鄭福昌
(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,福建 武夷山 354300)
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基于電磁協(xié)變理論由庫(kù)侖定律導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律
鄭福昌
(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,福建 武夷山 354300)
摘要基于電磁協(xié)變理論由庫(kù)侖定律導(dǎo)出了畢奧-薩伐爾定律,不僅解決了引入畢奧-薩伐爾定律數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性問題,也加深對(duì)電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量在不同慣性參考系中具有相對(duì)性的觀測(cè)效應(yīng)的理解。說明電磁場(chǎng)量的相對(duì)性是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映。
關(guān)鍵詞電磁場(chǎng)變換; 庫(kù)侖定律; 畢奧-薩伐爾定律
在大學(xué)物理教科書中,對(duì)畢奧-薩伐爾定律的引入,都是介紹完長(zhǎng)直流磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果后,不做推導(dǎo)直接引入。查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn),對(duì)引入的根據(jù)有以下三種不同說法: (1)是拉普拉斯以概括實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法得到的;(2)畢奧-薩伐爾定律是拉普拉斯從畢奧和薩伐爾的實(shí)驗(yàn)結(jié)果倒推出來的;(3)拉普拉斯用絕妙的數(shù)學(xué)分析幫助畢奧和薩伐爾把實(shí)驗(yàn)結(jié)果提高到理論高度得到了該定律等等[1-3]。不論那種說法,終歸缺乏數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性。以下,嘗試由庫(kù)侖定律出發(fā)利用電磁協(xié)變理論導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律公式。
1電磁場(chǎng)變換關(guān)系式理論推導(dǎo)
(1)
(2)
(3)
式中i≠j≠k,很明顯,式(3)右邊恰是由四維矢量算符?/?xμ和四維矢量Av相乘而形成的二階張量的一些分量。
(4)
由于對(duì)指標(biāo)μ,v是反對(duì)稱的,所以一定有
(5)
于是,式(3)又可寫成形式為
(6)
其中
(7)
如果存在有四維變換式
(8)
其中μ,v,λ,τ=1,2,3,4,則應(yīng)有
(9)
于是可得到變換后四維二階張量的分量
(10)
若令
(11)
則有
(12)
(13)
其中
(14)
式(13)就是協(xié)變的電磁場(chǎng)四維二階張量分量的變換規(guī)律。
滿足式(13)變換系數(shù)的變換式是電磁波相位不變變換式
(15)
因式(15)中
(16)
(17)
依據(jù)麥克斯韋場(chǎng)方程的協(xié)變性要求,經(jīng)式(17)變換后四維二階張量的分量應(yīng)滿足
(18)
把式(18)代入式(17),就可得到協(xié)變的電磁場(chǎng)張量分量變換規(guī)律為
(19)
1.3.1磁場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出
按式(19)變換規(guī)律,有
(20)
(21)
同理可證
(22)
(23)
于是,可證得
(24)
(25)
1.3.2電場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出
按照式(19)變換規(guī)律,還可看出
(26)
(27)
同理可證
(28)
(29)
于是,有
(30)
(31)
(32)
2用電磁場(chǎng)的變換關(guān)系導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律
用上述電磁場(chǎng)的變換公式來推演一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的電荷q在r處產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式。把電荷q放在s參考系的原點(diǎn),并使q對(duì)s保持靜止。在s系中觀察就有一個(gè)靜電場(chǎng),有庫(kù)侖定律得到點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式是
(33)
(34)
=φ(Bxi+Byj+Bzk)-[(vyEz-vzEy)i
+(vzEx-vxEz)j+(vxEy-vyEx)k]/c2
(35)
(36)
(37)
圖1 q放在S系的原點(diǎn)處,S′系相對(duì)于S系以速度V沿任一方向平動(dòng)
3導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律標(biāo)準(zhǔn)形式
為了得到畢奧-薩伐爾定律的標(biāo)準(zhǔn)形式,可以取一截面面積為S,通有電流為I的通電導(dǎo)線。并在導(dǎo)線上取一長(zhǎng)為dl的電流元Idl,設(shè)dl導(dǎo)體內(nèi)的載流子數(shù)目為dN,單位體積內(nèi)載流子數(shù)目n。
導(dǎo)體內(nèi)各個(gè)以速度為V同向運(yùn)動(dòng)的載流子,在相同的某一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)為dN個(gè)載流子單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的矢量和,即
(38)
因?yàn)镮=nqSV,dN=nSdl,有
(39)
將式(39)代入式(38),得
(40)
該式正是由庫(kù)侖定律出發(fā)運(yùn)用電磁場(chǎng)的協(xié)變理論導(dǎo)出的畢奧-薩伐爾定律。
通過以上分析可以看出,電磁場(chǎng)的相對(duì)論變換充分體現(xiàn)了電磁場(chǎng)的相對(duì)性和統(tǒng)一性,空間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是同一物質(zhì)形式——電磁場(chǎng)所表現(xiàn)的兩個(gè)側(cè)面。它們并非彼此獨(dú)立、互不相干,在一個(gè)參考系中的純磁場(chǎng)(或純電場(chǎng)),在另一個(gè)參考系中可能還會(huì)存在電場(chǎng)(或磁場(chǎng))。電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量卻是電磁場(chǎng)在某個(gè)慣性參考系中的觀測(cè)效應(yīng),具有相對(duì)性。電磁場(chǎng)量的相對(duì)性正是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映,沒有這種相對(duì)性就談不上它的統(tǒng)一性,反之亦然。
參考文獻(xiàn):
[1]肖軍.統(tǒng)一場(chǎng)及動(dòng)體電磁理論[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社,2008.
[2]趙凱華,陳熙謀.新概念物理學(xué)教程電磁學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2008.
[3]付林興,鄧志武.畢奧-薩伐爾定律的推導(dǎo)[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,28(1):28-29.
編輯王菊平
Biot-savart is derived from Coulomb’s law based on electromagnetic theory of covariant
ZHENG Fu-chang
(College of mechanical and electrical engineering, Wuyi University, Wuyishan 354300, Fujian, China)
AbstractBased on electromagnetic theory of covariant, Biot-savart is derived from Coulomb’s law, not only introducing the Biot-savart law rigor in Mathematics problems, deepen an electric field and magnetic field in different inertial frames of reference has a comparative observation of effect of understanding. description the relativity of electromagnetic field is the reflects of the integrity.
Key wordselectromagnetic field transform; Coulomb’s law; Biot-savart law
作者簡(jiǎn)介鄭福昌,男,山西大同人,副教授,主要研究方向?yàn)槲锢砝碚摷拔锢斫虒W(xué)。
收稿日期2015-05-29
doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.13
中圖分類號(hào)O44
文獻(xiàn)標(biāo)志碼A
文章編號(hào)1003-8078(2015)06-0045-05