾何構(gòu)型分布的影響。為此，記恒星高度角測(cè)量誤差方差為σ2h，則由(4)式得

式中:g11和g22為系數(shù)陣G 的對(duì)角線元素。根據(jù)(5)式可得，g11=從而可以根據(jù)均方誤差分析定位精度:

下面將以天文導(dǎo)航中常用的雙星觀測(cè)和三星觀測(cè)為例，分析恒星幾何構(gòu)型中恒星方位角對(duì)天文定位性能影響。

2.2 雙星觀測(cè)幾何構(gòu)型下的天文定位誤差特性分析

首先分析雙星觀測(cè)條件下的定位性能，根據(jù)(6)式可得

則天文定位均方誤差為

即雙星觀測(cè)條件下天文定位誤差特性滿足(10)式. 由于A1，A2∈［0，2π］，因而|A2-A1|∈［0，2π］. 由(10)式可知，在天文敏感器精度一定的情況下，天文定位誤差僅和導(dǎo)航星方位角之差A(yù)2-A1有關(guān)。當(dāng)兩顆導(dǎo)航星方位角之差為90°或者270°時(shí)，m2值最大，此時(shí)誤差權(quán)系數(shù)因此，當(dāng)兩顆導(dǎo)航星方位角之差接近90°或者270°時(shí)，雙星天文定位性能較優(yōu)。

為形象描述恒星幾何分布中恒星方位角對(duì)天文定位性能的影響，下面從幾何角度進(jìn)行分析。圖3給出了雙星觀測(cè)條件下天文定位誤差與恒星方位角之間的關(guān)系示意圖。

圖3 雙星觀測(cè)條件下天文定位誤差與恒星方位角之間關(guān)系Fig.3 Relationship between positioning error and azimuth under double-star observing condition

圖3中粗實(shí)線以恒星星下點(diǎn)GP為圓心，恒星頂距為半徑的等高圓圓弧，兩條細(xì)圓弧表示恒星高度角的測(cè)量誤差。載體真實(shí)位置為兩條粗實(shí)線的交點(diǎn)K，虛線為載體所在位置子午線。由載體子午線至方位線Gp1K 的夾角A1為恒星1 的方位角，由子午線至方位線Gp2K 的夾角A2為恒星2 的方位角，而陰影部分代表由高度測(cè)量誤差造成的定位結(jié)果可能的范圍。

從圖3(a)中可看出，當(dāng)觀測(cè)的導(dǎo)航恒星方位角之差接近90°時(shí)，兩個(gè)等高圓相交的陰影部分面積小而集中;從圖3(b)中可看出，當(dāng)觀測(cè)的導(dǎo)航恒星方位角之差較小時(shí)，即兩顆導(dǎo)航星相對(duì)于載體而言差不多處于同一個(gè)角度，此時(shí)相交的陰影部分面積明顯增大。對(duì)比上面兩圖，可發(fā)現(xiàn)圖3(a)中的恒星幾何構(gòu)型優(yōu)于圖3(b)，其定位誤差范圍亦較小。

2.3 三星觀測(cè)幾何構(gòu)型下的天文定位誤差特性分析

同樣，分析三星觀測(cè)條件下的定位性能，根據(jù)(6)式可得

記a=A2-A1，b=A3-A1，則A3-A2=b-a，則

則天文定位均方誤差為

即三星觀測(cè)條件下天文定位誤差特性滿足(13)式。經(jīng)求解，在區(qū)間a∈［0，2π］，b∈［0，2π］內(nèi)，m3共有8 個(gè)最大值點(diǎn)，具體如表1所示。

表1 m3 最大值時(shí)恒星分布情況Tab.1 Distribution of stars under matrix m3

采用與2.2 節(jié)中相同的幾何分析方法，來(lái)研究三星觀測(cè)情況下天文定位誤差與恒星幾何分布中方位角之間的關(guān)系。

圖4中:圖4(a)為表1中的第1 種情況，三星分布＜180°;圖4(b)為表1中的第5 種情況，三星分布＞180°. 對(duì)比圖4(a)、圖4(b)可發(fā)現(xiàn)，在這兩種情況下，3 顆導(dǎo)航星的等高圓相交的陰影部分形狀、大小相同，面積小而集中。圖4(c)為3 顆導(dǎo)航星相對(duì)于載體分布在同一側(cè)，三星分布＜180°;圖4(d)為3 顆導(dǎo)航星相對(duì)于載體分布在兩側(cè)，三星分布＞180°. 從圖4(c)、圖4(d)中可發(fā)現(xiàn)，在這兩種情況下，3 顆導(dǎo)航星的等高圓相交的陰影部分面積都較大。由此可見(jiàn)，三星定位中，天文定位性能優(yōu)劣與恒星分布是否大于180°并無(wú)直接關(guān)系。

3 算法仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出的天文定位誤差模型的正確性，同時(shí)，測(cè)試導(dǎo)航星方位角對(duì)天文定位性能的影響，本節(jié)首先對(duì)天文導(dǎo)航雙星定位和三星定位分別進(jìn)行靜態(tài)仿真，繼而結(jié)合飛行器動(dòng)態(tài)飛行過(guò)程進(jìn)行天文定位誤差特性綜合仿真。其中，靜態(tài)仿真基本條件如表2所示。高度角測(cè)量誤差設(shè)置為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為10″的高斯白噪聲，仿真過(guò)程中，恒星之間的方位角之差以0.01°的變化率從0°～360°逐漸增加。

3.1 雙星觀測(cè)下的天文定位誤差特性分析

圖5和圖6給出了雙星定位時(shí)恒星幾何構(gòu)型中恒星方位角對(duì)天文定位性能的影響。從仿真結(jié)果看，在區(qū)間［0，2π］內(nèi)，當(dāng)兩顆導(dǎo)航恒星方位角之差在［π/3，2π/3］和［4π/3，5π/3］之間時(shí)，天文定位性能較優(yōu);當(dāng)兩顆導(dǎo)航恒星方位角之差接近0、π、2π時(shí)，天文定位誤差明顯增大，定位性能顯著下降。從圖6仿真曲線中可發(fā)現(xiàn)，天文定位均方根誤差特性與其誤差權(quán)系數(shù)特性一致，可見(jiàn)所建立的雙星條件下天文定位誤差模型是正確的。

圖4 三星觀測(cè)條件下天文定位誤差與恒星方位角之間關(guān)系Fig.4 Relationship between positioning error and azimuth under tri-star observing condition

表2 靜態(tài)仿真基本條件Tab.2 Static simulation parameters

圖5 天文定位誤差曲線Fig.5 Error curves of celestial positioning

3.2 三星觀測(cè)下的天文定位誤差特性分析

圖7給出了三星定位時(shí)恒星幾何構(gòu)型中恒星方位角對(duì)天文定位性能的影響，圖8給出了誤差權(quán)系數(shù)k 和恒星方位角的關(guān)系。對(duì)比圖7和圖8可發(fā)現(xiàn)，天文定位誤差特性與權(quán)系數(shù)誤差特性基本一致，可得所建立的天文定位誤差模型是正確的。從圖7仿真結(jié)果看，當(dāng)三星幾何構(gòu)型較差時(shí)，如其中兩顆星方位角之差接近0°、180°、360°時(shí)，定位誤差權(quán)系數(shù)明顯增大，天文定位性能明顯下降。

根據(jù)2.3 節(jié)分析可知，三星觀測(cè)下天文定位最優(yōu)既存在三星分布＞180°的幾何構(gòu)型，也存在三星分布＜180°的幾何構(gòu)型，為進(jìn)一步驗(yàn)證恒星方位角分布是否大于180°對(duì)天文定位性能是否產(chǎn)生影響，選取以下3 組幾何構(gòu)型進(jìn)行仿真分析(見(jiàn)表3):恒星幾何構(gòu)型A 為三星分布＞180°;恒星幾何構(gòu)型B、C 為三星幾何構(gòu)型中最優(yōu)的兩種，幾何構(gòu)型B 三星分布＜180°，幾何構(gòu)型C 三星分布＞180°.

圖6 天文定位性能曲線Fig.6 Performance curves of celestial positioning

圖7 天文定位均方根誤差曲線Fig.7 RMSE curves of celestial positioning

如圖9所示，對(duì)比幾何構(gòu)型A 和幾何構(gòu)型C 下的天文定位性能，可發(fā)現(xiàn)A 情況下的天文定位誤差大于幾何構(gòu)型C，恒星幾何分布＞180°并不能保證天文定位性能較優(yōu)。對(duì)比幾何構(gòu)型B、C 下的天文定位性能，兩種情況下的天文定位性能基本一致。由此可見(jiàn)，天文三星定位時(shí)，在誤差權(quán)系數(shù)相同的情況下，恒星分布是否大于180°對(duì)天文定位性能不產(chǎn)生影響。

表3 三星幾何構(gòu)型Tab.3 Distribution of stars

圖8 定位誤差權(quán)系數(shù)Fig.8 Error weight curves

3.3 基于恒星幾何構(gòu)型的天文定位誤差特性綜合仿真分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所建立的天文定位誤差模型的正確性，下面將結(jié)合飛行器動(dòng)態(tài)飛行過(guò)程，以雙星觀測(cè)為例，采用以下兩種方式進(jìn)行仿真驗(yàn)證:1)考慮恒星幾何構(gòu)型中的方位角影響因素，以恒星方位角之差接近90°為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行導(dǎo)航星選擇;2)不考慮恒星幾何構(gòu)型分布，將某一時(shí)刻飛行器觀測(cè)到的恒星進(jìn)行編號(hào)(1，…，n)，通過(guò)隨機(jī)排序(Matlab 中randperm 函數(shù)，基本為等概率原則)，隨機(jī)選取觀測(cè)到恒星中的兩顆作為導(dǎo)航星。

圖9 天文定位均方根誤差曲線Fig.9 RMSE curves of celestial positioning

考慮到目前天文定位導(dǎo)航主要用在航天飛行器上，為較真實(shí)反應(yīng)天文觀測(cè)情況，本文結(jié)合衛(wèi)星工具包STK 軟件，以飛行高度為500 km 的近地軌道飛行器作為研究對(duì)象，構(gòu)建飛行器飛行場(chǎng)景，分析天文定位誤差特性。其中，飛行器參數(shù)設(shè)定如表4所示，傳感器的觀測(cè)誤差如表2所示，為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為10″的高斯白噪聲。飛行器飛行航跡如圖10(a)所示，三維飛行場(chǎng)景如圖10(b)所示。圖10(b)中地球表面的彩點(diǎn)為恒星的星下點(diǎn)，綠色曲線為飛行器飛行軌道，右側(cè)黃色錐型區(qū)域表示安裝的天文敏感器視場(chǎng)范圍，多根黃色直線表示該時(shí)刻由天文敏感器觀測(cè)到的恒星。

表4 飛行器參數(shù)設(shè)定Tab.4 Aerocraft parameters

圖10 飛行器飛行航跡Fig.10 Aerocraft flight path

在飛行器飛行過(guò)程中，天文敏感器觀測(cè)到的恒星不斷變化，因而在數(shù)字仿真過(guò)程中，以1 min 為步長(zhǎng)更新天文敏感器觀測(cè)的可見(jiàn)星。由于恒星分布并不均勻，因此飛行器不同時(shí)刻觀測(cè)到的恒星數(shù)目和恒星分布情況各不相同。圖11 給出了飛行器飛行過(guò)程中，天文敏感器觀測(cè)到的可見(jiàn)星數(shù)目變化情況。

圖11 每一時(shí)刻觀測(cè)到的恒星數(shù)目Fig.11 Number of navigation stars

結(jié)合飛行器飛行航跡，根據(jù)上述兩種導(dǎo)航星選擇方式進(jìn)行天文定位仿真，分析天文定位誤差特性。圖12 給出了方位角選星下的天文定位相關(guān)曲線，圖13 給出了隨機(jī)選星下的天文定位相關(guān)曲線。

從圖12(c)、圖13(c)可看出，在飛行器動(dòng)態(tài)飛行過(guò)程中，不論是以方位角之差進(jìn)行導(dǎo)航星選擇，或是采用隨機(jī)選星方式，其天文定位均方根誤差特性與其對(duì)應(yīng)的誤差權(quán)系數(shù)曲線特性基本一致。由此可見(jiàn)，本文所建立的天文定位誤差模型正確，所給出的定位誤差權(quán)系數(shù)k 可有效反映天文導(dǎo)航系統(tǒng)定位性能。

圖12(a)、圖12(c)中在94 min 處出現(xiàn)一個(gè)尖峰，對(duì)照?qǐng)D12(b)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)兩顆導(dǎo)航星之間的方位角之差為171.3°，較接近180°. 圖13(a)、圖13(c)中在31 min 處出現(xiàn)一個(gè)較大尖峰，對(duì)照?qǐng)D13(b)發(fā)現(xiàn)此時(shí)兩顆導(dǎo)航星之間的方位角為0.14°，非常接近0°. 從雙星觀測(cè)下的天文定位誤差特性分析中可知，當(dāng)導(dǎo)航星方位角之差接近0°、180°時(shí)，天文定位性能較差，因而定位性能曲線中出現(xiàn)尖峰可以得到合理解釋。

對(duì)比圖12(b)、圖13(b)可看出，采用方位角選星時(shí)導(dǎo)航星方位角之差曲線較接近所設(shè)定的90°且曲線平滑，而采用隨機(jī)選星時(shí)導(dǎo)航星方位角之差曲線波動(dòng)較大且出現(xiàn)較多值接近0°或180°. 對(duì)應(yīng)其天文定位性能曲線圖12(c)、圖13(c)可發(fā)現(xiàn)，方位角選星情況下的天文定位性能明顯優(yōu)于隨機(jī)選星情況下的天文定位性能。以方位角之差作為導(dǎo)航星選擇條件的天文定位誤差量級(jí)較小且曲線較為平滑。從表5天文定位性能統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中亦可看出，采用方位角選星進(jìn)行天文定位，其經(jīng)度、緯度誤差量級(jí)較小，接近于高度角測(cè)量誤差10″，而采用隨機(jī)選星方式進(jìn)行天文定位時(shí)，天文定位誤差量級(jí)較大。由此可見(jiàn)，恒星幾何構(gòu)型中的恒星方位角分布對(duì)天文定位性能存在較大影響，選擇方位角之差接近90°的恒星作為導(dǎo)航星可有效減小天文定位誤差，提高天文定位性能。

圖12 方位角選星下的天文定位曲線Fig.12 Celestial positioning curves under azimuth star choosing

表5 天文定位性能Tab.5 Celestial positioning performance

圖13 隨機(jī)選星下的天文定位曲線Fig13 .Celestial positioning curves under random star choosing

從上述靜態(tài)仿真和動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果看，本文所給出的天文定位誤差權(quán)系數(shù)k 可有效反映天文定位過(guò)程中的誤差特性，由此可證明本文所建立的天文定位誤差模型正確有效。

4 結(jié)論

天文導(dǎo)航系統(tǒng)作為高自主、高可靠性的導(dǎo)航系統(tǒng)，其重要性不言而喻。如何有效分析天文定位誤差、選擇合適的導(dǎo)航星是提高其定位性能的前提之一。本文從天文定位基本原理出發(fā)，建立了天文定位誤差模型，給出了在天文觀測(cè)精度一定的條件下，天文定位誤差權(quán)系數(shù)k 的表達(dá)式。而后以雙星定位和三星定位為例，分析了恒星幾何構(gòu)型中恒星方位角對(duì)天文定位性能的影響，給出了雙星觀測(cè)和三星觀測(cè)條件下天文定位性能較優(yōu)的恒星分布。最后，將所提出的天文定位誤差模型分別用于雙星定位、三星定位以及飛行器動(dòng)態(tài)飛行過(guò)程進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，所提出的天文定位誤差模型正確且可有效用于天文定位性能分析，為天文導(dǎo)航選星提供了參考。

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