朱金輝，謝紅剛，牛勝利，左應(yīng)紅

（西北核技術(shù)研究所，西安710024；強脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國家重點實驗室，西安710024）

快速在線處理中子核截面的修正多普勒展寬方法

朱金輝，謝紅剛，牛勝利，左應(yīng)紅

（西北核技術(shù)研究所，西安710024；強脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國家重點實驗室，西安710024）

在模擬計算高溫系統(tǒng)中子輸運問題時，為了快速在線處理中子核截面，基于多普勒展寬原理，發(fā)展了一種修正多普勒展寬方法。通過在低能區(qū)引入低能截面修正因子、調(diào)整計算方法及合理設(shè)置數(shù)值積分計算參數(shù)等，進行了數(shù)值算法優(yōu)化，探討了NJOY程序?qū)Ω吣軈^(qū)中子截面展寬的限制及影響，在自主開發(fā)的蒙特卡羅輸運程序中實現(xiàn)了中子截面的快速在線展寬處理，并比較了NJOY程序與本文程序計算的截面數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，本文程序給出的高溫展寬截面準確性高，計算效率能滿足快速在線展寬需求，可高效處理在線中子截面展寬問題。

中子截面；多普勒展寬；修正

物理熱工耦合粒子輸運計算中，系統(tǒng)的溫度不斷變化，要用到不同溫度點的中子截面數(shù)據(jù)。當系統(tǒng)的溫度不同于已有截面數(shù)據(jù)所對應(yīng)的溫度時，需采用經(jīng)過多普勒展寬的截面數(shù)據(jù)進行輸運計算。中子截面多普勒展寬會導(dǎo)致中子宏觀截面發(fā)生變化，對高溫系統(tǒng)中子輸運的計算結(jié)果產(chǎn)生重要影響。在以往的研究中，通常事先確定溫度范圍，采用截面處理程序，如NJOY［1］，生成不同溫度點的截面數(shù)據(jù)，在實際使用時用插值方法獲取當前系統(tǒng)溫度所對應(yīng)的截面。但截面精度依賴于程序選擇較小的參考溫度間隔［2］，如Trumbull認為溫度間隔不大于28K方可保證插值方法的精度［3］，這樣小的溫度間隔將造成參考截面庫所占存儲空間增大，對溫度變化較大的系統(tǒng)不太適用。

隨著計算機性能的不斷提升，不需預(yù)先制作生成溫度截面的在線展寬方法成為近年來研究的熱點。清華大學(xué)的李松陽等人用兩種方法實現(xiàn)了中子截面在線多普勒展寬［2，4-7］，其中，快速多普勒展寬方法（fast Doppler broadening，F(xiàn)DB）具有較高的計算效率，被應(yīng)用到截面處理程序TRMC［2］中，但該方法不適用于低能區(qū)，文獻［2］中低能區(qū)仍采用NJOY程序處理中子截面。為了在低能區(qū)也能實現(xiàn)快速多普勒展寬，本文基于FDB發(fā)展了一種快速在線的修正多普勒展寬方法（amendatory Doppler broadening，ADB），通過在低能區(qū)引入低能截面修正因子，合理設(shè)置計算參數(shù)和程序優(yōu)化，實現(xiàn)了中子截面的快速準確展寬計算。將本文建立的方法與NJOY程序進行了對比，研究了NJOY程序在高能區(qū)對中子截面展寬的限制及影響。

1 快速多普勒展寬方法優(yōu)化

評價核數(shù)據(jù)庫ENDF／B中的截面一般是0K溫度截面數(shù)據(jù)，即中子與靜止靶核的反應(yīng)截面。實際上，靶核一直處于熱運動中，中子入射時，將根據(jù)靶核熱運動速度分布，使中子與靶核的相對速度及對應(yīng)的相對能量在一定范圍內(nèi)展開，從而導(dǎo)致中子與靶核相互作用的宏觀截面不同于0K（絕對零度）溫度截面，而應(yīng)取一個平均值，將該平均值定義為多普勒展寬有效截面［2］，即

其中，ρ為靶核原子數(shù)密度；σ為多普勒展寬有效截面；T為靶核溫度；v為入射中子速度；v′為靶核熱運動速度為中子與靜止靶核的反應(yīng)截面；P（v′，T）為靶核熱運動速度分布函數(shù)，通常認為P（v′，T）滿足麥克斯韋玻耳茲曼分布：

其中，α＝m／（2kT），k為玻耳茲曼常數(shù)；m表示靶核質(zhì)量。

設(shè)中子與靶核的相對速度為V＝｜v－v′｜，對式（1）進行分部積分，得到多普勒展寬有效截面的標準形式：

式（3）可表示為兩部分：

其中，

定義無量綱變量y＝vα1／2，x＝Vα1／2，式（5）變?yōu)?/p>

式（6）中，xi由中子與靶核的相對速度V決定，是一系列離散值，計算式（6）時，采用分段積分再求和得到總積分，分段數(shù)N由評價核數(shù)據(jù)庫ENDF／B中xi的點數(shù)確定。在傳統(tǒng)方法的展寬程序，如NJOY中，用解析積分形式計算式（6）的積分值，需要計算誤差余函數(shù)或進行泰勒展開，計算量較大。李松陽等人提議［2］，在xi＋1－xi＜1時，采用兩點高斯勒讓德積分數(shù)值計算；考慮到數(shù)值計算誤差，在xi＋1－xi＞1時，仍采用傳統(tǒng)方法計算。

本文認為，針對xi＋1－xi較大的情況，可以將［xi，xi＋1］分為幾個較小的區(qū)間，先求出較小區(qū)間端點的截面，即［xi，xi＋1］區(qū)間的中間節(jié)點的截面，再采用數(shù)值積分進行求解，即可達到精度要求。同時，在采用高斯勒讓德積分計算［xi，xi＋1］區(qū)間內(nèi)的積分值時，需要插值計算中間能量點的反應(yīng)截面。在［xi，xi＋1］區(qū)間較小時，采用梯形積分可在不降低計算精度的條件下減小計算量，而在［xi，xi＋1］區(qū)間較大時，可將其分為幾個較小的區(qū)間進行計算。即，在xi＋1－xi＜δx時，采用梯形積分；在xi＋1－xi＞δx時，將［xi，xi＋1］區(qū)間分為幾個不大于δx的區(qū)間進行梯形積分，所分小區(qū)間數(shù)為ent（（xi＋1－xi）／δx）＋1。

選擇56Fe作為靶核，計算給出了選取不同δx時，上述快速多普勒展寬方法與NJOY程序計算的截面數(shù)據(jù)，如圖1所示。圖中還提供了未經(jīng)展寬時，0K的截面數(shù)據(jù)作為對比。

由圖1可見，當δx＝1.0時，計算結(jié)果在部分區(qū)域存在較大偏差，而當δx＝0.5時，本文方法計算結(jié)果與NJOY程序的計算結(jié)果基本一致。在實際應(yīng)用中，取δx≤0.5即可；本文后續(xù)計算中，取δx＝0.5。

對在線展寬，計算速度是截面展寬程序重點關(guān)心的指標。在對式（6）進行數(shù)值積分計算時，為計算不同能量中子的運動速度，需進行開方運算，這會顯著降低計算效率。為提高計算速度，本文對計算過程優(yōu)化為：將相關(guān)節(jié)點能量的中子速度，在數(shù)據(jù)預(yù)處理時先行計算并存儲起來，數(shù)值積分計算時，可直接調(diào)用。經(jīng)對比，采用此優(yōu)化后，平均計算效率提高約1個量級。

同時，為避免不必要的展寬計算，在當前能量所處區(qū)間［xi，xi＋1］較大時，可直接用插值方法求得當前能量所需的截面。經(jīng)分析，當xi＋1－xi≥8時，評價核數(shù)據(jù)庫ENDF／B中的截面數(shù)據(jù)較光滑，因此可不進行展寬計算，直接用插值處理。

另外，傳統(tǒng)的截面展寬程序通常從0K截面開始展寬。文獻［8］指出，可根據(jù)任意已有的溫度截面數(shù)據(jù)和溫度差，按照多普勒展寬方法給出更高溫度的截面數(shù)據(jù)。本文計算均從溫度為300K的截面開始展寬。對大多數(shù)核素，300K時截面數(shù)據(jù)對應(yīng)的能量點較0K時少，因此，從300K的截面數(shù)據(jù)開始展寬，有利于提高在線展寬效率。以56Fe的中子截面數(shù)據(jù)為例，在ENDF／B VII.1（發(fā)布時間為2011年11月）庫中，0K時截面數(shù)據(jù)對應(yīng)的能量點有48 949個，300K時截面數(shù)據(jù)對應(yīng)的能量點有39 237個，從300K的截面開始展寬，相比從0K截面數(shù)據(jù)開始展寬，理論上可使計算效率提高約20%。

2 修正快速多普勒展寬方法

采用第1節(jié)給出的快速多普勒展寬方法計算了不同溫度下56Fe的總截面，并與NJOY程序給出的中子截面進行了對比，結(jié)果如圖2所示。

由圖2（a）可見，在中子能量大于8.62×10－11TMeV的高能區(qū)，無修正的快速多普勒展寬方法計算得到的截面數(shù)據(jù)，與NJOY程序計算給出的數(shù)據(jù)一致；而在能量小于8.62×10－11TMeV的低能區(qū)，截面數(shù)據(jù)存在系統(tǒng)偏差，無修正的快速多普勒展寬方法計算結(jié)果大于NJOY程序的計算結(jié)果，且當溫度相同時，能量越低，系統(tǒng)偏差越大。

鑒于上述結(jié)果，在快速多普勒展寬方法中引入了低能截面修正因子F，它類似于自由氣體熱運動模型中的彈性散射截面修正因子，表達式為

其中，A為原子量；E為中子能量；T為溫度；erf（a）為誤差函數(shù)。

采用快速多普勒展寬計算方法和修正因子F后，計算得到的56Fe截面數(shù)據(jù)一并示于圖2。

從圖2可以看到，在溫度范圍為103～106K的低能部分，經(jīng)修正后的展寬截面與NJOY程序計算結(jié)果一致，說明修正后消除了系統(tǒng)偏差。由式（7）和式（8）可知，當中子能量位于高能區(qū)時，即E較大時，a較大，使修正因子F近似為1，因此，可以在低能區(qū)及高能區(qū)采用統(tǒng)一的修正因子F。對多種核素的大量對比計算表明，本文給出的修正方法適用于不同核素在低能非共振區(qū)不同溫度條件下的截面計算。

3 NJOY程序中子截面展寬的能量上限

圖3給出了106K時，本文計算的56Fe在0.85 MeV附近展寬截面和NJOY程序計算結(jié)果的對比。

從圖3可以看到，在E＜0.85MeV時，本文計算結(jié)果與NJOY程序給出的結(jié)果一致，而在E＞ 0.85MeV時，NJOY程序的計算結(jié)果與0K時的截面一致。顯然，在E＞0.85MeV時，NJOY程序并沒有對截面進行展寬，而是沿用了0K時的截面數(shù)據(jù)。對此，文獻［9］中給出了簡短說明，即“NJOY展寬的截面數(shù)據(jù)包括經(jīng)過展寬的彈性散射截面、俘獲截面、裂變截面以及一些低閾值（＜1eV）的吸收反應(yīng)，而非彈性散射截面不會被NJOY程序展寬”。

事實上，NJOY程序在執(zhí)行過程中，將非彈性散射截面對應(yīng)的能量閾值Eth設(shè)定為展寬處理的能量上限。也就是，在非彈性散射能量閾值Eth以上的能量區(qū)間，NJOY程序?qū)⒅苯邮褂?K截面數(shù)據(jù)。觀察相關(guān)截面數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，不同核素的非彈性散射截面閾值Eth不同：對較輕核素，Eth一般在MeV量級；對較重核素，Eth在1～100keV水平；Eth并非隨原子序數(shù)的增加單調(diào)下降。

NJOY程序采用上述閾值，可能基于以下理由：在通常研究的不超過104K溫度范圍內(nèi)，高溫引起的多普勒展寬效應(yīng)對較高能量入射中子的截面數(shù)據(jù)影響較小。事實上，多普勒展寬的能量范圍約為其中，Em＝16 kT／A。如果在范圍內(nèi)中子截面有明顯變化，則多普勒展寬會顯著影響中子宏觀截面。例如，圖3中106K時，56Fe在0.86MeV附近的中子截面與展寬后的中子截面最大偏差約為50%?？梢姡捎贜JOY程序的中子截面展寬存在能量上限，在較高溫度下用NJOY程序計算截面時，計算結(jié)果可能會產(chǎn)生偏差，需引起注意。

4 在線展寬及計算效率對比

在線展寬是指在模擬計算中根據(jù)材料的實際溫度和中子能量直接計算中子的宏觀截面。本文將ADB方法應(yīng)用于自主開發(fā)的蒙特卡羅輸運程序TOPAN［10］中，實現(xiàn)了任意溫度下宏觀截面的在線展寬。

在處理粒子輸運問題時，展寬的宏觀截面主要用來抽取自由程和選擇碰撞核。在處理具體反應(yīng)類型時，一般先抽取靶核速度，計算出相對速度和相對能量Er，再根據(jù)Er對應(yīng)的中子微觀截面，處理中子與靶核的相互作用。因此，可采用如下流程實現(xiàn)變溫系統(tǒng)中的粒子輸運模擬：

1）讀取材料溫度并在線展寬材料各核素的總截面，根據(jù)各核素的原子數(shù)密度計算得到各核素的宏觀截面和材料的總宏觀截面；

2）根據(jù)總宏觀截面抽取自由程，再根據(jù)各核素宏觀截面選擇碰撞核；

3）抽取靶核速度，計算相對能量Er和各類型反應(yīng)的微觀截面；

4）抽樣反應(yīng)類型，計算質(zhì)心坐標系下次級粒子參數(shù)；

5）根據(jù)靶核速度，計算給出實驗室坐標下的次級粒子參數(shù)；

6）繼續(xù)跟蹤次級粒子。

為定量說明粒子輸運模擬計算中上述在線ADB方法的計算效率是否滿足需求，建立了一個包含鈾、鐵、碳、氫等核素的計算模型。表1給出了該模型在不同溫度下進行計算時，粒子輸運計算的總時間及在線展寬截面所用的時間對比。

由表1可見，在溫度較低時，截面在線展寬計算時間占計算總時間的比例很??；隨著溫度增加，在線展寬計算時間逐漸增加；溫度為107K時，在線展寬計算時間已超過計算總時間的一半。總體而言，本文實現(xiàn)的在線ADB方法的計算效率能夠滿足在線展寬需求。

5 小結(jié)

基于FDB快速多普勒展寬方法，發(fā)展了一種快速在線的修正多普勒展寬方法。計算結(jié)果表明，在低能區(qū)修正后的截面數(shù)據(jù)與NJOY程序給出的結(jié)果一致；在高能區(qū)克服了NJOY程序的展寬能量限制。在自主開發(fā)的蒙特卡羅粒子輸運程序中實現(xiàn)了在線截面展寬，在常見溫度范圍內(nèi)增加的截面展寬計算時間較少，能夠滿足在線展寬計算需求，說明本文給出方法能夠應(yīng)用于物理熱工耦合計算等復(fù)雜系統(tǒng)的模擬計算中。

［1］MACFARLANE R E，MUIR D W.The NJOY nuclear data processing system：version 91［R］.LA－12740－M.Los Alamos National Laboratory，1994.

［2］李松陽.在線多普勒展寬與核截面處理方法研究［D］.北京：清華大學(xué)，2012.（LI Song－yang.Research on the methods of online Doppler broadening and nuclear cross section processing［D］.Beijing：Tsinghua University，2012.）

［3］TRUMBULL T H.Treatment of nuclear data for transport problems containing detailed temperature distributions［J］.Nuclear Technology：A Journal of the American Nuclear Society，2006，156（1）：75 86.

［4］李松陽，王侃，余綱林.中子核截面在線多普勒展寬方法研究［J］.原子能科學(xué)技術(shù)，2013，47（3）：337 342.（LI Songyang，WANG Kan，YU Gang－lin.Research on on－the－fly Doppler broadening method for neutron cross section［J］.Atomic Energy Science and Technology，2013，47（3）：337 342.）

［5］李松陽，王侃，余綱林.中子截面Doppler展寬算法及并行計算方法［J］.清華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，52（4）：523 526.（LI Song－yang，WANG Kan，YU Gang－lin.Parallel computing for Doppler broadening of neutron cross sections［J］.J Tsinghua Univ（Sci ＆Tech），2012，52（4）：523 526.）

［6］李松陽，王侃，余綱林.MCNP溫度相關(guān)中子截面庫的研制及基準驗證［J］.原子能科學(xué)技術(shù)，2009，43（5）：385 388.（LI Song－yang，WANG Kan，YU Gang－lin.Development and benchmark validation of temperature－dependent neutron crosssection library for MCNP［J］.Atomic Energy Science and Technology，2009，43（5）：385 388.）

［7］余健開，李松陽，王侃，等.反應(yīng)堆用核截面處理程序RXSP的研發(fā)與驗證［J］.核動力工程，2013，34（增刊1）：10 13.（YU Jian－kai，LI Song－yang，WANG Kan，et al.Development and validation of nuclear cross section processing code for reactor analysis RXSP［J］.Nuclear Power Engineering，2013，34（S1）：10 13.）

［8］FORREST B B.The makxsf code with Doppler broadening［R］.LA－UR－06－7002.Los Alamos National Laboratory，2006.

［9］X－5Monte Carlo Team.MCNP A general Monte Carlo N－particle transport code：version 5［R］.LA－CP－03－0284.Los Alamos National Laboratory，2003.

［10］朱金輝，卓俊，牛勝利，等.中子光子輸運程序TOPAN的開發(fā)與驗證［J］.原子能科學(xué)技術(shù)，2012，46（11）：1 287 1 291.（ZHU Jin－h(huán)ui，ZHUO Jun，NIU Sheng－li，et al.Development and validation of neutron and photon transport code TOPAN［J］.Atomic Energy Science and Technology，2012，46（11）：1 287 1 291.）

Fast Online Processing of Neutron Cross－Section by an Amendatory Doppler Broadening Method

ZHU Jin－h(huán)ui，XIE Hong－gang，NIU Sheng－li，ZUO Ying－h(huán)ong
（Northwest Institute of Nuclear Technology，Xi'an 710024，China；State Key Laboratory of Intense Pulsed Radiation Simulation and Effect，Xi'an 710024，China）

For the purpose of fast broadening neutron cross－section online in neutron transport calculations in high－temperature system，an amendatory Doppler broadening（ADB）principle was developed based on Doppler broadening method.An amendatory factor was proposed to correct the low－energy neutron cross－section，and the algorithm was optimized by adjusting the calculation techniques and selecting the appropriate numerical parameters.Fast online processing of neutron cross section by ADB method was realized in the Monte Carlo program developed by ourselves previously.The comparison between results of the calculation and that of NJOY program indicates that an energy－limitation exists in NJOY program in the high－energy region，and the ADB method is relatively accurate and efficient，and can satisfy the needs for fast broadening neutron cross－section online.

neutron cross－section；Doppler broadening；amendatory

TL32

A

2095 6223（2015）03 163 05

2015 04 21；

2015 06 01

朱金輝（1978－），男（土家族），湖南慈利人，副研究員，博士，主要從事粒子輸運的蒙特卡羅模擬研究。

E－mail：zhujinhui＠nint.ac.cn