鄭福昌

(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300)

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基于電磁協(xié)變理論由庫(kù)侖定律導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律

鄭福昌

(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300)

摘要基于電磁協(xié)變理論由庫(kù)侖定律導(dǎo)出了畢奧-薩伐爾定律，不僅解決了引入畢奧-薩伐爾定律數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性問題，也加深對(duì)電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量在不同慣性參考系中具有相對(duì)性的觀測(cè)效應(yīng)的理解。說明電磁場(chǎng)量的相對(duì)性是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映。

關(guān)鍵詞電磁場(chǎng)變換； 庫(kù)侖定律； 畢奧-薩伐爾定律

在大學(xué)物理教科書中,對(duì)畢奧-薩伐爾定律的引入，都是介紹完長(zhǎng)直流磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果后,不做推導(dǎo)直接引入。查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，對(duì)引入的根據(jù)有以下三種不同說法: (1)是拉普拉斯以概括實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法得到的;(2)畢奧-薩伐爾定律是拉普拉斯從畢奧和薩伐爾的實(shí)驗(yàn)結(jié)果倒推出來的;(3)拉普拉斯用絕妙的數(shù)學(xué)分析幫助畢奧和薩伐爾把實(shí)驗(yàn)結(jié)果提高到理論高度得到了該定律等等[1-3]。不論那種說法，終歸缺乏數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性。以下，嘗試由庫(kù)侖定律出發(fā)利用電磁協(xié)變理論導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律公式。

1電磁場(chǎng)變換關(guān)系式理論推導(dǎo)

1.1　電磁場(chǎng)張量

(1)

(2)

(3)

式中i≠j≠k，很明顯，式(3)右邊恰是由四維矢量算符?/?xμ和四維矢量Av相乘而形成的二階張量的一些分量。

(4)

由于對(duì)指標(biāo)μ,v是反對(duì)稱的,所以一定有

(5)

于是,式(3)又可寫成形式為

(6)

其中

(7)

1.2　四維二階張量分量的變換規(guī)律

如果存在有四維變換式

(8)

其中μ,v,λ,τ=1,2,3,4，則應(yīng)有

(9)

于是可得到變換后四維二階張量的分量

(10)

若令

(11)

則有

(12)

(13)

其中

(14)

式(13)就是協(xié)變的電磁場(chǎng)四維二階張量分量的變換規(guī)律。

1.3　電磁場(chǎng)變換關(guān)系式

滿足式(13)變換系數(shù)的變換式是電磁波相位不變變換式

(15)

因式(15)中

(16)

(17)

依據(jù)麥克斯韋場(chǎng)方程的協(xié)變性要求，經(jīng)式(17)變換后四維二階張量的分量應(yīng)滿足

(18)

把式(18)代入式(17)，就可得到協(xié)變的電磁場(chǎng)張量分量變換規(guī)律為

(19)

1.3.1磁場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出

按式(19)變換規(guī)律，有

(20)

(21)

同理可證

(22)

(23)

于是，可證得

(24)

(25)

1.3.2電場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出

按照式(19)變換規(guī)律，還可看出

(26)

(27)

同理可證

(28)

(29)

于是，有

(30)

(31)

(32)

2用電磁場(chǎng)的變換關(guān)系導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律

用上述電磁場(chǎng)的變換公式來推演一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的電荷q在r處產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式。把電荷q放在s參考系的原點(diǎn)，并使q對(duì)s保持靜止。在s系中觀察就有一個(gè)靜電場(chǎng)，有庫(kù)侖定律得到點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式是

(33)

(34)

=φ(Bxi+Byj+Bzk)-[(vyEz-vzEy)i

+(vzEx-vxEz)j+(vxEy-vyEx)k]/c2

(35)

(36)

(37)

圖1　q放在S系的原點(diǎn)處，S′系相對(duì)于S系以速度V沿任一方向平動(dòng)

3導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律標(biāo)準(zhǔn)形式

為了得到畢奧-薩伐爾定律的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以取一截面面積為S，通有電流為I的通電導(dǎo)線。并在導(dǎo)線上取一長(zhǎng)為dl的電流元Idl，設(shè)dl導(dǎo)體內(nèi)的載流子數(shù)目為dN，單位體積內(nèi)載流子數(shù)目n。

導(dǎo)體內(nèi)各個(gè)以速度為V同向運(yùn)動(dòng)的載流子，在相同的某一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)為dN個(gè)載流子單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的矢量和，即

(38)

因?yàn)镮=nqSV，dN=nSdl，有

(39)

將式(39)代入式(38)，得

(40)

該式正是由庫(kù)侖定律出發(fā)運(yùn)用電磁場(chǎng)的協(xié)變理論導(dǎo)出的畢奧-薩伐爾定律。

通過以上分析可以看出，電磁場(chǎng)的相對(duì)論變換充分體現(xiàn)了電磁場(chǎng)的相對(duì)性和統(tǒng)一性,空間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是同一物質(zhì)形式——電磁場(chǎng)所表現(xiàn)的兩個(gè)側(cè)面。它們并非彼此獨(dú)立、互不相干，在一個(gè)參考系中的純磁場(chǎng)(或純電場(chǎng))，在另一個(gè)參考系中可能還會(huì)存在電場(chǎng)(或磁場(chǎng))。電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量卻是電磁場(chǎng)在某個(gè)慣性參考系中的觀測(cè)效應(yīng)，具有相對(duì)性。電磁場(chǎng)量的相對(duì)性正是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映，沒有這種相對(duì)性就談不上它的統(tǒng)一性，反之亦然。

參考文獻(xiàn):

[1]肖軍.統(tǒng)一場(chǎng)及動(dòng)體電磁理論[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社,2008.

[2]趙凱華,陳熙謀.新概念物理學(xué)教程電磁學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]付林興,鄧志武.畢奧-薩伐爾定律的推導(dǎo)[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,28(1):28-29.

編輯王菊平

Biot-savart is derived from Coulomb’s law based on electromagnetic theory of covariant

ZHENG Fu-chang

(College of mechanical and electrical engineering, Wuyi University, Wuyishan 354300, Fujian, China)

AbstractBased on electromagnetic theory of covariant, Biot-savart is derived from Coulomb’s law, not only introducing the Biot-savart law rigor in Mathematics problems, deepen an electric field and magnetic field in different inertial frames of reference has a comparative observation of effect of understanding. description the relativity of electromagnetic field is the reflects of the integrity.

Key wordselectromagnetic field transform; Coulomb’s law; Biot-savart law

作者簡(jiǎn)介鄭福昌，男，山西大同人，副教授，主要研究方向?yàn)槲锢砝碚摷拔锢斫虒W(xué)。

收稿日期2015-05-29

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.13

中圖分類號(hào)O44

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1003-8078(2015)06-0045-05